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ACT2025 - Cours 6 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours.

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1 ACT Cours 6 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours

2 ACT Cours 6 Rappel: Échéance moyenne

3 ACT Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée

4 ACT Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital

5 ACT Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72

6 ACT Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital

7 ACT Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114

8 ACT Cours 6 Rappel: Échéance moyenne Échéance moyenne approchée Duplication du capital Règle de 72 Triplication du capital Règle de 114 Méthode de bissection

9 ACT Cours 6 Dans un prêt, Antoine emprunte 10000$ à Barnabé. Il remboursera ce prêt en faisant trois versements: le premier au montant de 4000$ à la fin de la 3 e année, le second au montant de 5000$ à la fin de la 4 e année et 3000$ à la fin de la 6 e année. Déterminer le taux dintérêt par la méthode de bissection. Exemple 1:

10 ACT Cours 6 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 1: (suite)

11 ACT Cours 6 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 1: (suite) Léquation de valeur à la date de comparaison t = 6 est 10000(1 + i) 6 = 4000(1 + i) (1 + i)

12 ACT Cours 6 Exemple 1: (suite) Cette équation de valeur 10000(1 + i) 6 = 4000(1 + i) (1 + i) peut être réécrite sous la forme f(i) = 10000(1 + i) (1 + i) (1 + i) = 0

13 ACT Cours 6 Ainsi le taux dintérêt recherché est un zéro de la fonction f(x) = 10000(1 + x) (1 + x) (1 + x) Exemple 1: (suite)

14 ACT Cours 6 Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. Exemple 1: (suite)

15 ACT Cours 6 Pour utiliser la méthode de bissection, il nous faut premièrement déterminer deux nombres a < b tels que f(a) et f(b) sont de signes opposés. Ici nous procédons par tatonnement pour trouver deux tels nombres a et b. Exemple 1: (suite)

16 ACT Cours 6 En évaluant la fonction f aux deux taux dintérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que f(4.3%) = et f(4.9%) = Exemple 1: (suite)

17 ACT Cours 6 En évaluant la fonction f aux deux taux dintérêt: 4.3% par année et 4.9% par année, nous remarquons que f(4.3%) = et f(4.9%) = Conséquemment la fonction f aura un zéro entre 4.3% et 4.9%. Ceci est la première étape de la méthode de bissection. Exemple 1: (suite)

18 ACT Cours 6 Nous aurons pu prendre dautres valeurs que 4.3% et 4.9%. Cependant il est important de vérifier que la fonction f évaluée à ces valeurs connait un changement de signe. Exemple 1: (suite)

19 ACT Cours 6 La deuxième étape de la méthode est de calculer le point milieu du segment [a, b] et dévaluer la fonction f à ce point milieu. Exemple 1: (suite)

20 ACT Cours 6 Dans notre cas, nous avons que le point milieu est et la fonction f évaluée à ce point milieu est f(4.6%) = Exemple 1: (suite)

21 ACT Cours 6 Comme f na pas le même signe lorsque évaluée à a et à b, alors seulement une et une seule des extrémités du segment [a, b]: a ou b est telle que lorsque nous évaluons à la fonction f à ce point, cette valeur a un signe différent de celui de Exemple 1: (suite)

22 ACT Cours 6 Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2. Exemple 1: (suite)

23 ACT Cours 6 Si f(a) et f((a + b)/2) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: a et (a + b)/2. Exemple 1: (suite) Si f((a + b)/2) et f(b) ont des signes différents, alors nous poursuivons la méthode de bissection avec les deux points: (a + b)/2 et b.

24 ACT Cours 6 Nous avons dans notre exemple f(4.3%) = , f(4.9%) = , f(4.6%) = Exemple 1: (suite) Comme f prend des valeurs de signes différents à 4.3% et 4.6%, nous poursuivons la méthode en répétant létape 2 mais avec le segment [4.3%, 4.6%].

25 ACT Cours 6 xf(x) 4.3% % % = (4.3% + 4.9%)/ % = (4.3% + 4.6%)/ % = (4.45% + 4.6%)/ Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant

26 ACT Cours 6 xf(x) % = (4.45% %)/ % = (4.4875% %)/ % = (4.4875% %)/ % = ( % %)/ % = ( % %)/ Exemple 1: (suite) Nous avons le tableau suivant

27 ACT Cours 6 Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux dintérêt recherché est approximativement i 4.50% Exemple 1: (suite)

28 ACT Cours 6 Du tableau précédent, nous pouvons affirmer que le taux dintérêt recherché est approximativement i 4.50% Du tableau, nous ne pouvons être plus précis pour la décimale suivante (celle de millième), cest-à-dire tout ce que nous savons concernant le taux dintérêt i est que % < i < % Exemple 1: (suite)

29 ACT Cours 6 Mais nous ne pouvons pas pour linstant répondre si i 4.503%, i 4.504%, i 4.505%, i 4.506% Exemple 1: (suite)

30 ACT Cours 6 Mais nous ne pouvons pas pour linstant répondre si i 4.503%, i 4.504%, i 4.505%, i 4.506% Pour être en mesure de préciser cette troisième décimale, il aurait fallu poursuivre la méthode jusquau moment où celle- ci, la troisième décimale, ne changerait plus avec les étapes subséquentes. En poursuivant, nous obtiendrions le taux dintérêt i = % Exemple 1: (suite)

31 ACT Cours 6 Pour clore ce chapitre, il nous reste à considérer les différentes façons de mesurer le temps dans le cas de prêt ou de placement de courte durée.

32 ACT Cours 6 Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de linvestissement et une année est de 365 jours. Ainsi Méthode « actuel/actuel »:

33 ACT Cours 6 Le temps t est déterminé par la convention que chaque mois a 30 jours et chaque année 360 jours Méthode « 30/360 »: où A 1 (resp. A 2 ) est lannée du début (resp. de la fin) de linvestissement, M 1 (resp. M 2 ) est le mois du début (resp. de la fin) de linvestissement et J 1 (resp. J 2 ) est le jour du début (resp. de la fin) de linvestissement.

34 ACT Cours 6 Le temps t est déterminé par le nombre exact de jours pour la durée du prêt ou de linvestissement et une année est de 360 jours. Ainsi Méthode « actuel/360 » ou règle du banquier:

35 ACT Cours 6 Lintérêt est capitalisé seulement pour le premier ou le dernier jour dun placement, mais pas les deux. Pour une année bissextile, le 29 février est compté dans certains cas et pas dans dautres. Pour une année bissextile, lannée a 366 jours dans certains cas et 365 dans dautres. Remarque 1:

36 ACT Cours 6 Déterminons lintérêt versé dans le cas dun placement rémunéré au taux dintérêt simple de 5% par année si 7800$ est investi le 20 juin 2003 et retiré le 17 janvier 2004 selon chacune des méthodes précédentes. Exemple 2:

37 ACT Cours 6 Méthode « actuel/actuel »: Il y a entre le 20 juin 2003 et le 17 janvier 2004: 211 jours (10 jours en juin 2003; 31 jours en juillet, août, octobre, décembre; 30 jours en septembre, novembre; 17 jours en janvier). Ainsi Exemple 2: (suite) et lintérêt versé est

38 ACT Cours 6 Méthode « 30/360 »: Dans ce cas, nous avons Exemple 2: (suite) et lintérêt versé est

39 ACT Cours 6 Méthode « actuel/360 »: Dans ce cas, Exemple 2: (suite) et lintérêt versé est

40 ACT Cours 6 CHAPITRE III Annuités simples

41 ACT Cours 6 Une annuité est une série de paiements (souvent égaux) faits à des intervalles de temps égaux. Parfois on parle de rente au lieu dannuité. Définition 1:

42 ACT Cours 6 Annuités certaines Types dannuité:

43 ACT Cours 6 Annuités certaines Annuités éventuelles Types dannuité:

44 ACT Cours 6 La période de paiement dune annuité est lintervalle entre deux paiements.

45 ACT Cours 6 Quentendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que les paiements de lannuité sont tous égaux

46 ACT Cours 6 Quentendons-nous par le terme simple dans le titre du chapitre? Nous allons supposer que les paiements de lannuité sont tous égaux la période de capitalisation de lintérêt coïncide avec la période de paiement de lannuité

47 ACT Cours 6 Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de lintérêt) pendant n périodes.

48 ACT Cours 6 Considérons une annuité pour laquelle des paiements de 1 dollar sont faits à la fin de chacune des périodes de paiement (= période de capitalisation de lintérêt) pendant n périodes. Nous dirons que cest une annuité simple constante de fin de période. En anglais, ceci est dénommé « annuities- immediate ».

49 ACT Cours 6 La valeur actuelle (cest-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par

50 ACT Cours 6 La valeur actuelle (cest-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par La valeur accumulée (cest-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par

51 ACT Cours 6 La valeur actuelle (cest-à-dire au début de la première période) de cette annuité sera notée par La valeur accumulée (cest-à-dire à la fin de la dernière période) de cette annuité sera notée par Nous laisserons tomber lindice i de ces notations lorsquil ny aura aucune confusion sur ce quest le taux dintérêt i.

52 ACT Cours 6 Nous avons alors le diagramme dentrées et sorties suivant:

53 ACT Cours 6 Nous obtenons que Calcul de la valeur actuelle de lannuité:

54 ACT Cours 6 Nous obtenons que En utilisant la formule connue suivante: Calcul de la valeur actuelle de lannuité:

55 ACT Cours 6 Nous obtenons que Calcul de la valeur actuelle: (suite)

56 ACT Cours 6 Zénon fait lachat dune moto et finance son achat en empruntant 12000$. Dans la première option pour le prêt, il fera 24 paiements mensuels égaux et le taux nominal dintérêt est i (12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Dans la deuxième option pour le prêt, il fera 36 paiements mensuels égaux et le taux nominal dintérêt est i (12) = 10% par année capitalisé mensuellement. Dans les deux options, les paiements débuteront un mois après lachat. Déterminer le paiement mensuel, ainsi que le montant total dintérêt payé pour chacune des options. Exemple 3:

57 ACT Cours 6 Dans la première option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 9%/12 = 0.75% Exemple 3: (suite)

58 ACT Cours 6 Dans la première option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 9%/12 = 0.75% Ici il ne faut pas confondre le taux dintérêt i par mois avec le taux effectif dintérêt par année! Exemple 3: (suite)

59 ACT Cours 6 Le diagramme dentrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P 1 Exemple 3: (suite)

60 ACT Cours 6 Léquation de valeur est où Exemple 3: (suite)

61 ACT Cours 6 Donc le paiement mensuel est P 1 = $ et le montant total dintérêt est 24(548.22) = $ Exemple 3: (suite)

62 ACT Cours 6 Dans la deuxième option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 10%/12 = % Exemple 3: (suite)

63 ACT Cours 6 Dans la deuxième option, le taux dintérêt par mois est i = i (12) /12 = 10%/12 = % Là aussi il ne faut pas confondre le taux dintérêt i par mois avec le taux effectif dintérêt par année! Exemple 3: (suite)

64 ACT Cours 6 Le diagramme dentrées et sorties est où le paiement mensuel est noté par P 2 Exemple 3: (suite)

65 ACT Cours 6 Léquation de valeur est où Exemple 3: (suite)

66 ACT Cours 6 Donc le paiement mensuel est P 2 = $ et le montant total dintérêt est 36(387.21) = $ Exemple 3: (suite)


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