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28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 1 Leçons de la Nature Los et le bambou Cécile Baron Institut Jean Le Rond DAlembert.

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1 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 1 Leçons de la Nature Los et le bambou Cécile Baron Institut Jean Le Rond DAlembert – UMR CNRS 7190 Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Journée de rencontre Lions – DAlembert Biomécanique

2 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 2 FGM, quest-ce que cest ? BiomécaniqueAéronautique et aérospatiale Functionnally Graded Materials : matériaux à gradient de propriétés. Matériau hétérogène ou non-homogène ? Une seule phase. Les propriétés mécaniques et/ou thermiques du matériau varient progressivement selon une direction de lespace. Cette variation « lente » des propriétés peut être due à une variation de la (micro)structure (porosité) ou de la composition du matériau. Rq : selon léchelle dobservation, un matériau à hétérogénéité unidirectionnelle peut être un matériau à variation « continue » ou stratifié. Intérêt des Functionnally Graded Materials : éviter les concentrations de contraintes dues aux interfaces et améliorer les propriétés mécaniques et thermiques des pièces par association de matériau Automobile Etc.

3 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 3 Des milieux biologiques à gradient de propriétés Les milieux biologiques, après des millions dannées dévolution présentent des (micro)structures à gradient de propriétés. Les milieux vivants sont des milieux adaptatifs / environnement. Los Le bambou Mais aussi, le coquillage, les dents, les ailes de certains insectes etc.

4 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 4 Des milieux biologiques à gradient de propriétés

5 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 5 Hétérogénéité unidirectionnelle Milieux stratifiés Milieux continûment variables Aki-Richard, 1980 Fonction constante par morceaux Problème de Thomson-Haskell Solutions analytiques connues pour les couches homogènes+raccords aux interfaces + Conditions aux limites OU conservation de la continuité des profils de propriétés Fonctions spéciales pour des profils particuliers (ex : couche de Epstein) Développement en série de Peano du matricant pour des profils quelconques

6 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 6 Plaque FGM solide 0 d fluide 1 fluide 2 Direction de propagation Direction dhétérogénéité Modes propres (courbes de dispersion) Spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission

7 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 7 Equation donde et solution analytique termes dhétérogénéité Méthode originale pour conserver la continuité des profils de propriétés : Solution explicite : Série de Peano du matricant M (Formalisme de Stroh)

8 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 8 Le développement en série de Peano (Peano 1888; Pease, 1965; Aki-Richard, 1980; Kennett, 1983) Écriture polynomiale : gain en temps de calcul et développements asymptotiques

9 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 9 Le développement en série de Peano Schéma récursif de construction : méthode des approximations successives Convergence de la série : Si chaque composante de est une fonction bornée sur lintervalle détude [a,b] alors la série est uniformément convergente (Kennett, 1983).

10 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 10 Courbe de dispersion de londe de Rayleigh Cij (x 3 ), (x 3 ) d x3x3 vide Confrontation à lexpérience Objectif « problème inverse » Plaque de microbéton EDF Paramètres caractéristiques du profil : - épaisseur de la zone dégradée ; - localisation du gradient ; - pente du gradient. Baron et al. Ultrasonics 2007

11 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 11 Diagnostic de lostéoporose : perspective Los cortical est un tissu vivant à gradient de propriétés. Gradient de porosité = gradient des coefficents de rigidité et de densité de masse Résistance mécanique GEOMETRIE + STRUCTURE + MATERIAU Osteoporose Objectifs : problème inverse 1.Identifier le gradient des propriétés matérielles 2.Forme du gradient de porosité (structure) 3.Stade de lostéoporose. Baron et al., JASA (122), 2007

12 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 12 Transmission axiale c : angle critique pour les ondes longitudinales dans los Propagation de londe de tête à linterface Os moelle Tissus mous SourceRécepteurs x 3 (direction radiale) x 1 ( direction a xiale) Bossy et al., JASA 2002 ; Bossy et al. IEEE UFFC 2004 Skeletal site : multi-site Type of bone : cortical bone Frequency : 250kHz-2MHz Acoustic parameter : SOS Typical range : m/s

13 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 13 Guide donde plan fluide 1 fluide 2 solide 0 d Fluides parfaits : contraintes de cisaillement nulles : Les ondes P-SV waves se propagent dans le plan x 2 = 0.

14 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 14 Conditions aux limites Conditions aux limites et propriétés de propagateur du matricant Expression analytique des coefficients de reflexion et de transmission :

15 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 15 Résultats frequency × thickness (MHz.mm) |R|

16 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 16 Géométrie, anisotropie & hétérogénéité Peano & guide cylindrique anisotrope et hétérogène Ondes circonférentielles et axiales dans un cylindre creux à variation linéaire des et de. Résistance osseuse aux phalanges par transmission transverse et/ou axiale. fréquence × rayon extérieur (MHz.mm) 1/vitesse de phase ( s/mm) Cylindre creux dos anisotrope à gradient linéaire ezez e erer homogène gradient linéaire Mesure de la vitesse ultrasonore de lenveloppe corticale aux phalanges par transmission corticale transverse P. Laugier et al. / ITBM- RBM 26 (2005)

17 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 17 En question… Homogénéisation –Changement déchelle : modéliser la variation des propriétés à léchelle de la microstructure par une variation continue des propriétés à léchelle supérieure Evaluation de lerreur –La série de Peano est convergente. –2 sources derreur lors de lévaluation numérique de la solution exacte : troncature de la série ; évaluation numérique des intégrales (Simpsons rule) Recherche de zéros/pôles –Newton-Raphson –dichotomie Problème inverse – optimisation –Méthode doptimisation pour déterminer le profil de propriétés à partir de mesure de courbes de dispersion ou de spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission

18 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 18 Merci !

19 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 19 Bones, sea shells, and bamboo are some typical examples of natural FGMs, which have evolved to their existing optimally graded properties over millions of years to accommodate specific physical, chemical and biological environments that they expose « Smart materials »

20 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 20 Homogénéisation de matériaux FGM? Title: Modeling Bamboo as a Functionally Graded Material Author(s): Prof Emilio Silva, Dr. Matthew Walters, Prof Glaucio Paulino Abstract: Natural fibers are promising for engineering applications due to their low cost. They are abundantly available in tropical and subtropical regions of the world, and they can be employed as construction materials. Among natural fibers, bamboo has been widely used for housing construction around the world. Bamboo is an optimized composite that exploits the concept of Functionally Graded Material (FGM). Biological structures such as bamboo have complicated microstructural shapes and material distribution, and thus the use of numerical methods such as the finite element method, and multiscale methods such as homogenization, can help to further understanding of the mechanical behavior of these materials. The objective of this work is to explore techniques such as the finite element method and homogenization to investigate the structural behavior of bam- boo. The finite element formulation uses graded finite elements to capture the varying material distribution through the bamboo wall. To observe bamboo behavior under applied loads, simulations are conducted under multiple considerations such as a spatially-varying Young's modulus, an averaged Young's modulus, and orthotropic constitutive properties obtained from homogenization theory. The homogenization procedure uses effective, axisymmetric properties estimated from the spatially-varying bamboo composite. Three- dimensional models of bamboo cells were built and simulated under tension, torsion, and bending load cases.

21 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 21 Équation donde : équation différentielle dordre 2 Équations de lélastodynamique : principe fondamental de la dynamique + loi de comportement (loi de Hooke) Champs harmoniques en x1et x2 et en t, se propageant dans le plan. direction de lhétérogénéité Équation donde

22 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 22 Définition et propriétés du matricant Définition : le matricant est LA matrice fondamentale solution de Propriétés –Existence : théorème de Picard-Lindelöf –Matrice de propagation

23 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 23 Paramétrage et écriture polynomiale Formalisme de Stroh –formulation de Lothe et Barnett

24 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 24 Paramétrage et écriture polynomiale Formalisme de Stroh –formulation de Thomson et Haskell

25 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 25 Paramétrage et écriture polynomiale Formalisme de Stroh –formulation de Ingebrigsten et Tonning

26 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 26 Paramétrage et écriture polynomiale –Formulation de Lothe et Barnett –Formulation dite de Thomson et Haskell –Formulation de Ingebrigsten et Tonning factorisation

27 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 27 Formulation de Thomson et Haskell –ondes SH – système –ondes P-SV – système Paramétrage et écriture polynomiale

28 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 28 Biomécanique : Appliquer les principes de la mécanique à la compréhension des processus et des fonctions biologiques. Biomécanique ou mécanobiologie? Biomécanique : prévoir le comportement mécanique d'un tissu ou d'un organe, en tenant compte des contraintes physiologiques et biologiques. Action biologique sur la mécanique Mécanobiologie : prévoir l'évolution biologique d'un tissu ou dun organe, en tenant compte des contraintes mécaniques quil subit. Action mécanique sur le biologique 7

29 28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique 29


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