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PHYSIQUE GENERALE I Livres J. Kane, M. Sternheim, "Physique", Dunod, Paris 1999, 2004 Isabelle Derycke, Jean-Pol.

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1 PHYSIQUE GENERALE I Livres J. Kane, M. Sternheim, "Physique", Dunod, Paris 1999, 2004 Isabelle Derycke, Jean-Pol Vigneron, Physique Kane/Sternheim « Exercices et problèmes résolus » Dunod, Paris, 2001

2 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Lhypothèse essentielle faite dans ce chapitre est quil nexiste pas de forces de frottement entre les couches dun fluide en déplacement les unes par rapport aux autres. Ceci est vrai pour les fluides au repos et pour les fluides parfaits (non visqueux) en mouvement que nous considérons ici. La seconde hypothèse est que le fluide est incompressible.

3 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Mécanique Newtonienne pour les fluides: Au lieu de la masse m et la force F: Masse volumique = m / V [kg / m 3 ] Pression P = F / A [Pa = 1 N m -2 ] 1 atmosphère = 1 atm = 1, 013 x 10 5 Pa = 1, 013 bar = 760 Torr = 760 mm Hg

4 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Le principe dArchimède exprime que tout corps plongé dans un fluide subit de la part de ce fluide une force ou poussée dirigée vers le haut égale au poids de fluide déplacé: Elément de fluide de volume V et masse volumique 0 => La masse de lélément considéré m = 0 V et son poids w 0 = 0 V g En équilibre : la poussée B doit être égale et opposée au poids: B = w 0 Alors B = 0 g V où 0 est la masse volumique de fluide et V le volume immergé de lobjet. La poussée B est la force exercée par le restant du fluide pour maintenir lélément au repos.

5 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Supposons: - lélément imaginaire du fluide soit remplacé par un objet de volume V suspendu à une corde - la masse volumique de lobjet est supérieure à celle du fluide => Les forces appliquées à lobjet sont le poids w = V g, la tension T et la poussée B. Le fluide ne sait pas distinguer lobjet immergé du volume de fluide quil remplace => B = 0 g V En équilibre : T = w - B Alors T = g V - 0 g V = ( - 0 ) g V (13.1) La tension dans la corde est réduite par le poids du fluide déplacé. Le principe dArchimède => Méthode commode de mesurer des masses volumiques

6 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Léquation de continuité exprime quil y a conservation du débit Q: Q = V / t [m 3 s -1 ] cest-à-dire que la quantité de fluide entrant dans un tube est égale à la quantité qui en sort: Q 1 = Q 2 (13.2) Le débit est égal au produit de la vitesse v par la section droite A du conduit: (i) V = A x = A v t (v = x / t => x = v t ) (ii) V = Q t => Q t = A v t => Q = Av (13.3) Dans le cas dun conduit dont la section change de A 1 en A 2, léquation de continuité prend la forme A 1 v 1 = A 2 v 2.(13.4) Le produit de la section du conduit par la vitesse du fluide est constant. => Si la section A décroît, la vitesse augmente! A condition de lécrire en termes de vitesse moyenne, cette équation reste valable lorsquon se trouve dans la situation où les couches du fluide à proximité des parois du tube se déplacent moins vite que celles de la région centrale.

7 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Le théorème de Bernoulli exprime que la somme de la pression et de lénergie mécanique par unité de volume est constante tout au long dun tube de courant. Il est valable dans les conditions suivantes: Le fluide doit être - incompressible, - non visqueux. - Lécoulement est laminaire et non turbulent. - La vitesse du fluide en un point quelconque ne change pas au cours du temps (le régime découlement stationnaire).

8 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Théorème de Bernoulli: Considérons un fluide dans une portion de tube de courant de section variable (Fig. 13.4): Léquation de continuité: A 1 v 1 = A 2 v 2 => v 2 > v 1 Le fluide est incompressible: Le volume qui traverse A 1 pendant le temps t doit être é gale au volume qui traverse A 2 pendant ce même intervalle: A 1 l 1 = A 2 l 2 = V Appliquons la conservation de lénergie: K + U = W ext Le fluide à gauche de A 1 exerce une pression P 1 sur le fluide situé à droite et loblige à se déplacer de l 1 Le fluide se déplace une distance l 1 => le travail W 1 = F l 1 devient avec F = P 1 A 1 : W 1 = P 1 A 1 l 1 Le fluide situé à droite de A 2 exerce une pression P 2 en sens opposé du mouvement du fluide et le travail accomplit équivaut W 2 = -P 2 A 2 l 2 Le travail sur le fluide dans le tube sécrit W = W 1 + W 2 = P 1 A 1 l 1 -P 2 A 2 l 2 = P 1 V - P 2 V Le travail doit être égal à laugmentation de lénergie potentielle U du fluide: Le déplacement de la masse m = V de laltitude y 1 à y 2 donne une variation de lénergie potentielle: U = V g (y 2 - y 1 ). ( U = m g h) La variation de lénergie cinétique sécrit K = (m v 1 2 /2 ) - (m v 2 2 /2 )= (1/2) V (v v 1 2 ) Daprès le théorème de la conservation dénergie: (1/2) V (v v 1 2 )+ V g (y 2 - y 1 ) = P 1 V - P 2 V

9 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Théorème de Bernoulli: (1/2) V (v v 1 2 ) + V g (y 2 - y 1 ) = P 1 V - P 2 V En divisant par V, on obtient: (1/2) (v v 1 2 ) + g (y 2 - y 1 ) = P 1 - P 2 (13.5) Après réorganisation des termes on obtient le théorème de Bernoulli: P 1 + ( v 1 2 /2) + g y 1 = P 2 + ( v 2 2 /2 ) + g y 2 (13.6) La somme de la pression et de lénergie mécanique par unité de volume, cest-à-dire la quantité P + ( v 2 /2 )+ g y est constante tout le long du tube de courant.

10 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Conséquences statiques du théorème de Bernoulli: fluide au repos => la vitesse v est nulle et le terme de lénergie cinétique par unité de volume K = v 2 /2 est aussi nulle. P a + g y a + v 2 /2 = P b + g y b + v 2 /2 Fluide au repos dans un récipient (Fig. 13.5): Calculons la valeur de P + g y au points A et B: Pression en A : P atm ; pression en B: P B Comme v = 0 P atm + g H = P B + g y B avec H - y B = h => P B = P atm + g h (13.7) 1.La pression à une profondeur h dun fluide au repos est donc égale à la pression à la surface libre augmentée de la quantité g h qui représente la densité dénergie potentielle correspondant à laltitude de la surface libre. 2.La pression exercée à une profondeur h est égale à la somme de la pression atmosphérique et de la quantité g h qui représente la pression due au poids de la colonne de liquide se trouvant au-dessus de B.

11 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Conséquences statiques du théorème de Bernoulli: Dans un fluide au repos, la pression est la même en tous les points situés à une même profondeur. En particulier, comme les pressions aux point A et E sont toutes deux égales à la pression atmosphériques, le niveau de la surface du liquide est le même en ces deux points. Les surfaces libres des liquides au repos dans des vases communiquants de forme quelconque doivent être au même niveau.

12 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Le manomètre à tube ouvert Lune des extrémités du tube est ouverte à laire libre, lautre est en contact avec le gaz (ou le liquide non-missible) dont on veut mesurer la pression. Si les hauteurs sont mesurées à partir du bas du tube en U, on applique de nouveau le théorème de Bernoulli: P a + g y a + v 2 /2 = P b + g y b + v 2 /2 la quantité P a + g y a vaut P + g y 1 à la surface du côté gauche de la colonne et P atm + g y 2 du côté droit. En égalent ces deux quantités, on obtient: P + g y 1 = P atm + g y 2 ou P = P atm + g ( y 2 - y 1 ) : P = P atm + g h (13.8) La détermination de la pression P dun gaz se ramène donc à la mesure de la différence h des hauteurs des deux colonnes du tube en U. P : pression absolue, P - P atm = g h : pression de jauge

13 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Le manomètre à tube fermé Exercice Le procédé de construction dun baromètre est le suivant. On rempli un long tube avec du mercure pour le plonger ensuite, louverture vers le bas, dans un récipient de mercure. (Fig ). (a) Montrer que la pression atmosphérique P atm est égale à g h, où est la masse volumique du mercure. (b) Quelle est la hauteur h si P atm = 1,013 x 10 5 Pa? théorème de Bernoulli (v = 0): P + g y 1 = P atm + g y 2 (a)La pression P b à lintérieur du tube vaut zéro! P atm = g h (b) h = P atm / ( g ) et avec P atm = 1,013 x 10 5 Pa; = kg m -3 on calcule h = 1, 013 x 10 5 / ( x 9.8) (kg m s -2 m -2 / (kg m -3 m s -2 ) [m] h = 0, 760 m = 760 mm Hg

14 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Mesure de la tension artérielle par cathétérisation (Fig. 13.7) La pression du sang P B vaut: théorème de Bernoulli (v = 0): P B + s g h = P atm + g h => P B = P atm + g h - s g h ( 13.9)

15 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Conséquences dynamiques du théorème de Bernoulli Le terme de lénergie cinétique v 2 /2 nest pas toujours négligeable. Considérons un exemple simple avec lécoulement horizontal, où les termes gravitationnels dans léquation de Bernoulli sont égaux et se compensent (Fig ). Il reste théorème de Bernoulli: P B + v B 2 /2 = P 0 + v 0 2 /2 où P B et v B sont respectivement la pression et la vitesse entre les feuilles et P 0 et v 0 la pression et la vitesse en dehors de la région définie par les deux feuilles. En réarrangeant, il vient P B - P 0 = (1/2) (v B 2 - v 0 2 ) Comme la vitesse de lair v B entre les feuilles est supérieure à la vitesse v 0, le second membre est positif. Ceci entraîne que P 0 doit être supérieur à P B. Il y a donc une différence de pression qui provoque un rapprochement des deux feuilles.

16 PHYSIQUE GENERALE La Mécanique des Fluides non Visqueux (chapitre 13, Kane et Sternheim, Physique) Le théorème de Bernoulli sécrit P a + g y a + v 2 /2 = P b + g y b + v 2 /2 et exprime que la somme de la pression et de lénergie mécanique par unité de volume est constante tout au long dun tube de courant. Il est valable dans les conditions suivantes: le fluide doit être incompressible, non-visqueux, lécoulement laminaire et non turbulent et le régime découlement stationnaire. Si le fluide est au repos, la pression à une hauteur h du fluide est égale à la pression à la surface libre augmentée de la quantité g h. Par conséquent, la pression est la même en tous les points situés à une même profondeur. On désigne par P la pression absolue alors que la différence entre P et la pression atmosphérique est la pression de jauge.

17 QCM 13 Q1 Le rayon dune conduite deau horizontale décroît graduellement de sorte que finalement la section est réduite dun facteur 3. Dans la portion la plus large du tuyau, la vitesse moyenne vaut v 1 = 0,029 m/s et la pression vaut P 1. Trouver la pression P 2 (en Pa) dans la partie étroite. a) P 1 - 2,5 b) P 1 - 3,6 c) P 1 - 4,36 d) P 1 - 5,48 e) pas assez déléments pour répondre

18 QCM 13 Q1 Le rayon dune conduite deau horizontale décroît graduellement de sorte que finalement la section est réduite dun facteur 3. Dans la portion la plus large du tuyau, la vitesse moyenne vaut v 1 = 0,029 m/s et la pression vaut P 1. Trouver la pression P 2 (en Pa) dans la partie étroite. a) P 1 - 2,5 b) P 1 - 3,6 c) P 1 - 4,36 d) P 1 - 5,48 e) pas assez déléments pour répondre Bernoulli (tube de Venturi): P 1 - P 2 = v 1 2 /2 [(A 1 2 /A 2 2 ) - 1] Avec eau = 1000 kg/m 3, v 1 = 0,029 m/s, et [(A 1 2 /A 2 2 ) - 1] = 9 -1 = 8 on obtient P 1 - P 2 = 0,42 x 8 = 3,36 Pa, alors P 2 = P 1 - 3,36 Pa solution b)

19 QCM 13 Q3 Au moyen dun tuyau darrosage de rayon r = 1,5 cm, on remplit un seau de contenance V = 11.3 litres en 19 secondes. Calculer la vitesse moyenne en m/s du fluide. a) 1,7 b) 1,42 c) 1,18 d) 0.84 e) pas assez déléments pour répondre

20 QCM 13 Q3 Au moyen dun tuyau darrosage de rayon r = 1,5 cm, on remplit un seau de contenance V = 11.3 litres en 19 secondes. Calculer la vitesse moyenne en m/s du fluide. a) 1,7 b) 1,42 c) 1,18 d) 0.84 e) pas assez déléments pour répondre Equation du continuité: Q = V / t = A v => v = V / (t A) Alors, avec A = π r 2 v = 0,0113m 3 / ( 19 s x 7,07 x m 2 ) = 0,84 m/s solution d)

21 QCM 13 Q4 Un garçon tient dans ses mains une pierre de poids w = 122 N et de volume V = 1,8 litres. Sil place sa main et la pierre sous leau, quelle force w (en N) doit-il exercer pour maintenir la pierre? a) 104 b) 116 c) 128 d) 140 e) pas assez déléments pour répondre

22 QCM 13 Q4 Un garçon tient dans ses mains une pierre de poids w = 122 N et de volume V = 1,8 litres. Sil place sa main et la pierre sous leau, quelle force w (en N) doit-il exercer pour maintenir la pierre? a) 104 b) 116 c) 128 d) 140 e) pas assez déléments pour répondre Principe dArchimède: En équilibre: w = T = w - B, B = 0 g V, avec 0 la masse volumique de leau w = ( - 0 ) g V m = w/g = 122 N / 9,8 m s -2 = 12, 45 kg = m/V = 12,45 kg / 0,0018 m 3 = 6916 kg / m 3 w = ( ) (kg /m 3 ) 9,8 (ms -2 ) 0,0018 m 3 = 104,36 N solution a)

23 QCM 13 Q7 Un dinosaure de masse m (2,2 x 10 6 kg) et dun volume de m 3 est en train de patauger dans une eau profonde. 30% de son corps sont immergés dans leau. Quel est le poids que les jambes du dinosaure doivent supporter? a) 1,29 x 10 7 N b) 6,47 x 10 7 N c) 2,2 x 10 7 N d) 1,57 x 10 7 N e) pas assez déléments pour répondre

24 QCM 13 Q7 Un dinosaure de masse m (2,2 x 10 6 kg) et dun volume de m 3 est en train de patauger dans une eau profonde. 30% de son corps sont immergés dans leau. Quel est le poids que les jambes du dinosaure doivent supporter? a) 1,29 x 10 7 N b) 6,47 x 10 7 N c) 2,2 x 10 7 N d) 1,57 x 10 7 N e) pas assez déléments pour répondre Principe dArchimède: B = 0 g V, avec 0 la masse volumique de leau w = mg = 2,2 x 10 6 kg x 9,8 ms -2 = 2,16 x 10 7 N, V = 2000 m 3, 30% dans leau => V leau = 0,3 x 2000 = 600 m 3 B = 1000 (kg/m 3 ) 9,8 ms m 3 = 5,8 x 10 6 N Poids à supporter: w = w - B = 2,16 x 10 7 N - 0,58 x 10 7 N = 1,58 x 10 7 N solution d)

25 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) La déformation dun fluide fait apparaître de la chaleur, comme si les particules qui le composent subissaient des frottements. Un fluide capable de dissiper de cette façon son énergie cinétique est un fluide visqueux. Considérons deux lames planes, daire A, séparées par un film lubrifiant dépaisseur y. Si lon veut faire glisser lune des lames par rapport à lautre et lui conserver une vitesse constante v, il est nécessaire de lui appliquer une force F proportionnelle à v, à laire A des surfaces en contact, et inversement proportionnelle à lépaisseur du film de fluide. On écrit F = A v / y définissant ainsi le coefficient de viscosité du fluide. Celui-ci sexprime en Pa s.

26 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Le débit dun fluide dans une canalisation de section droite A est le volume de fluide sécoulant, par unité de temps, à travers cette section. Généralement, la vitesse du fluide nest pas uniforme sur la section de la canalisation: la vitesse du fluide est nulle sur la paroi interne et maximale au centre de la section circulaire, sur laxe de tube. On montre que le débit Q est égal au produit de la vitesse moyenne du fluide sur la section droite et de laire A de celle-ci: Q = v moy A. Pour une canalisation cylindrique, on peut montrer de plus que la vitesse maximale du fluide, atteinte sur laxe, est le double de la vitesse moyenne: v max = 2 v moy.

27 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Pour quun fluide visqueux reste en mouvement dans un tube à section constante, il est nécessaire de maintenir entre les extrémités de celle-ci une différence de pression P = P 1 - P 2, aussi appelée perte de charge. La loi de Poiseuille Considérons un fluide sécoulant dans un tube cylindrique de rayon R, suffisamment lentement pour que le régime soit laminaire. Cherchons lexpression de la vitesse du fluide à une distance r de la ligne centrale passant par le milieu du tube (figure 14.4). Au sein du fluide, délimitons un cylindre de rayon r (avec r < R) et de longueur l. Ce cylindre est soumis à des forces de pression sur ces deux bases A 1 et A 2 avec la résultante F = π r 2 (P 1 - P 2 ) Ce cylindre de fluide est ralenti par les forces de frottement visqueux sur sa paroi latérale dont laire est égale à 2π r l: F = - (2π r l) dv/dr. A léquilibre: π r 2 (P 1 - P 2 ) = - (2π r l) dv/dr, ou dv/dr = - r (P 1 - P 2 ) / ( 2 l) Lintégration donne dv = [- (P 1 - P 2 ) / ( 2 l)] r dr v = [- (P 1 - P 2 ) / ( 2 l)] (r 2 /2) + constante

28 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Les conditions limites donnent que si r = R (sur des parois du tube), la vitesse est nulle, do ù constante = [(P 1 - P 2 ) / ( 2 l)] (R 2 /2) Avec v = [- (P 1 - P 2 ) / ( 2 l)] (r 2 /2) + constante on peut donc écrire v = [(P 1 - P 2 ) / ( 4 l)] ( R 2 - r 2 ) Si r = 0, cest-à-dire au centre du tube, la vitesse est maximum et vaut v max = [(P 1 - P 2 ) / ( 4 l)] (R 2 ) (14.4) Lexpérience montre que la vitesse moyenne du fluide est égale à la moitié de cette vitesse maximum v moy = (1/2) v max = [(P 1 - P 2 ) / ( 8 l)] (R 2 ) = P R 2 / (8 l); (14.5) Léquation de continuité montre que le débit est égal à Q = A v moy = A P R 2 / (8 l) = π R 2 P R 2 / (8 l) =>Q = P π R 4 / (8 l ) ( loi de Poiseuille) (14.6) La loi de Poiseuille indique quune viscosité élevée entra î ne des d é bits faibles. La dépendance en R 4 indique que des faibles variations du rayon des vaisseaux sanguins entra î nent dimportantes variations dans le débit. Si le rayon dun artère diminue (artériosclérose), alors P doit être grand pour maintenir un d é bit constant et le c œ ur travaille plus!

29 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Dissipation de lénergie mécanique Calculons la puissance dissipée par les forces de frottement visqueux. Cette puissance est égale à celle quil faut fournir pour maintenir lécoulement. La résultante des forces appliquées à une tranche de fluide (figure 14.4) est égale à la différence de pression multipliée par la section A: F = (P 1 - P 2 ) A = A P La puissance moyenne requise pour maintenir le régime permanent de lécoulement est donnée par = F v moy = P A v moy Comme A v moy représente le débit Q, on obtient: = P Q (14.7) Avec lécoulement dans un tube cylindrique de rayon R, on a A = π R 2 et léquation (14.7) devient = P (π R 2 ) v moy (tube cylindrique) (14.8) Ce résultat sapplique particulièrement bien à lécoulement dans les vaisseaux sanguins.

30 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Ces résultats ne sappliquent quen cas découlement laminaire. Un écoulement (dans un tube de rayon R) est laminaire lorsque le nombre de Reynolds N R = 2 v moy R /, est inférieur à < N R < 3000, lécoulement est instable (passage du régime laminaire au régime turbulent et vice versa). Il est turbulent lorsque N R prend des valeurs supérieures à 3000.

31 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Résistance à lécoulement La résistance à lécoulement R f (appelée en physiologie la résistance vasculaire) est définie comme étant le rapport de la perte de charge au débit: R f = P / Q, (14.11) Si lécoulement est laminaire, avec Q = P π R 4 / (8 l ) et la section du tube est circulaire, on obtient R f = 8 l / π R 4, (écoulement laminaire) où l est la longueur du tube, R son rayon intérieur et la viscosité. Lunité de la résistance à lécoulement : R f [kPa s m -3 ]

32 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) La résistance vasculaire dun système dartères, comme par exemple le lit mésentérique dun chien, peut être mesur é e ou calcul é e. Le calcul se fait en consid é rant s é par é ment chaque cat é gorie d art è re. Supposons que toutes les art è res de même calibre sont en parall è le: Le d é bit à travers chaque art è re est le même. Si Q 1 est le d é bit à travers une art è re de r é sistance, on obtient avec R f = P / Q (14.11) : Q 1 = P / R f1 P représente ici la différence de pression entre les extrémités de toutes les artères du même type. S il y a N art è res identiques, le d é bit total vaut Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 + … + Q N ou Q = N P / R f1 Si la résistance équivalente R p de cet arrangement est définie par Q = P / R p R p = R f1 / N, (14.13) Considérons N portions du lit vasculaire assemblées en série et supposons connue la résistance vasculaire de chacune delles. La perte de charge totale est donnée par P = P f1 + P f2 + ……+ P fN Chaque chute de pression individuelle, par exemple P 1 = Q R f1 est égale au débit totale Q multiplié par la résistance de chaque portion. La somme de toutes les chutes de pression vaut P = Q (R f1 + R f2 + ….. + R fN ) Alors la r é sistance vasculaire R s de ces vaisseaux branch é s en s é rie est é gale à la somme des r é sistances: R s = R f1 + R f2 + ….. + R fN ) (14.14)

33 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Forces de résistances visqueuse Considérons un objet sphérique de rayon R se déplaçant avec une faible vitesse v à travers un fluide de viscosité et de masse volumique 0. En régime laminaire, on trouve que la force de résistance visqueuse exercée sur un objet en mouvement doit avoir a forme F R = v R, (14.14) est un facteur numérique sans dimension. Pour une sphère: = 6π => F R = 6π v R (14.16) (loi de Stokes)

34 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Forces de résistances visqueuse Illustration: Calculons la vitesse limite v l dune petite sphère de rayon R et de masse volumique en chute dans un fluide de viscosité et de masse volumique 0. La vitesse limite est atteinte lorsque la résistance F R compense exactement le poids w et la poussée dArchimède B. Le volume de la sphère est V = (4/3) π R 3, son poids est w = Vg, et B = 0 V g. Lorsque la vitesse limite v l est atteinte, la force de résistance visqueuse vaut F R = v R, (14.14) A cette vitesse on a F R = w - B ou 6π v l R = (4/3) π R 3 g - (4/3) π R 3 0 g => v l = (2/9) (R 2 / ) g ( - 0 )

35 PHYSIQUE GENERALE Ecoulement des Fluides Visqueux (chapitre 14, Kane et Sternheim, Physique) Centrifugation Léchantillon est soumise à une accélération centripète a r = 2 r. Poids effectif dun objet de masse m en rotation: w e = m (g- a r ). a r peut prendre des valeurs de g => g « a r w e ~ - m a r => g e = 2 r. Sous leffet de ce poids effectif élevé, les molécules plus denses que le solvant vont se déplacer vers le fond du récipient avec une vitesse limite ou sédimentation de loin supérieure à celle que existerait dans une solution au repos. Pour trouver la vitesse de sédimentation, on peut employer la formule v l = (2/9) (R 2 / ) g ( - 0 ) (14.17) et remplacer g par g e On peut aussi employer la forme générale pour la force de résistance visqueuse F R = v R. (14.14) Si les particules ont une masse m et un volume V, leur masse volumique vaut = m/V et leur poids effectif est w e = m g e. Si la masse volumique du fluide est 0, la poussée dArchimède vaut B = 0 g e V = ( 0 / ) m g e A la vitesse de sédimentation v s, les forces séquilibrent. Ceci entraîne F R = w e - B, ou v s R = m g e - ( 0 / ) m g e => v s = (m g e / R ) ( / ) (14.20) Cest lexpression de la vitesse de sédimentation des molécules en solution soumises à une accélération effective g e = 2 r

36 QCM 14 Q1 Considérer lécoulement du sang dans une artère de rayon r = 1,6 mm. Jusquà quelle vitesse moyenne (en m/s) du sang lécoulement reste-t-il laminaire? ( sang = 1060 kg/m3, sang = 3 x Pa s) a) 1,76 b) 0,79 c) 0,83 d) 0,88 e) 0,94

37 QCM 14 Q1 Considérer lécoulement du sang dans une artère de rayon r = 1,6 mm. Jusquà quelle vitesse moyenne (en m/s) du sang lécoulement reste-t-il laminaire? ( sang = 1060 kg/m3, sang = 3 x Pa s) a) 1,76 b) 0,79 c) 0,83 d) 0,88 e) 0,94 nombre de Reynolds: N R = 2 v moy R / = v moy = 2000 / (2 R ) = (2000) 3 x Pa s / (2x 1060 kg m -3 x 1,6 x m) v moy = 1,77 m s -1 solution a)

38 QCM 14 Q2 Connaissant le gradient de pression p/ l (570 Pa/m) dun vaisseau sanguin ainsi que son rayon r = 1.3 mm, calculer le nombre de Reynolds. Supposer lécoulement laminaire. a) 30 b) 37 c) 44 d) 53 e) 62

39 QCM 14 Q2 Connaissant le gradient de pression p/ l (570 Pa/m) dun vaisseau sanguin ainsi que son rayon r = 1.3 mm, calculer le nombre de Reynolds. Supposer lécoulement laminaire. a) 30 b) 37 c) 44 d) 53 e) 62 N R = 2 v moy R / ; v moy = p R 2 / 8 l; N R = 2 p R 3 / (8 2 l) = 2 x 1060 (kg/m 3 ) 570 (Pa/m) (1,3 x ) 3 (m 3 ) / (8 x (2,084 x ) 2 (Pa s) 2 N R = 76


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