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ACT2025 - Cours 2 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours.

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1 ACT Cours 2 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours

2 ACT Cours 2 Rappel: Intérêt

3 ACT Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation

4 ACT Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation

5 ACT Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation Taux effectif de lintérêt

6 ACT Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation Taux effectif de lintérêt Intérêt simple

7 ACT Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation Taux effectif de lintérêt Intérêt simple Intérêt composé

8 ACT Cours 2 Rappel: Pour lintérêt simple, la fonction de capitalisation est et la fonction daccumulation est

9 ACT Cours 2 Rappel: Pour lintérêt composé, la fonction de capitalisation est et la fonction daccumulation est

10 ACT Cours 2 Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts dintérêt simple et dintérêt composé

11 ACT Cours 2 Exemple 1: La valeur accumulée par un capital de 7 500$ investi pendant 3 mois au taux dintérêt simple de 6% par année est égale à Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t = 3/12 = 0.25

12 ACT Cours 2 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année dintérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année dintérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année

13 ACT Cours 2 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année dintérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année dintérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année le montant dintérêt gagné pendant la 7 e année

14 ACT Cours 2 Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera

15 ACT Cours 2 Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera Le montant accumulé après 9 ans sera

16 ACT Cours 2 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera

17 ACT Cours 2 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera

18 ACT Cours 2 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera Le montant dintérêt gagné pendant la 7 e année sera

19 ACT Cours 2 Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de lintérêt simple et de lintérêt composé pour le même taux i, nous obtenons le graphique suivant

20 ACT Cours 2

21 Nous avons

22 ACT Cours 2 Nous avons et

23 ACT Cours 2 Jusquà maintenant nous avons considéré la valeur accumulée dun placement, mais il est aussi important de considérer la valeur actuelle dun capital futur. On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée.

24 ACT Cours 2 Exemple 3: Bobby veut investir un capital dans un compte dépargne rémunéré au taux dintérêt composé de 4% par année pour 6 ans et au terme de la sixième année avoir $. Quel est le capital quil doit investir?

25 ACT Cours 2 Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant léquation k (1.04) 6 =

26 ACT Cours 2 Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant léquation k (1.04) 6 = Donc k = (1.04) -6 = $

27 ACT Cours 2 Notation: Le facteur daccumulation est (1 + i)

28 ACT Cours 2 Notation: Le facteur daccumulation est (1 + i) Le facteur descompte est

29 ACT Cours 2 Définition de la fonction dactualisation Cette fonction correspond à la valeur actuelle dun capital de 1$ payable au temps t Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle dun capital de k dollars après une période de temps t, il suffit de multiplier cette fonction dactualisation par k.

30 ACT Cours 2 Formule: Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alors la fonction dactualisation a -1 (t) est obtenue en divisant par la fonction de capitalisation:

31 ACT Cours 2 Exemple 4: Dans le cas de lintérêt simple, la fonction dactualisation est

32 ACT Cours 2 Exemple 4 (suite): Dans le cas de lintérêt composé, la fonction dactualisation est

33 ACT Cours 2 Propriétés anticipées de la fonction dactualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar

34 ACT Cours 2 Propriétés anticipées de la fonction dactualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar Décroissance par rapport au taux dintérêt. Si le taux dintérêt augmente, il nous faut moins de principal à investir pour obtenir à terme 1 dollar

35 ACT Cours 2 Exemple 5: (Obligation sans coupon) Si le taux effectif dintérêt est de 5% par année, quel est le prix dobligation sans coupon dont la valeur à léchéance est de 25000$ et léchéance est dans 7 ans?

36 ACT Cours 2 Solution: Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payable dans 7 ans au taux effectif dintérêt de 5% par année. Nous obtenons (1.05) -7 = $

37 ACT Cours 2 Voyons maintenant une autre mesure de lintérêt: taux effectif descompte

38 ACT Cours 2 Taux effectif descompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période.

39 ACT Cours 2 Taux effectif descompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons

40 ACT Cours 2 Taux effectif descompte pour la n e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la n e période sur le montant accumulé à la fin de la n e période. En formule, nous obtenons

41 ACT Cours 2 Si nous connaissons les taux effectifs descompte pour toutes les périodes, de la 1 e à la n e, et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la n e période, i.e. A(n)

42 ACT Cours 2 En effet,

43 ACT Cours 2 En effet, et ainsi de suite.

44 ACT Cours 2 Finalement nous obtenons la valeur accumulée:

45 ACT Cours 2 Finalement nous obtenons la valeur accumulée: ainsi que la valeur actuelle

46 ACT Cours 2 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif descompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. (a)Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans?

47 ACT Cours 2 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif descompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. (a)Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? (b)Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$ après 4 ans?

48 ACT Cours 2 Solution: (a) Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 8000(0.95) -1 (0.945) -1 (0.94) -1 (0.9425) -1 (0.9475) -1 = $

49 ACT Cours 2 Solution: (b) Nous voulons calculer la valeur actuelle de payable à la fin de la 4 e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = $

50 ACT Cours 2 Équivalence de taux: Deux taux dintérêt ou descompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales.

51 ACT Cours 2 Équivalence de taux: (approche équivalente) Deux taux dintérêt ou descompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un même capital à la fin dune période à ces deux taux sont égales.

52 ACT Cours 2 Équivalence des taux dintérêt et descompte Étant donné le taux descompte d, alors le taux dintérêt i équivalent est

53 ACT Cours 2 Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est (1 - d)

54 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d)

55 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1

56 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1 Intérêt: d

57 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Donc

58 ACT Cours 2 Équivalence des taux dintérêt et descompte Étant donné le taux dintérêt i, alors le taux descompte d équivalent est

59 ACT Cours 2 Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin de la période

60 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1

61 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i)

62 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) Intérêt: i

63 ACT Cours 2 Explication de la formule (suite) : Donc

64 ACT Cours 2 Exemple 7: Si le taux effectif descompte est de 2.25% par année, alors le taux effectif dintérêt équivalent est soit %.

65 ACT Cours 2 Exemple 8: Si le taux effectif dintérêt est de 5% par année, alors le taux effectif descompte équivalent est soit %.

66 ACT Cours 2 Exemple 9: Nous allons illustrer la formule au moyen dun exemple numérique.

67 ACT Cours 2 Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif descompte de 6% par année et quil y a autant demprunteurs que nous le désirons.

68 ACT Cours 2 Le premier emprunteur recevra 10000( ) = 9400$ au début de lannée et remboursera 10000$ à la fin de lannée. Du 10000$, il nous reste = 600$ à prêter. Le second emprunteur recevra 600( ) = 564$ au début de lannée et remboursera 600$ à la fin de lannée Du 600$, il nous reste = 36$ à prêter. Le troisième emprunteur recevra 36( ) = 33.84$ et remboursera 36$ à la fin de lannée. Ainsi de suite à linfini

69 ACT Cours 2 En résumé, nous avons EmprunteurMontant reçu au début de lannée Montant remboursé à la fin de lannée 1 er e2e e3e

70 ACT Cours 2 À la fin de lannée, nous recevrons Cette somme est égale à Nous pouvons calculer cette dernière somme.

71 ACT Cours 2 Nous avons si - 1 < x < 1. Donc

72 ACT Cours 2 Finalement nous obtenons que lintérêt est et le taux dintérêt est cest-à-dire %.

73 ACT Cours 2 Plus généralement, nous avons que lintérêt est égal à si le capital prêté est k et et le taux descompte est d.

74 ACT Cours 2 Donc le taux dintérêt est


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