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Prédiction multi-step de la volatilité : le modèle ARIMA-GARCH appliqué aux séries temporelles daffaiblissement par la pluie sur les liaisons Terre-Satellite.

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1 Prédiction multi-step de la volatilité : le modèle ARIMA-GARCH appliqué aux séries temporelles daffaiblissement par la pluie sur les liaisons Terre-Satellite SAMA – 21/03/2008 L. de Montera, C. Mallet and L. Barthes Centre dEtudes des Environnements Terrestre et planétaires (CETP) Vélizy-Villacoublay, France 1/29

2 2/29 I/Le problème à résoudre II/ Rappels et modèles classiques de type ARMA III/ Modélisation ARIMA et limitations IV/ Modélisation GARCH des erreurs V/ Prédiction multi-step et performances

3 Le problème à résoudre 3/29 Affaiblissement par la pluie des liaisons Terre-Satellite en bade EHF (20-50 Ghz): Solution : adaptation de la puissance d'émission en fonction des conditions de propagation En raison du temps de réaction de la boucle de contrôle, => Il faut prédire l'affaiblissement à t+10secondes pour éviter que la liaison ne soit coupée 20 GHz 44 GHz

4 les données 4/29 L'affaiblissement (en dB) de la balise 20 GHz du satellite OLYMPUS a été mesuré à Gometz-la-Ville pendant 15 mois. Cette base de données, échantillonée à 1seconde, contient 67 évènements de pluie. Exemple d'affaiblissement pendant un orage.

5 5/29 I/Le problème à résoudre II/ Rappels et modèles classiques de type ARMA III/ Modélisation ARIMA et limitations IV/ Modélisation GARCH des erreurs V/ Prédiction multi-step et performances

6 La notion de stationnarité (1) 6/29 Définition - Un processus X t est dit stationnaire au sens fort si, quelque soit n, t, h, on a légalité en loi : Définition - Un processus X t est dit stationnaire au second ordre, ou au sens faible, si la moyenne du processus est constante et si les autocovariances ne dépendent que de la lintervalle entre les observations : La dernière propriété implique en particulier que la variance de X t est constante

7 La notion de stationnarité (2) 7/29 Définition – Un processus X t est non-stationnaire de type déterministe sil peut sécrire : où f(t) est un tendance déterministe, dans ce cas, on a : La moyenne dépend de t Définition – Un processus X t est non-stationnaire de type stochastique lorsquil est intégré dordre d, cest-à-dire que le processus résultant de d différenciations est stationnaire: Marche aléatoire (d=1) : La variance dépend de t est stationnaire stationnaire non-stationnaire (déterministe) non-stationnaire (stochastique)

8 Les modèles classiques stationnaires 8/29 Soit ε t un bruit blanc gaussien N(0,σ) au sens fort (i.i.d.). Le modèle AR(p) (Auto Regressive): Le modèle MA(q) (Moving Average): Le modèle ARMA(p, q):

9 Les modèles classiques non stationnaires 9/29 Soit ε t un bruit blanc gaussien N(0,σ) au sens fort (i.i.d.). La marche aléatoire: Le modèle ARIMA(p, d, q) (Auto Regressive Integrated Moving Average):

10 10/29 I/Le problème à résoudre II/ Rappels et modèles classiques de type ARMA III/ Modélisation ARIMA et limitations IV/ Modélisation GARCH des erreurs V/ Prédiction multi-step et performances

11 Stationarisation (1) 11/29 On applique le test de stationnarité de Box & Jenkins: si l'autocorrélation reste proche de 1 pour un nombre élevé de retard, le processus est intégré. autocorrélation Il faut travailler sur la première différence:

12 Stationarisation (2) 12/29 L'autocorrélation des différences montre que le processus est maintenant stationarisé. Une seule différenciation est suffisante. autocorrélation série différenciée

13 Modélisation ARMA des différences 13/29 Identification des ordres par la méthode du 'coin' (basée sur l'autocorrélation) Estimation des paramètres par OLS (Ordinary Least Squares) Modélisation complète ARIMA(2,1,2): avec

14 Validation 14/29 La validation se fait par l'étude des résidus ε t qui doivent être un bruit blanc gaussien fort (i.i.d.). Les résidus sont de moyenne nulle et ne sont pas corrélés, on peut parler de bruit blanc faible, MAIS: phénomène de "volatility clustering" distribution à queues épaisses (Kurtosis=12)

15 Hétéroscédasticité conditionnelle Ces propriétés (classiques en finance) sont due au fait que la variance conditionnelle n'est pas constante (hétéroscédasticité, du grec "hetero" different et "skedastios" dispersion) 15/29 On voit que les résidus sont non-corrélés mais pas indépendants. L'hypothèse de processus ARIMA(2,1,2) pur est donc rejetée. Autocorrélation des résidus au carré

16 16/29 I/Le problème à résoudre II/ Rappels et modèles classiques de type ARMA III/ Modélisation ARIMA et limitations IV/ Modélisation GARCH des erreurs V/ Prédiction multi-step et performances

17 Modélisation GARCH des erreurs En pratique, l'hétéroscédasticité conditionnelle pose deux problèmes: Le modèle ARMA pur sous-estime les risques pendant les périodes de forte volatilité, car la variance de l'erreur augmente. L'estimation des paramètres est biaisée car l'algorithme OLS suppose que les résidus ont une variance constante. 17/29 On est donc amené à modéliser la variance des erreurs. Le modèle le plus populaire est le modèle GARCH(1,1) (Generalized Auto Regressive Conditionnal Heteroscedasticity): σ t est une estimation de la variance conditionnelle de l'erreur, elle change à chaque instant et ne se réalise qu'une seule fois.

18 Propriétés des processus GARCH Pour qu'un processus GARCH soit stationnaire, il faut α+β<1 La variance non-conditionnelle est alors k/(1- α-β) GARCH permet de reproduire l'autocorrélation des erreurs au carré et donc la 'volatility clustering' GARCH produit des distribution 'leptokurtique' (à queues épaisses, K>3) 18/29

19 Modélisation ARIMA-GARCH 19/29 L'estimation des paramètre ARIMA et GARCH doit se faire conjointement: On initialise les paramètres ARIMA et GARCH par OLS puis on les 'rafine' conjointement par Maximum de Vraisemblance.

20 Validation 20/29 Les résidus η t du modèle ARIMA-GARCH doivent être un bruit blanc gaussien de variance 1 Le modèle ARIMA-GARCH est validé.

21 21/29 I/Le problème à résoudre II/ Rappels et modèles classiques de type ARMA III/ Modélisation ARIMA et limitations IV/ Modélisation GARCH des erreurs V/ Prédiction multi-step et performances

22 Prédiction multi-step (1): l'espérance du processus à t+h 22/29 Principe - Pour calculer les on itère h fois le modèle en remplaçant les erreurs futures par leur espérance, soit 0. Le modèle est basé sur le processus différencié d'où:

23 Prédiction multi-step (2): la variance l'erreur à t+h 23/29 Principe - On itère h fois l'équation ARMA en conservant les erreurs futures car leur variance n'est pas nulle. Les coefficients λ i,j n'ont pas d'expression simple et sont calculés numériquement avec la suite: C'est l'équation ARMA mais avec uniquement les erreurs futurs, on peut en effet les séparer grâce à la linéarité de l'équation.

24 Prédiction multi-step (2): la variance de X t à t+h 24/29 On remplace les dans la première équation (différentiation) pour obtenir l'erreur de prédiction e t+h à t+h: Comme les erreurs sont décorrélées, on peut distribuer l'opérateur variance:

25 Prédiction multi-step (2): la variance de X t à t+h 25/29 Principe - Les sont par définition les σ t+j 2. Pour le calculer leur espérance, on itère l'espérance de l'équation GARCH. On calcule le terme générale de cette suite puis on remplace dans l'expression de la variance. Finalement :

26 Prédiction multi-step (3): La marge d'erreur à t+h 26/29 On sait que la distribution de l'erreur à t+h est gaussienne centrée, car c'est une somme de gaussienne centrée, d'où

27 Mesure des performances 27/29 On sait que la distribution de l'erreur à t+h est gaussienne centrée, car c'est une somme de gaussienne centrée, d'où Link failure Coût

28 Comparaison 28/29 Autres modèles de prédiction: Persistance (A t+10 =A t ) ONERA (chaîne de Markov à deux échantillons) NASA (équation stochastique du premier ordre) Portsmouth Univ. (ARMA adaptatif) Glamorgan Univ. (neurone linéaire ADALINE) Le modèle ARIMA-GARCH permet de réduire le coût de la majoration en estimant dynamiquement l'intervalle de confiance

29 Conclusion 29/29 Le modèle ARIMA-GARCH permet d'améliorer la gestion des risques en modélisant la variance de l'erreur de prédiction. Ce modèle a déjà fait ses preuves dans de nombreux domaines et est couramment utilisé, que ce soit en finance, en architecture (force du vent), en hydrologie (débits des cours d'eau), ou en infrastructures réseau (traffic routier ou internet). Ce modèle semble adapté aux processus ayant un lien avec les turbulences ou avec des systèmes organisés complexes (comportement fractal) qui sont fréquents en géophysique.


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