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ACT2025 - Cours 2 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours.

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1 ACT2025 - Cours 2 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours

2 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Intérêt

3 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation

4 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation

5 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation Taux effectif de lintérêt

6 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation Taux effectif de lintérêt Intérêt simple

7 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Intérêt Fonction de capitalisation Fonction daccumulation Taux effectif de lintérêt Intérêt simple Intérêt composé

8 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Pour lintérêt simple, la fonction de capitalisation est et la fonction daccumulation est

9 ACT2025 - Cours 2 Rappel: Pour lintérêt composé, la fonction de capitalisation est et la fonction daccumulation est

10 ACT2025 - Cours 2 Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts dintérêt simple et dintérêt composé

11 ACT2025 - Cours 2 Exemple 1: La valeur accumulée par un capital de 7 500$ investi pendant 3 mois au taux dintérêt simple de 6% par année est égale à Notons que la période de 3 mois correspond à la valeur t = 3/12 = 0.25

12 ACT2025 - Cours 2 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année dintérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année dintérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année

13 ACT2025 - Cours 2 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% par année dintérêt composé pour 4 ans. Après ces 4 années, elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% par année dintérêt composé pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année le montant dintérêt gagné pendant la 7 e année

14 ACT2025 - Cours 2 Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera

15 ACT2025 - Cours 2 Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera Le montant accumulé après 9 ans sera

16 ACT2025 - Cours 2 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera

17 ACT2025 - Cours 2 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera

18 ACT2025 - Cours 2 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera Le montant dintérêt gagné pendant la 7 e année sera

19 ACT2025 - Cours 2 Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de lintérêt simple et de lintérêt composé pour le même taux i, nous obtenons le graphique suivant

20 ACT2025 - Cours 2

21 Nous avons

22 ACT2025 - Cours 2 Nous avons et

23 ACT2025 - Cours 2 Jusquà maintenant nous avons considéré la valeur accumulée dun placement, mais il est aussi important de considérer la valeur actuelle dun capital futur. On dit aussi la valeur présente ou encore la valeur escomptée.

24 ACT2025 - Cours 2 Exemple 3: Bobby veut investir un capital dans un compte dépargne rémunéré au taux dintérêt composé de 4% par année pour 6 ans et au terme de la sixième année avoir 15 000$. Quel est le capital quil doit investir?

25 ACT2025 - Cours 2 Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant léquation k (1.04) 6 = 15000.

26 ACT2025 - Cours 2 Solution: Notons ce capital par k. Nous avons maintenant léquation k (1.04) 6 = 15000. Donc k = 15000 (1.04) -6 = 11854.72 $

27 ACT2025 - Cours 2 Notation: Le facteur daccumulation est (1 + i)

28 ACT2025 - Cours 2 Notation: Le facteur daccumulation est (1 + i) Le facteur descompte est

29 ACT2025 - Cours 2 Définition de la fonction dactualisation Cette fonction correspond à la valeur actuelle dun capital de 1$ payable au temps t Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle dun capital de k dollars après une période de temps t, il suffit de multiplier cette fonction dactualisation par k.

30 ACT2025 - Cours 2 Formule: Si nous connaissons la fonction de capitalisation a(t), alors la fonction dactualisation a -1 (t) est obtenue en divisant par la fonction de capitalisation:

31 ACT2025 - Cours 2 Exemple 4: Dans le cas de lintérêt simple, la fonction dactualisation est

32 ACT2025 - Cours 2 Exemple 4 (suite): Dans le cas de lintérêt composé, la fonction dactualisation est

33 ACT2025 - Cours 2 Propriétés anticipées de la fonction dactualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar

34 ACT2025 - Cours 2 Propriétés anticipées de la fonction dactualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1 dollar Décroissance par rapport au taux dintérêt. Si le taux dintérêt augmente, il nous faut moins de principal à investir pour obtenir à terme 1 dollar

35 ACT2025 - Cours 2 Exemple 5: (Obligation sans coupon) Si le taux effectif dintérêt est de 5% par année, quel est le prix dobligation sans coupon dont la valeur à léchéance est de 25000$ et léchéance est dans 7 ans?

36 ACT2025 - Cours 2 Solution: Nous voulons calculer la valeur actuelle de 25000$ payable dans 7 ans au taux effectif dintérêt de 5% par année. Nous obtenons 25000 (1.05) -7 = 17767.03 $

37 ACT2025 - Cours 2 Voyons maintenant une autre mesure de lintérêt: taux effectif descompte

38 ACT2025 - Cours 2 Taux effectif descompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période.

39 ACT2025 - Cours 2 Taux effectif descompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons

40 ACT2025 - Cours 2 Taux effectif descompte pour la n e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la n e période sur le montant accumulé à la fin de la n e période. En formule, nous obtenons

41 ACT2025 - Cours 2 Si nous connaissons les taux effectifs descompte pour toutes les périodes, de la 1 e à la n e, et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la n e période, i.e. A(n)

42 ACT2025 - Cours 2 En effet,

43 ACT2025 - Cours 2 En effet, et ainsi de suite.

44 ACT2025 - Cours 2 Finalement nous obtenons la valeur accumulée:

45 ACT2025 - Cours 2 Finalement nous obtenons la valeur accumulée: ainsi que la valeur actuelle

46 ACT2025 - Cours 2 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif descompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. (a)Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans?

47 ACT2025 - Cours 2 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif descompte est de 5% pour la première année, 5.5% pour la deuxième année, 6% pour la troisième année, 5.75% pour la quatrième année et 5.25% pour la cinquième année. (a)Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? (b)Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$ après 4 ans?

48 ACT2025 - Cours 2 Solution: (a) Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 8000(0.95) -1 (0.945) -1 (0.94) -1 (0.9425) -1 (0.9475) -1 = 10615.64 $

49 ACT2025 - Cours 2 Solution: (b) Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000 payable à la fin de la 4 e année. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera 10000(0.95)(0.945)(0.94)(0.9425) = 7953.62 $

50 ACT2025 - Cours 2 Équivalence de taux: Deux taux dintérêt ou descompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales.

51 ACT2025 - Cours 2 Équivalence de taux: (approche équivalente) Deux taux dintérêt ou descompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un même capital à la fin dune période à ces deux taux sont égales.

52 ACT2025 - Cours 2 Équivalence des taux dintérêt et descompte Étant donné le taux descompte d, alors le taux dintérêt i équivalent est

53 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est (1 - d)

54 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d)

55 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1

56 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: (1 - d) Capital accumulé à la fin de la période: 1 Intérêt: d

57 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Donc

58 ACT2025 - Cours 2 Équivalence des taux dintérêt et descompte Étant donné le taux dintérêt i, alors le taux descompte d équivalent est

59 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule: Considérons un capital de 1 dollar investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur accumulée est (1 + i) à la fin de la période

60 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1

61 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i)

62 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: 1 Capital accumulé à la fin de la période: (1 + i) Intérêt: i

63 ACT2025 - Cours 2 Explication de la formule (suite) : Donc

64 ACT2025 - Cours 2 Exemple 7: Si le taux effectif descompte est de 2.25% par année, alors le taux effectif dintérêt équivalent est soit 2.30017903%.

65 ACT2025 - Cours 2 Exemple 8: Si le taux effectif dintérêt est de 5% par année, alors le taux effectif descompte équivalent est soit 4.7619048%.

66 ACT2025 - Cours 2 Exemple 9: Nous allons illustrer la formule au moyen dun exemple numérique.

67 ACT2025 - Cours 2 Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif descompte de 6% par année et quil y a autant demprunteurs que nous le désirons.

68 ACT2025 - Cours 2 Le premier emprunteur recevra 10000(1 - 0.06) = 9400$ au début de lannée et remboursera 10000$ à la fin de lannée. Du 10000$, il nous reste 10000 - 9400 = 600$ à prêter. Le second emprunteur recevra 600(1 - 0.06) = 564$ au début de lannée et remboursera 600$ à la fin de lannée Du 600$, il nous reste 600 - 564 = 36$ à prêter. Le troisième emprunteur recevra 36(1 - 0.06) = 33.84$ et remboursera 36$ à la fin de lannée. Ainsi de suite à linfini

69 ACT2025 - Cours 2 En résumé, nous avons EmprunteurMontant reçu au début de lannée Montant remboursé à la fin de lannée 1 er 940010000 2e2e 564600 3e3e 33.8436..................

70 ACT2025 - Cours 2 À la fin de lannée, nous recevrons Cette somme est égale à Nous pouvons calculer cette dernière somme.

71 ACT2025 - Cours 2 Nous avons si - 1 < x < 1. Donc

72 ACT2025 - Cours 2 Finalement nous obtenons que lintérêt est et le taux dintérêt est cest-à-dire 6.3830%.

73 ACT2025 - Cours 2 Plus généralement, nous avons que lintérêt est égal à si le capital prêté est k et et le taux descompte est d.

74 ACT2025 - Cours 2 Donc le taux dintérêt est


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