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9-2 Ulysse 24-67Cours GB 20101 9 La complexité des activités mathématiques 9-2 Façons de calculer la multiplication.

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1 9-2 Ulysse 24-67Cours GB La complexité des activités mathématiques 9-2 Façons de calculer la multiplication

2 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Les méthodes de calculs sont nombreuses Elles diffèrent par diverses propriétés: Le matériel disponible (doigts, boulier, baguettes, planche à poussière, papier et plume, etc.); les répertoires mentaux du calcul : –les doubles pour méthode égyptienne ou russe); –la table de Pythagore pour la méthode per gelosia) les conditions dutilisation (temps, place: Ex. Fibonacci) Le « coût » des apprentissages et le temps disponible La fiabilité: les risques derreurs dépendent de différents facteurs liés à la méthode de calcul…

3 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Variantes de la méthode de Fibonacci CHILI ? 1 1 retenues somme 1 retenues 2 ième produit 1 2 retenues 1 er produit 624 x FRANCE x 36 Même lorsque les méthodes sont les mêmes, les dispositions peuvent être différentes

4 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Étude théorique Modélisation

5 9-2 Ulysse 24-67Cours GB La détermination théorique des variables 1 Le calcul, par la méthode de Fibonacci, dune opération a(i)10 i (0 i n-1) x b(j)10 j (0 j m-1), de taille (n, m) | (m n) se décompose en : a)Le calcul en ligne de m produits partiels tels que a(i)10 i (0 i n-1) x b(j)10 j de taille (n, 1) - Chaque produit partiel étant formé lui-même de n produits élémentaires : a(i) 10 i x b(j)10 j de taille (1,1) - dont r dentre eux présentent une retenue (r est le nombre de produits élémentaires tels que a(i)xb(j)> 9) b) Le calcul de la somme des m produits partiels. Représenter les méthodes de calcul par un organigramme

6 9-2 Ulysse 24-67Cours GB De toute façon il faudra effectuer nxm produits élémentaires, leur affecter une puissance de dix et sommer tous ces nombres. Les propriétés ergonomiques varieront donc : suivant les difficultés propres aux chiffres figurant dans les deux nombres (ceux de la table qui sont utilisés) suivant les opérations de service - le repérage des produits élémentaires à effectuer, - la complexité des opérations à effectuer mentalement entre deux étapes achevées (résultats intermédiaires), - la quantité de types dinformations différents à mémoriser à titre provisoire à un même instant (position des chiffres, retenues…,) Il suffit dimaginer ce quun élève devrait noter à chaque instant sil devait interrompre son travail pour pouvoir le reprendre exactement au même endroit plus tard. - la disposition des résultats intermédiaires Le premier modèle de laction des élèves que nous allons établir sur ces bases ne prévoira pas les difficultés résultant des interactions entre les difficultés

7 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Créer lorganigramme Il suffit de décrire la suite des opérations effectuées par les élèves comme on le ferait pour un processus industriel à laide de la méthode P.E.R.T. ou pour le graphe dun programme informatique Nous prenons pour modèle la description de lexécution dun produit élémentaire, dans le calcul dun produit partiel dune opération particulière. Cest le cœur de lorganigramme. Décrire le travail de lélève implique aussi noter le travail de mémorisation immédiate (temporaire). A chaque instant lélève doit garder en mémoire puis modifier trois renseignements provisoires (les deux places des nombres quil traite ou va traiter, la trace de la retenue quil utilise ou quil va évaluer. La valeur n - nombre de chiffres du multiplicande - joue un rôle important car cest le nombre de boucles que lélève doit enchaîner sans pause. Elles forment un sous programme assez long et complexe à lintérieur duquel les erreurs se répercutent, et par conséquent qui doit être effectué ou vérifié dun trait. P.E.R.T. Program Evaluation and Review Technique

8 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Boucle élémentaire dans un produit partiel. O. Repérer (i, j)= (2,1) rappel mémoire de la position Lire les chiffres en i et j : (6, 2) Produit 6x2= 12 rappel table x (mémo perma.) Rappel retenue 2 rappeler la retenue précédente Somme 14 table + (mémo permanente) Décomposer [1,4] mémoriser la retenue suivante Écrire 4 Écrire le chiffre unités, Le i suivant existe-t-il? Si oui incrémenter i i+1, (3,1) mémoriser la position Si non écrire la retenue devant le chiffre des unités Incrémenter j j+1, i=1 mémoriser la position lire les chiffres en j+1 et 1 si les places sont vides aller à « somme » Si non décaler la position du premier chiffre à poser Retourner à O x 36 i j

9 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Boucle élémentaire simplifiée de la méthode de Fibonacci Calcul du ou des chiffres correspondant à la position i,j Début Calcul du j+1 ème produit partiel Fin Non de ligne J ? Fin des produits ? Calcul de la somme Non oui Nombre chiffres du multiplicande : m Nombre de chiffres du multiplicateur: p La taille t de lopération est t = m x p t est le nombre de reproductions de la procédure i,j

10 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Voici un organigramme de la même boucle que précédemment. Mais il décrit les « actes » du calculateur à laide dun répertoire de décisions beaucoup plus détaillé que le précédent. La complexité du graphe dépend donc du répertoire avec lequel laction est décrite

11 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Lanalyse a priori du modèle Linfluence de la taille des opérations sur la réussite des élèves suivant la probabilité derreur p à un produit élémentaire (de taille 1). Supposons que les boucles élémentaires dune opération de taille nxm = t présentent des risques derreurs égaux, quelles soient indépendantes (nous avons vu quelles ne le sont pas) et que la probabilité dune erreur dans chaque boucle soit constante p (non). La probabilité que lopération entière soit juste (la fiabilité f de lélève) est f = (1 – p) t Cette fonction est très sensible à la valeur p 2%0,920,720,27 5%0,810,440,037 10%0,650,180,011 Probabilité de réussite de trois élèves selon la taille et la fiabilité f (2 %) f (5%) f(10%) Taille 1 (boucle) * * Note Dans les calculs professionnels daires agraires on pouvait trouver jadis des multiplications de taille 8x8

12 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Probabilité de réussite suivant la taille de lopération Les tailles les plus utilisées sont celles qui sont le plus discriminantes. La courbe théorique a été empiriquement vérifiée en 1970 % dopérations justes Erreurs de table 2% fiabilité 98% Erreurs de table 5% fiabilité 95% Erreurs de table 8% fiabilité 92% Zone dusage le plus fréquent La discrimination y est maximale

13 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Conclusions de létude théorique La fiabilité dune boucle dépend : Des paires de chiffres concernés (table) De la présence de retenues (0, 1 importation ou exportation, les 2) Du rang dans le produit partiel Ces paramètres feront lobjet détudes empiriques (voir ci-après) Pour assurer une note de 16/20 sur les opérations 4x4 proposées dans les évaluations, les élèves doivent atteindre une fiabilité de 99% sur chaque boucle. Il suffit dune connaissance hésitante sur UNE valeur de la table pour compromettre ce résultat Il reste à évaluer le temps et les efforts dapprentissage ainsi que les contraintes didactiques nécessaires pour atteindre cette performance, dans lenvironnement moderne où les élèves ne voient plus personne calculer

14 9-2 Ulysse 24-67Cours GB études empiriques et Modélisations expérimentales

15 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Méthodes empiriques : principes, exemples Les méthodes empiriques Elles consistent à étudier les facteurs derreurs effectivement observées dans les résultats de cohortes délèves répondant à des épreuves didactiques spontanées (par exemple on pourrait prendre tous les travaux des élèves des écoles Michelet (COREM) et noter toutes les valeurs des variables que lon possède à ce sujet et procéder à des analyses de la variance divers types danalyses factorielles … Qui permettent des confrontations à des modèles théoriques ou empiriques Par exemple on peut observer que la distribution des fréquences des différentes types de difficultés ny est pas uniforme : les difficultés sont plus fréquentes que le hasard ne le prévoit

16 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Connaissance des tables (résultats empiriques) Taille 1x1 Dans la table de Pythagore Dissymétrie erreurs [ n x 0] << erreur [0 x n] Rangement global des fréquences derreurs. 1 < 10< 2 5 < 4 3 <… En fait on peut distinguer des zones de difficultés croissantes: Zones nx0 11x0 (11produits) Zone 0xn (10 produits) Zone 1xn ou nx1 (ad.19p) Zone 2xn ou nx2 8 produits Zone 5xn ou nx5 7 produits supplémentaires Zone 3xn… 4 produits sup. Zone 4 3 produits sup. Zone des carrés (6 résultats nouveaux) Zone des 9 : 6x9 ;7x9; 8x9; Zone des 6x7; 6x8; 7x8 ;

17 9-2 Ulysse 24-67Cours GB X Un ordre des apprentissages complémentaires Zone des doubles n X 1 1 X n Multiples de 5 Multiples de 3 Multiples de 4 Les carrés Multiples de 9 6X7 6X8 7X8 n X 0 0 X n X

18 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Effet de la retenue Résultat empirique

19 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Les méthodes expérimentales Elles consistent à préparer des plans dexpériences pour contrôler le rôle de certains facteurs, et mettre en évidence leurs relations avec certaines propriétés des élèves eux aussi constitués en cohortes aux caractéristiques déterminées Cest un procédé que nous avons utilisé pour comparer la méthode per gelosia (à larabe, à la grecque) avec la méthode de Fibonnacci que nous allons traiter à titre dexemple Ou pour observer des dépendances entre diverses conditions dapprentissage ou rechercher les conditions favorables ou défavorables à la compréhension.

20 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Les difficultés dapprentissage Dans la logique classique où les sous procédures doivent être apprises avant les procédures, lorganisation et le temps de lapprentissage sont déterminés par la complexité de la procédure. Cest le premier facteur à considérer Létude de la méthode Fibonacci à lécole primaire sétire sur quatre années et a besoin du soutien dun grand nombre de problèmes « dapplication » Notons que les raccourcis dexperts comme les points à la place des zéros dans la multiplication et le calcul simultané des multiplications et des soustractions pour obtenir le reste dans la division coûtent beaucoup trop cher pour lavantage quils apportent aujourdhui. Ces vestiges ne devraient plus avoir de place dans lapprentissage du calcul humain moderne.

21 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Le rôle du sens dans lapprentissage Dans les progressions didactiques habituelles, lapprentissage dune opération complexe est structurée par linclusion progressive de sous algorithmes appris préalablement et séparément Et son « sens » est composé dun agrégat de métaphores regroupant les « problèmes similaires » chargés dassurer lunité du concept. Dans ce procédé le rôle des mathématiques est réduit, statique et caché Pour faire reposer le sens et la construction sur une conception plus mathématique et générale, il fallait échapper à linclusion et faire dériver la construction dune situation type (si possible fondamentale) qui permette lapprentissage et lusage dalgorithmes plus variés moins coûteux et mieux compris. Ce sujet sera abordé dans le diaporama 9.2

22 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Lalgorithme per gelosia

23 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Description de la tâche multiplication «per gelosia » Pour multiplier 7503 par 945, il faut dessiner un tableau et disposer les chiffres de la façon suivante :

24 9-2 Ulysse 24-67Cours GB commencer par ce quon sait

25 9-2 Ulysse 24-67Cours GB

26 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Résultat : x 9 peut être gardé pour la fin et éventuellement recalculé. Par exemple, la somme des cases 4 fois 7 et 5 fois 7 cest à dire

27 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Structure de la méthode per gelosia Lordinogramme de la méthode de multiplication per gelosia est beaucoup plus simple que celui de Fibonacci; mêmes produits, mais, indépendants et sans conditions toutes les cellules se calculent directement, dans un ordre quelconque, et toutes de la même façon, sans retenues ni superpositions. Seule laddition est une peu plus longue Quelles hypothèses nulles peut-on avancer ? Comment établir un plan dexpérience. Quels résultats peut-on espérer ?

28 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Comparaison de deux méthodes de Calcul Du point de vue de leur usage et de leur apprentissage

29 9-2 Ulysse 24-67Cours GB La Complexité des algorithmes On peut percevoir ici comment une définition mathématique de la complexité formelle dun algorithme, dune théorie, ou dune situation pourrait guider la recherche des modèles les plus « économiques » et les mieux adaptés… Ex. La mesure de complexité de Mc Cabe comptabilise le nombre de « chemins » d'un programme représenté sous la forme d'un graphe. cf wikipedia « Nombre cyclomatique » Mais il nest pas sûr que lon puisse définir aujourdhui un tel indice sans tenir compte du fonctionnement du système utilisateur de lalgorithme. Pour linstant, au contraire, cest le temps mis par un système donné pour effectuer lopération qui est pris comme indice pratique de la complexité.

30 9-2 Ulysse 24-67Cours GB ORGANIGRAMME du CALCUL dun produit partiel (Fibonacci) 1.Le produit représenté est... k multiplié par y 8 z …(6?)152 2.Les éléments de la complexité : Le nombre de nombres à considérer – (les carrés composants) ; le nombre d opérations de chaque catégorie : x, +, et la décomposition en dizaines et unités (les nœuds) ; Le nombre de choix dobjets ou dopérations à considérer (les flèches ou arêtes) 3.Remarque : 1. Un résultat a été omis sur ce graphe (lequel?) 7 cent Mul-ande Multi-eur 8 x 61 cent + 1 cent (r) Retenue 6 mil (r) 56 cent k cent Mul-ande Multi-eur 8 9 unit Mul-ande Multi-eur 8 2 unit (r) Retenue 7 diz x 6 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 48 diz 55 diz + 5 diz (r) Retenue 5 cen

31 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Complexité du calcul dun produit élémentaire isolé 9 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 72 A nombre darêtes du graphe : 3 (flèches noires) N nombre de nœuds : 1 C nombre de composantes : 3 Complexité de McCabe : M = A – N + 2C = 8 Complexité du calcul dun élément de produit partiel 6 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 55 diz + 5 diz (r) Retenue 5 cen 48 diz Complexité A = 9 N = 3 C= 6 M = = 18

32 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Complexité dun produit partiel Complexité du calcul du produit partiel : M = M1 +M2+M3 = x18 = 50 Pour n chiffres au multiplicande M = 14 + (n-1) 18 9 unit Mul-ande Multi-eur 8 2 unit (r) Retenue 7 diz 6 diz Mul-ande Multi-eur 8 x x 55 diz + 5 diz (r) Retenue 5 cen 48 diz 7 cent Mul-ande Multi-eur 8 x 61 cent + 1 cent (r) Retenue 6 mil (r) 56 cent k cent Mul-ande Multi-eur 8 M1 = = 14M2 = = 18

33 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Les calculs des produits sont devenus élémentaires et indépendants (les retenues créaient des possibilités derreurs en chaîne) M = 8 x 3 = 24 Mais il faudra examiner la complexité de laddition qui était intégrée dans le calcul précédent. 9 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 72 6 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 48 diz 7 cent Mul-ande Multi-eur 8 x 56 cent v v Complexité de lalgorithme per gelosia : produits

34 9-2 Ulysse 24-67Cours GB diz Mul-ande Multi-eur 8 x 72 6 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 48 diz 7 cent Mul-ande Multi-eur 8 x 56 cent retenues et des décompositions explicites qui demandaient un niveau supplémentaire de complexité – un calcul sur un calcul- dans chaque cellule Les produits et les sommes élémentaires sont les mêmes dans les deux méthodes. Il semble donc que la méthode de Fibonacci devrait être plus complexe que per gélosia mais … Chaque cellule est débarrassée des additions de

35 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Le tableau présente la décomposition des nombres résultant des produits mais pas ceux résultant de la somme 2 1 cent (r) Retenue 1 mil diz(r) Retenue 1 cent Complexité : A = 17 ; N = 6 ; C = 12 M = = 47 Ainsi la complexité totale de lalgorithme per gelosia est = 71 bien supérieure à celle de lalgorithme de Fibonacci 50. Étonnant non? Complexité de lalgorithme per gelosia : sommes

36 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Lexpérience disqualifie le modèle brut Or nos expériences ont montré le contraire: Les élèves qui calculent avec la méthode per gelosia le font aussi rapidement que ceux qui calculent avec lautre (ces derniers doivent recompter plusieurs fois à cause du manque de fiabilité de leur méthode), ils font moins derreurs et ils apprennent plus vite à faire lopération. Il faut remarquer que la complexité de McCabe suppose que toutes les opérations élémentaires sur tous les nombres et que toutes les liaisons sont de complexité égale !! Elle ne prend pas en compte les performances différenciées de lélève à ce sujet (laddition est plus facile quune multiplication), ni la probabilité des erreurs en chaîne, ni les facilités de contrôle offertes. La modélisation empirique, lobservation et les expériences sont indispensables pour affiner le modèle

37 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Lapprentissage Le sens de la multiplication comme moteur dapprentissage

38 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Comment faire découvrir per gelosia? 1. Problème: un grand rectangle dans du papier quadrillé 35 cases sur 23, combien de cases (de 1cm 2 )? 2. Les enfants essaient, par petits groupes, de compter les cases une à une. 3. Puis rapidement ils décomposent le rectangle en parties quelconques quils comptent séparément. Ils ajoutent les nombres obtenus

39 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Par la suite, ils organisent progressivement le découpage du rectangle en parties égales puis faciles à compter (10x10). Ils les alignent. Ils obtiennent finalement des découpages du type suivant.

40 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Grouper, Additionner

41 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Raffinement : Aligner les puissances de 10 Centaines Dizaines Unités Le professeur montre comment additionner les nombres, en biais, par puissances de 10, sans les réécrire pour calculer laddition

42 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Avec les nombres décimaux

43 9-2 Ulysse 24-67Cours GB ,8 x 0,5 = 0,9

44 9-2 Ulysse 24-67Cours GB Études et exercices Expliciter les paramètres dune comparaison expérimentale entre les apprentissages des deux méthodes. Discuter les avantages et les inconvénients des deux méthodes


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