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ACT2025 - Cours 6 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours.

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1 ACT2025 - Cours 6 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours

2 ACT2025 - Cours 6 Rappel: Échéance moyenne

3 ACT2025 - Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée

4 ACT2025 - Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital

5 ACT2025 - Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72

6 ACT2025 - Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital

7 ACT2025 - Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114

8 ACT2025 - Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114 Méthode de bissection

9 ACT2025 - Cours 6 Dans un prêt, Antoine emprunte 10000$ à Barnabé. Il remboursera ce prêt en faisant trois versements: le premier au montant de 4000$ à la fin de la 3 e année, le second au montant de 5000$ à la fin de la 4 e année et 3000$ à la fin de la 6 e année. Déterminer le taux dintérêt par la méthode de bissection. Exemple 1:

10 ACT2025 - Cours 6 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 1: (suite)

11 ACT2025 - Cours 6 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 1: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison t = 6 est 10000(1 + i) 6 = 4000(1 + i) 3 + 5000(1 + i) 2 + 3000

12 ACT2025 - Cours 6 Exemple 1: (suite) Cette équation de valeur 10000(1 + i) 6 = 4000(1 + i) 3 + 5000(1 + i) 2 + 3000 peut être réécrite sous la forme f(i) = 10000(1 + i) 6 - 4000(1 + i) 3 - 5000(1 + i) 2 - 3000 = 0

13 ACT2025 - Cours 6 Ainsi le taux dintérêt recherché est un zéro de la fonction f(x) = 10000(1 + x) 6 - 4000(1 + x) 3 - 5000(1 + x) 2 - 3000 Exemple 1: (suite)

14 ACT2025 - Cours 6 Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. Exemple 1: (suite)

15 ACT2025 - Cours 6 Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. Ici nous procédons par tatonnement pour trouver deux tels nombres a et b. Exemple 1: (suite)

16 ACT2025 - Cours 6 En évaluant la fonction f aux deux taux dintérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que f(4.3%) = -103.98 et f(4.9%) = 205.27 Exemple 1: (suite)

17 ACT2025 - Cours 6 En évaluant la fonction f aux deux taux dintérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que f(4.3%) = -103.98 et f(4.9%) = 205.27 Conséquemment la fonction f aura un zéro entre 4.3% et 4.9%. Ceci est la première étape de la méthode de bissection. Exemple 1: (suite)

18 ACT2025 - Cours 6 Nous aurons pu prendre dautres valeurs que 4.3% et 4.9%. Cependant il est important de vérifier que la fonction f évaluée à ces valeurs connait un changement de signe. Exemple 1: (suite)

19 ACT2025 - Cours 6 La deuxième étape de la méthode est de calculer le point milieu du segment [a, b] et dévaluer la fonction f à ce point milieu. Exemple 1: (suite)

20 ACT2025 - Cours 6 Dans notre cas, nous avons que le point milieu est et la fonction f évaluée à ce point milieu est f(4.6%) = 49.19 Exemple 1: (suite)

21 ACT2025 - Cours 6 Comme f na pas le même signe lorsque évaluée à a et à b, alors seulement une et une seule des extrémités du segment [a, b]: a ou b est telle que lorsque nous évaluons à la fonction f à ce point, cette valeur a un signe différent de celui de Exemple 1: (suite)

22 ACT2025 - Cours 6 Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2. Exemple 1: (suite)

23 ACT2025 - Cours 6 Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2. Exemple 1: (suite) Si f((a + b)/2) et f(b) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: (a + b)/2 et b.

24 ACT2025 - Cours 6 Nous avons dans notre exemple f(4.3%) = -103.98, f(4.9%) = 205.27, f(4.6%) = 49.19 Exemple 1: (suite) Comme f prend des valeurs de signes différents à 4.3% et 4.6%, nous poursuivons la méthode en répétant létape 2 mais avec le segment [4.3%, 4.6%].

25 ACT2025 - Cours 6 xf(x) 4.3%-103.98 4.9%205.27 4.6% = (4.3% + 4.9%)/249.19 4.45% = (4.3% + 4.6%)/2-27.76 4.525% = (4.45% + 4.6%)/210.63 Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant

26 ACT2025 - Cours 6 xf(x) 4.4875% = (4.45% + 4.525%)/2-8.59 4.50625% = (4.4875% + 4.525%)/21.01 4.496875% = (4.4875% + 4.50625%)/2-3.79 4.5015625% = (4.496875% + 4.50625%)/2-1.39 4.50390625% = (4.5015625% + 4.50625%)/2-0.19 Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant

27 ACT2025 - Cours 6 Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux dintérêt recherché est approximativement i 4.50% Exemple 1: (suite)

28 ACT2025 - Cours 6 Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux dintérêt recherché est approximativement i 4.50% Du tableau, nous ne pouvons être plus précis pour la décimale suivante (celle de millième), cest-à-dire tout ce que nous savons concernant le taux dintérêt i est que 4.50390625% < i < 4.50625 % Exemple 1: (suite)

29 ACT2025 - Cours 6 Mais nous ne pouvons pas pour linstant répondre si i 4.503%, i 4.504%, i 4.505%, i 4.506% Exemple 1: (suite)

30 ACT2025 - Cours 6 Mais nous ne pouvons pas pour linstant répondre si i 4.503%, i 4.504%, i 4.505%, i 4.506% Pour être en mesure de préciser cette troisième décimale, il aurait fallu poursuivre la méthode jusquau moment où celle- ci, la troisième décimale, ne changerait plus avec les étapes subséquentes. En poursuivant, nous obtiendrions le taux dintérêt i = 4.504271967% Exemple 1: (suite)

31 ACT2025 - Cours 6 Pour clore ce chapitre, il nous reste à considérer les différentes façons de mesurer le temps dans le cas de prêt ou de placement de courte durée.

32 ACT2025 - Cours 6 Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de linvestissement et une année est de 365 jours. Ainsi Méthode « actuel/actuel »:

33 ACT2025 - Cours 6 Le temps t est déterminé par la convention que chaque mois a 30 jours et chaque année 360 jours Méthode « 30/360 »: où A 1 (resp. A 2 ) est lannée du début (resp. de la fin) de linvestissement, M 1 (resp. M 2 ) est le mois du début (resp. de la fin) de linvestissement et J 1 (resp. J 2 ) est le jour du début (resp. de la fin) de linvestissement.

34 ACT2025 - Cours 6 Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de linvestissement et une année est de 360 jours. Ainsi Méthode « actuel/360 » ou règle du banquier:

35 ACT2025 - Cours 6 Lintérêt est capitalisé seulement pour le premier ou le dernier jour dun placement, mais pas les deux. Pour une année bissextile, le 29 février est compté dans certains cas et pas dans dautres. Pour une année bissextile, lannée a 366 jours dans certains cas et 365 dans dautres. Remarque 1:

36 ACT2025 - Cours 6 Déterminons lintérêt versé dans le cas dun placement rémunéré au taux dintérêt simple de 5% par année si 7800$ est investi le 20 juin 2003 et retiré le 17 janvier 2004 selon chacune des méthodes précédentes. Exemple 2:

37 ACT2025 - Cours 6 Méthode « actuel/actuel »: Il y a entre le 20 juin 2003 et le 17 janvier 2004: 211 jours (10 jours en juin 2003; 31 jours en juillet, août, octobre, décembre; 30 jours en septembre, novembre; 17 jours en janvier). Ainsi Exemple 2: (suite) et lintérêt versé est

38 ACT2025 - Cours 6 Méthode « 30/360 »: Dans ce cas, nous avons Exemple 2: (suite) et lintérêt versé est

39 ACT2025 - Cours 6 Méthode « actuel/360 »: Dans ce cas, Exemple 2: (suite) et lintérêt versé est

40 ACT2025 - Cours 6 CHAPITRE III Annuités simples

41 ACT2025 - Cours 6 Une annuité est une série de paiements (souvent égaux) faits à des intervalles de temps égaux. Parfois on parle de rente au lieu dannuité. Définition 1:

42 ACT2025 - Cours 6 Annuités certaines Types dannuité:

43 ACT2025 - Cours 6 Annuités certaines Annuités éventuelles Types dannuité:

44 ACT2025 - Cours 6 La période de paiement dune annuité est lintervalle entre deux paiements.

45 ACT2025 - Cours 6 Quentendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que les paiements de lannuité sont tous égaux

46 ACT2025 - Cours 6 Quentendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que les paiements de lannuité sont tous égaux la période de capitalisation de lintérêt coïncide avec la période de paiement de lannuité

47 ACT2025 - Cours 6 Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de lintérêt) pendant n périodes.

48 ACT2025 - Cours 6 Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de lintérêt) pendant n périodes. Nous dirons que cest une annuité simple constante de fin de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities- immediate ».

49 ACT2025 - Cours 6 La valeur actuelle (cest-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par

50 ACT2025 - Cours 6 La valeur actuelle (cest-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par La valeur accumulée (cest-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par

51 ACT2025 - Cours 6 La valeur actuelle (cest-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par La valeur accumulée (cest-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par Nous laisserons tomber lindice i de ces notations lorsquil ny aura aucune confusion sur ce quest le taux dintérêt i.

52 ACT2025 - Cours 6 Nous avons alors le diagramme dentrées et sorties suivant:

53 ACT2025 - Cours 6 Nous obtenons que Calcul de la valeur actuelle de lannuité:

54 ACT2025 - Cours 6 Nous obtenons que En utilisant la formule connue suivante: Calcul de la valeur actuelle de lannuité:

55 ACT2025 - Cours 6 Nous obtenons que Calcul de la valeur actuelle: (suite)

56 ACT2025 - Cours 6 Zénon fait lachat dune moto et finance son achat en empruntant 12000$. Dans la première option pour le prêt, il fera 24 paiements mensuels égaux et le taux nominal dintérêt est i (12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Dans la deuxième option pour le prêt, il fera 36 paiements mensuels égaux et le taux nominal dintérêt est i (12) = 10% par année capitalisé mensuellement. Dans les deux options, les paiements débuteront un mois après lachat. Déterminer le paiement mensuel, ainsi que le montant total dintérêt payé pour chacune des options. Exemple 3:

57 ACT2025 - Cours 6 Dans la première option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 9%/12 = 0.75% Exemple 3: (suite)

58 ACT2025 - Cours 6 Dans la première option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 9%/12 = 0.75% Ici il ne faut pas confondre le taux dintérêt i par mois avec le taux effectif dintérêt par année! Exemple 3: (suite)

59 ACT2025 - Cours 6 Le diagramme dentrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P 1 Exemple 3: (suite)

60 ACT2025 - Cours 6 Léquation de valeur est où Exemple 3: (suite)

61 ACT2025 - Cours 6 Donc le paiement mensuel est P 1 = 548.22 $ et le montant total dintérêt est 24(548.22) - 12000 = 1157.28 $ Exemple 3: (suite)

62 ACT2025 - Cours 6 Dans la deuxième option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 10%/12 = 0.83333333% Exemple 3: (suite)

63 ACT2025 - Cours 6 Dans la deuxième option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 10%/12 = 0.83333333% Là aussi il ne faut pas confondre le taux dintérêt i par mois avec le taux effectif dintérêt par année! Exemple 3: (suite)

64 ACT2025 - Cours 6 Le diagramme dentrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P 2 Exemple 3: (suite)

65 ACT2025 - Cours 6 Léquation de valeur est où Exemple 3: (suite)

66 ACT2025 - Cours 6 Donc le paiement mensuel est P 2 = 387.21 $ et le montant total dintérêt est 36(387.21) - 12000 = 1939.42 $ Exemple 3: (suite)


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