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Lignes de niveau Dans la vie courante on appelle « ligne de niveau » un ensemble de points d'une carte dont l'altitude est la même par rapport au niveau.

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1 Lignes de niveau Dans la vie courante on appelle « ligne de niveau » un ensemble de points d'une carte dont l'altitude est la même par rapport au niveau de la mer. Par exemple: ensemble des points M dont l'altitude est 350m. Le tracé des lignes de niveau donne une idée du relief sur le terrain. Mais en mathématiques, qu'est ce qu'une ligne de niveau?

2 Lignes de niveau Soit E un espace ou une partie de l'espace, par exemple une surface ou un volume. E est formé de points M et il est facile d'imaginer une fonction qui a tout point M fait correspondre un réel f(M). Par exemple, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, E est la surface vaguement conique qui figure sur le dessin si contre. Tout point M de E a pour coordonnées (X,Y, Z). Z est appelé hauteur du point. On définit f par f(M) = Z. L'ensemble des points M de E tels que f(M) =2 est appelé Ligne de niveau 2 de f dans E. C'est la ligne courbe représentée en rouge sur le dessin L'ensemble des points dont le niveau f(M), qui ici est défini comme la hauteur Z, est égal à 2. f peut être définie de bien d'autres façons. Par analogie à cet exemple on appelle ligne de niveau k de f l'ensemble des points M tels que f(M) = k.

3 Comment définir f(M) ? En fait, on procède comme on veut pourvu qu'à tout point M de E (ensemble de définition de f) corresponde un nombre réel et un seul. On a vu que dans un repère il suffisait de faire correspondre à un point M une combinaison quelconque de ses coordonnée (x, y, z) : par exemple f(M) =x 2 +yz. Plus généralement on peut combiner des segments ou des vecteurs au sein d'expressions (sommes, produits, …) dont l'un des points sera M, les autres points étant fixes. Par exemple O est fixe et f(M) = OM. Si k est positif les lignes de niveaux f(M) = k sont constituées des ensembles de points M tels que OM = k. Ce sont les cercles de centre O et de rayon k. Autre exemple: A et B sont fixes. f(M)=AM+BM. Si k>AB la ligne de niveau f(M) = k est une ellipse dont les foyers sont A et B.

4 Quelques relations utiles Observez la façon dont on déduit les 3 expressions suivantes de ces deux là.

5 Lignes de type AB.CM=k Cette relation nous indique que CM ' est constant donc que tous les points M de la ligne de niveau sont projetés en un point unique M' que l'on peut facilement situer. On a CM ' = | k| / CD = | k| / AB = constante si k est positif M ' et D sont situés sur CD du même côté de C. si k est négatif le point C se trouve entre M ' et D. Le signe de k est celui de cosθ Il est positif si θ 90° ce qui va avoir pour conséquence de situer la projection de M sur (CD) à droite de C ou à gauche de C. La ligne de niveau de f, (l'ensemble des points M vérifiant la relation initiale) est l'ensemble des points projetés en M ', autrement dit, la perpendiculaire à (CD) en M '. Produit scalaire de 2 vecteurs dont trois points sont fixes et le quatrième variable.

6 Lignes de type MA 2 +MB 2 =k Ici, l'astuce consiste à exprimer f(M) en fonction de MO, O étant le milieu de AB. Pour cela on utilise le théorème de la médiane qui figure sur l'illustration si contre. On trouve f(M) = 2MO 2 +AB 2 /2 = k D'où l'on déduit 2MO 2 = k – AB 2 /2. Autrement dit si la ligne de niveau existe, elle est formée de points qui sont tous à la même distance de O puisque OM est une constante. Si le membre de droite de cette équation est positif M se trouve sur une cercle de centre O et de rayon OM. (voir illustration ci contre) Si le membre de droite est négatif, il n'existe pas de point M vérifiant f(M) = k Si le membre de droite est nul, O est le seul point de l'espace vérifiant f(M) = k.

7 Lignes de type MA 2 -MB 2 =k Ici encore, le soucis de simplifier f(M) et de l'exprimer en fonction d'une seule grandeur contenant M (au lieu de 2 : MA et MB) nous fait opter pour la relation Et on se trouve ramené au premier cas étudié. (f(M) est un produit scalaire de 2 vecteurs dont tous les points sont fixes sauf un) On projette orthogonalement M en H sur (AB) et on a M se trouve sur la perpendiculaire à AB en H.

8 Simplifions une fois de plus f(M) pour avoir une seule grandeur variable: f(M) = k devient donc MO 2 - OA 2 = k ou encore MO 2 = k + OA 2 Cette relation n'est cohérente que si k+OA 2 0 et dans ce cas posons k+OA 2 = R 2 Si k+OA 2 > 0 OM est constant et égal à R. M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon R. Si k+OA 2 = 0, le point O est le seul qui vérifie f(M) = k. Si k+OA 2 < 0 il n'existe aucun point M vérifiant la relation f(M)=k. Lignes de type MA. MB = k


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