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Introduction à la programmation linéaire Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)

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Présentation au sujet: "Introduction à la programmation linéaire Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)"— Transcription de la présentation:

1 Introduction à la programmation linéaire Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)

2 La programmation linéaire peut être définie comme étant une méthode qui permet dallouer de façon optimale des ressources disponibles en quantités limitées à des activités compétitrices. Buongiorno

3 Caractéristiques de la PL Décisions (Variables décisionnelles) Quest-ce quon cherche à établir? Contraintes Viennent définir lensemble des solutions possibles. Objectif Maximisation - Minimisation

4 Forme générale dun problème doptimisation MAX (ou MIN): f 0 (X 1, X 2, …, X n ) Sujet à:f 1 (X 1, X 2, …, X n ) <= b 1 : f k (X 1, X 2, …, X n ) >= b k : f m (X 1, X 2, …, X n ) = b m Si toutes les fonctions sont linéaires, le problème en est un de programmation linéaire.

5 Forme générale dun problème en programmation linéaire MAX (ou MIN):c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Sujet à:a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1n X n <= b 1 : a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kn X n <= b k : a m1 X 1 + a m2 X 2 + … + a mn X n = b m

6 Propriétés dun modèle de programmation linéaire Linéarité Équations polynômiales de degré 1 Divisibilité & continuité Domaine des variables

7 Séparabilité & additivité c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Fonction objectif unique Min coût, Max profit, … Données considérées certaines Propriétés dun modèle de programmation linéaire (Suite)

8 Exemple Il y a 200 pompes, 1566 heures en M-O, et 2880 mètres de tuyaux disponibles. AB Pompes11 M-O 9 heures6 heures Tuyaux12 m16 m Profit unitaire$350$300 Equipement inc. produit deux types de chargeuses: A et B

9 5 Étapes pour la formulation du problème LP 1.Comprendre le problème. 2. Identifier les variables décisionnelles. X 1 = nbre de chargeuses A produites X 2 = nbre de chargeuses B produites 3.Définir la fonction objectif en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. MAX: 350X X 2

10 4. Définir les contraintes en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. 1X 1 + 1X 2 <= 200} pompes 9X 1 + 6X 2 <= 1566} M.-O. 12X X 2 <= 2880} tuyaux 5. Identifier limites supérieures ou inférieures sur les variables décisionnelles. X 1 >= 0 X 2 >= 0 5 Étapes pour la formulation du problème LP (Suite)

11 Sommaire du modèle LP Equipement inc. MAX: 350X X 2 S.T.:1X 1 + 1X 2 <= 200 9X 1 + 6X 2 <= X X 2 <= 2880 X 1 >= 0 X 2 >= 0

12 Idée: Chaque chargeuse A (X 1 ) génère le profit unitaire le plus élevé (350$), faisons-en le plus possible! Combien en fabriquer? Posons X 2 = 0 1ère contrainte :1X 1 <= 200 2è contrainte :9X 1 <=1566 ou X 1 <=174 3è contrainte :12X 1 <= 2880 ou X 1 <= 240 Résoudre un problème PL: Une approche intuitive

13 Si X 2 =0, la valeur maximale de X 1 est 174 et le profit total est: (350$ * 174) + (300$ * 0) = $ Cest une solution possible mais est-elle optimale? Résoudre un problème PL: Une approche intuitive (Suite) Non!

14 Résolution problème PL: Une approche graphique Les contraintes dun problème PL définissent la région de faisabilité. Le meilleur point dans la zone de faisabilité correspond à la solution optimale. Pour des problèmes à deux variables, il est facile de tracer la zone de faisabilité et de trouver la solution optimale.

15 X2X2 X1X (0, 200) (200, 0) Contrainte des pompes X 1 + X 2 = 200 Tracé de la première contrainte

16 X2X2 X1X (0, 261) (174, 0) Contrainte de main-doeuvre 9X 1 + 6X 2 = 1566 Tracé de la deuxième contrainte

17 X2X2 X1X (0, 180) (240, 0) Contrainte des tuyaux 12X X 2 = 2880 Zone de faisabilité Tracé de la troisième contrainte

18 X2X2 X1X (0, ) (100, 0) Fonction objectif 350X X 2 = Tracé dune droite de la fonction objectif

19 X2X2 X1X (0, 175) (150, 0) Fonction objectif 350X X 2 = Un deuxième tracé de la fonction objectif Fonction objectif 350X X 2 = 52500

20 X2X2 X1X Fonction objectif 350X X 2 = Tracé de la solution optimale Fonction objectif 350X X 2 = Solution optimale

21 Calcul de la solution optimale La solution optimale se trouve à lintersection des contraintes de pompes et de m-o. Où: X 1 + X 2 = 200 (1) 9X 1 + 6X 2 = 1566(2) De (1) nous avons: X 2 = 200 -X 1 (3)

22 Calcul de la solution optimale (Suite) En substituant (3) pour X 2 dans (2) nous avons: 9X (200 -X 1 ) = 1566 ce qui fait X 1 = 122 La solution optimale est : X 1 = 122 X 2 = 200-X 1 =78 Profit total = (350$*122) + (300$*78) = $

23 Plusieurs anomalies peuvent survenir: –Solutions optimales multiples –Contraintes redondantes –Problème non-contraint (Unbounded Solutions) –Infaisable Situations spéciales avec problèmes PL

24 X2X2 X1X X X 2 = Exemple de solutions optimales multiples Tracé de la fonction objectif Solutions optimales équivalentes

25 X2X2 X1X Contrainte des tuyaux Zone de faisabilité Example dune contrainte redondante Contrainte des pompes Contrainte de la M-O

26 X2X2 X1X Exemple dune solution unbounded X 1 + X 2 = 400 X 1 + X 2 = 600 Fonction objectif X 1 + X 2 = 800 Fonction objectif -X 1 + 2X 2 = 400

27 X2X2 X1X X 1 + X 2 = 200 Exemple dinfaisabilité X 1 + X 2 = 150 Zone de faisabilité de la première contrainte Zone de faisabilité de la deuxième contrainte


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