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Introduction à la programmation linéaire Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)

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1 Introduction à la programmation linéaire Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)

2 La programmation linéaire peut être définie comme étant une méthode qui permet dallouer de façon optimale des ressources disponibles en quantités limitées à des activités compétitrices. Buongiorno

3 Caractéristiques de la PL Décisions (Variables décisionnelles) Quest-ce quon cherche à établir? Contraintes Viennent définir lensemble des solutions possibles. Objectif Maximisation - Minimisation

4 Forme générale dun problème doptimisation MAX (ou MIN): f 0 (X 1, X 2, …, X n ) Sujet à:f 1 (X 1, X 2, …, X n ) <= b 1 : f k (X 1, X 2, …, X n ) >= b k : f m (X 1, X 2, …, X n ) = b m Si toutes les fonctions sont linéaires, le problème en est un de programmation linéaire.

5 Forme générale dun problème en programmation linéaire MAX (ou MIN):c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Sujet à:a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1n X n <= b 1 : a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n <= b k : a m1 X 1 + a m2 X 2 + … + a mn X n = b m

6 Propriétés dun modèle de programmation linéaire Linéarité Équations polynômiales de degré 1 Divisibilité & continuité Domaine des variables

7 Séparabilité & additivité c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Fonction objectif unique Min coût, Max profit, … Données considérées certaines Propriétés dun modèle de programmation linéaire (Suite)

8 Exemple Il y a 200 pompes, 1566 heures en M-O, et 2880 mètres de tuyaux disponibles. AB Pompes11 M-O 9 heures6 heures Tuyaux12 m16 m Profit unitaire$350$300 Equipement inc. produit deux types de chargeuses: A et B

9 5 Étapes pour la formulation du problème LP 1.Comprendre le problème. 2. Identifier les variables décisionnelles. X 1 = nbre de chargeuses A produites X 2 = nbre de chargeuses B produites 3.Définir la fonction objectif en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. MAX: 350X 1 + 300X 2

10 4. Définir les contraintes en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. 1X 1 + 1X 2 <= 200} pompes 9X 1 + 6X 2 <= 1566} M.-O. 12X 1 + 16X 2 <= 2880} tuyaux 5. Identifier limites supérieures ou inférieures sur les variables décisionnelles. X 1 >= 0 X 2 >= 0 5 Étapes pour la formulation du problème LP (Suite)

11 Sommaire du modèle LP Equipement inc. MAX: 350X 1 + 300X 2 S.T.:1X 1 + 1X 2 <= 200 9X 1 + 6X 2 <= 1566 12X 1 + 16X 2 <= 2880 X 1 >= 0 X 2 >= 0

12 Idée: Chaque chargeuse A (X 1 ) génère le profit unitaire le plus élevé (350$), faisons-en le plus possible! Combien en fabriquer? Posons X 2 = 0 1ère contrainte :1X 1 <= 200 2è contrainte :9X 1 <=1566 ou X 1 <=174 3è contrainte :12X 1 <= 2880 ou X 1 <= 240 Résoudre un problème PL: Une approche intuitive

13 Si X 2 =0, la valeur maximale de X 1 est 174 et le profit total est: (350$ * 174) + (300$ * 0) = 60 900$ Cest une solution possible mais est-elle optimale? Résoudre un problème PL: Une approche intuitive (Suite) Non!

14 Résolution problème PL: Une approche graphique Les contraintes dun problème PL définissent la région de faisabilité. Le meilleur point dans la zone de faisabilité correspond à la solution optimale. Pour des problèmes à deux variables, il est facile de tracer la zone de faisabilité et de trouver la solution optimale.

15 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 (0, 200) (200, 0) Contrainte des pompes X 1 + X 2 = 200 Tracé de la première contrainte

16 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 (0, 261) (174, 0) Contrainte de main-doeuvre 9X 1 + 6X 2 = 1566 Tracé de la deuxième contrainte

17 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 (0, 180) (240, 0) Contrainte des tuyaux 12X 1 + 16X 2 = 2880 Zone de faisabilité Tracé de la troisième contrainte

18 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 (0, 116.67) (100, 0) Fonction objectif 350X 1 + 300X 2 = 35000 Tracé dune droite de la fonction objectif

19 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 (0, 175) (150, 0) Fonction objectif 350X 1 + 300X 2 = 35000 Un deuxième tracé de la fonction objectif Fonction objectif 350X 1 + 300X 2 = 52500

20 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 Fonction objectif 350X 1 + 300X 2 = 35000 Tracé de la solution optimale Fonction objectif 350X 1 + 300X 2 = 52500 Solution optimale

21 Calcul de la solution optimale La solution optimale se trouve à lintersection des contraintes de pompes et de m-o. Où: X 1 + X 2 = 200 (1) 9X 1 + 6X 2 = 1566(2) De (1) nous avons: X 2 = 200 -X 1 (3)

22 Calcul de la solution optimale (Suite) En substituant (3) pour X 2 dans (2) nous avons: 9X 1 + 6 (200 -X 1 ) = 1566 ce qui fait X 1 = 122 La solution optimale est : X 1 = 122 X 2 = 200-X 1 =78 Profit total = (350$*122) + (300$*78) = 66 100$

23 Plusieurs anomalies peuvent survenir: –Solutions optimales multiples –Contraintes redondantes –Problème non-contraint (Unbounded Solutions) –Infaisable Situations spéciales avec problèmes PL

24 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 450X 1 + 300X 2 = 78300 Exemple de solutions optimales multiples Tracé de la fonction objectif Solutions optimales équivalentes

25 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 Contrainte des tuyaux Zone de faisabilité Example dune contrainte redondante Contrainte des pompes Contrainte de la M-O

26 X2X2 X1X1 1000 800 600 400 200 0 0 400 600 8001000 Exemple dune solution unbounded X 1 + X 2 = 400 X 1 + X 2 = 600 Fonction objectif X 1 + X 2 = 800 Fonction objectif -X 1 + 2X 2 = 400

27 X2X2 X1X1 250 200 150 100 50 0 0 100 150 200250 X 1 + X 2 = 200 Exemple dinfaisabilité X 1 + X 2 = 150 Zone de faisabilité de la première contrainte Zone de faisabilité de la deuxième contrainte


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