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1 Annexe A: Numérotation binaire A.1 Nombres en précision finie A.2 Représentation des nombres A.3 Conversion dune base à une autre A.4 Nombres binaires.

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1 1 Annexe A: Numérotation binaire A.1 Nombres en précision finie A.2 Représentation des nombres A.3 Conversion dune base à une autre A.4 Nombres binaires négatifs A.5 Arithmétique binaire B.1 Principes des nombres en virgules flottantes Architecture des ordinateursBéat HirsbrunnerS octobre 2006

2 2 A.1 Nombres en précision finie Les ordinateurs utilisent une autre arithmétique que les humains Les physiciens disent: Il y a 10 puissance 78 électrons dans lunivers… Les chimistes disent : … Les philosophes disent : … Les mathématiciens disent : … Les reporters sportifs disent : … Les ordinateurs disent : jaime les 0 et 1 et je préfère travailler avec des nombres contenant un nombre fini de chiffres (8 bits, 16 bits, …) Exemple: Ensemble des entiers positifs avec 3 chiffres décimaux Lensemble comprend exactement 100 éléments: 000, 001, …, 999 Certains nombres ne peuvent pas être représentés: Les nombres supérieurs à 999 Les nombres négatifs … Larithmétique nest pas fermée (au regard des opérations +, - *): = 1200 (trop grand) = -2 (négatif) … Lalgèbre des nombres en précision finie est différente de lalgèbre normale: a + (b - c) = (a + b) - c (avec a=700, b=400, c=300: a+b est trop grand, mais pas a+(b-c))

3 3 A.2 Représentation des nombres (1/3) Base naturelle pour les humains : 10 Base naturelle pour les ordinateurs daujourdhui: 2, 8, 16, …: ABCDEF …

4 4 A.2 Représentation des nombres (2/3)

5 5 A.2 Représentation des nombres (3/3)

6 6 A.3 Conversion dune base à une autre (1/2)

7 7 A.3 Conversion dune base à une autre (2/2)

8 8 A.4 Nombres binaires négatifs (1/5) 1. Valeur signée (Signed Magnitude) Le premier bit représente le signe (0=positif, 1=négatif) 2. Complément à un (ones complement) Le premier bit représente le signe (0=positif, 1=négatif) Tous les 1 sont remplacés par des 0 et tous les 0 par des 1 3. Complément à deux (twos complement) Le premier bit représente le signe (0=positif, 1=négatif) Tous les 1 sont remplacés par des 0 et tous les 0 par des 1 Puis on rajoute 1 au résultat 4. Excédent 2 m-1 (excess 2 m-1 ) On additionne 2 m-1 aux nombres à m bits Remarques (1) et (2) ont deux représentations différentes pour le zéro ! (3) et (4) nont pas le même nombre de chiffres positifs et négatifs ! (3) et (4) ne se différencient que sur le premier bit ! Pour toutes les représentations, le signe est encodé dans le premier bit !

9 9 A.4 Nombres binaires négatifs (2/5) Valeur signée Complément à un

10 10 A.4 Nombres binaires négatifs (3/5) Complément à

11 11 A.4 Nombres binaires négatifs (4/5) Codage par excédent 2 m

12 12 A.4 Nombres binaires négatifs (5/5)

13 13 A.5 Arithmétique binaire

14 14 A.5 Arithmétique binaire

15 15 B.1 Principes Notation scientifique: n = m * 10 e, avec m = mantisse et e = exposant Virgule flottante: 0 |m| < 1, par exemple 2002 sécrit 0,2002 * 10 4


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