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Prédictions et probabilités en physique quantique Gilles Cohen-Tannoudji E2Phy, Nantes 23/08/2006.

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1 Prédictions et probabilités en physique quantique Gilles Cohen-Tannoudji E2Phy, Nantes 23/08/2006

2 Prédictions et probabilités en physique quantique 2 Plan de l'exposé Le programme de la mécanique rationnelle L'extension relativiste L'extension statistique La crise des quanta La mécanique quantique La critique d'Einstein La théorie quantique des champs

3 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 3 Le programme de la mécanique rationnelle Naissance de la science moderne –Un programme toujours d'actualité: ramener toute la physique à la mécanique, i.e. au mouvement d'objets matériels dans l'espace et dans le temps Les deux concepts de base: le point matériel et la force –Point matériel: idéalisation mathématique –La force: point aveugle du programme, "mise à la main". En général, la force dérive d'un potentiel La mathématisation de la mécanique –Calcul différentiel et intégral (Newton et Leibniz)

4 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 4 Extensions et perfectionnement –Mécanique des solides –Mécanique des fluides –Unification (Maxwell) de l'électricité, du magnétisme et de l'optique et modèle mécanique de l'éther –{Théorie cinétique de la matière + Thermodynamique statistique (Maxwell Boltzmann)} {Conception atomique intégrée à la mécanique} Molécules = points matériels Formulation lagrangienne (mécanique analytique) et principe de moindre action: la trajectoire du point représentant le système dans l'espace de configuration est celle qui minimise l'intégrale d'action, intégrale sur le temps de la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle

5 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 5 Les problèmes de la théorie électromagnétique de Maxwell –Modèle de l'éther peu crédible –Échec de l'expérience de Michelson Morley L'approche de Poincaré-Lorentz –Invariance de Lorentz des équations de Maxwell –Les transformations de Lorentz et les rotations forment un groupe La relativité de Poincaré –Principe de relativité et invariance de Lorentz –Théorie de l'électron déformable, contraction réelle des longueurs et pression de l'éther –Dualité temps vrai/temps local L'extension relativiste

6 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 6 La relativité restreinte d'Einstein –Les principes Relativité Invariabilité de la vitesse de la lumière, et nouveau statut de la constante c Identité des étalons de mesure au repos (durées et longueurs) –Remise en cause de la cinématique –Élimination de l'éther –Promotion du concept de champ au rang de concept fondamental –L'espace-temps de Minkowski Invariance de Lorentz étendue à toutes les lois de la physique Relativité qualifiée de restreinte parce que limitée aux changements de référentiels inertiels

7 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 7 La relativité générale –Pourquoi limiter la relativité aux seuls changements de référentiels inertiels ? –Détour par la théorie de la gravitation: Principe d'équivalence: l'accélération produite par la gravitation est indépendante de la masse et de la nature des corps sur lesquels elle s'exerce Un changement de référentiel comportant une accélération peut être remplacé par un champ gravitationnel produisant une accélération opposée De manière générale, un changement quelconque de référentiel peut localement être remplacé par un champ gravitationnel adéquat; un champ gravitationnel quelconque peut localement être remplacé par une changement adéquat de référentiel Localement signifie que l'équivalence entre changement de référentiel et champ gravitationnel n'est valable que dans une région infinitésimale d'espace-temps.

8 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 8 Le principe d'équivalence

9 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 9 Bien que subissant la gravitation, la lumière n'est pas "accélérée". Si sa trajectoire est courbe, c'est parce que l'espace-temps est courbé par la gravitation

10 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 10 "Le marbre et le bois" –La relativité générale mise en équation Membre de gauche, décrivant la géométrie de l'espace- temps à l'aide du concept de champ, est "sculpté dans le marbre le plus fin" Membre de droite décrivant la matière de manière phénoménologique, "fait d'un bois vil et ordinaire". –Le concept de champ devient le concept le plus fondamental de toute la physique, allant jusqu'à rendre superflu le concept d'espace-temps: "il n'y a pas d'espace vide de champ" –Covariance générale et événements de coïncidence: "étant donné que toutes nos expériences physiques peuvent en dernière instance être ramenées à des événements de coïncidence, il n'y a pas de raison a priori de préférer certains systèmes de coordonnées à d'autres."

11 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 11 L'extension statistique

12 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 12 Sur le principe de Boltzmann et quelques conséquences qui en découlent immédiatement Manuscrit inédit de la conférence donnée par Einstein le 2 novembre 1910 devant la société de physique de Zurich Traduit et commenté par Bertrand Duplantier Séminaire Poincaré ( )http://parthe.lpthe.jussieu.fr/poincare.htm du 9 avril 2005 pp

13 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 13 « Lorsque nous imaginons l’observation d’un système pendant un temps extrêmement long T, il va y avoir pour la plupart des états Z n une partie très petite, t, de cette période pendant laquelle le système prend précisément cet état Z n. Nous appelons la proportion t/T la probabilité W de l’état en question. » « Si l’on abandonne à lui-même un système dans un état considérablement éloigné de l’état d’équilibre thermodynamique, il prend des états successifs de W croissantes. Cette propriété a établi un point commun entre la probabilité W d’un état et l’entropie S du sytème, et Boltzmann a trouvé qu’entre W et S existe la relation S=klnW Où k est une constante universelle, c.-à-d. indépendante du choix du système.

14 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 14 Deux façons d’utiliser le principe de Boltzmann –Partant d’une évaluation des probabilités, on en déduit l’entropie: e.g. dérivation de l’équation des gaz parfaits ou de la pression osmotique –« A partir de la fonction entropie, déterminée empiriquement, on peut déterminer la probabilité statistique des états individuels à l’aide de la formule de Boltzmann. On acquiert ainsi une possibilité de jauger de combien dévie le comportement du système par rapport au comportement requis par la thermodynamique. » Deux exemples –Particule en suspension dans un fluide, et qui est un peu plus lourde que le fluide qu’elle déplace, et loi du mouvement brownien –Réinterprétation de la loi du corps noir de Planck en termes de quanta de lumière.

15 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 15 Mouvement des particules en suspension dans un fluide au repos, comme conséquence de la théorie cinétique moléculaire de la chaleur Einstein, Annalen de Physik, vol. XVII, 1905, p Séminaire Poincaré du 9 avril 2005, p « Il se peut que le mouvement dont il est question ici soit identique à ce que l’on appelle ‘le mouvement brownien’. Les informations dont je dispose à ce sujet sont cependant si peu précises qu’il ne m’a pas été possible de me faire une opinion. »

16 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 16 Einstein n’essaie pas, contrairement à ses prédécesseurs, de raisonner sur une vitesse d’agitation moyenne, il considère le déplacement du grain pendant un temps considéré Il montre que le carré moyen de ce déplacement pendant une certaine durée t est proportionnel à cette durée Einstein montre alors que le mouvement brownien est un processus de diffusion des grains dans le liquide et relie le coefficient de diffusion D à

17 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 17 Einstein établit la formule : (formule de diffusion d’Einstein) C’est cette formule qui sera utilisée par Jean Perrin pour « compter » le nombre d’atomes, c’est-à-dire déterminer le nombre d’Avogadro Illustration du théorème fluctuation- dissipation

18 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 18 "Les positions qu'occupe une particule au cours d'un mouvement brownien à deux instants espacés d'une seconde doivent toujours apparaître, même à l'observateur le plus consciencieux, comme indépendantes l'une de l'autre, et le plus grand mathématicien ne réussirait jamais dans un cas déterminé à calculer d'avance, même approximativement, le chemin parcouru pendant une seconde par une telle particule." "Cependant, les lois de valeurs moyennes, éprouvées dans tous les cas, tout comme les lois statistiques sur les fluctuations, valables dans les domaines des effets les plus fins, nous conduisent à la conviction que nous devons tenir fermement dans la théorie à l'hypothèse de l'enchaînement causal complet des événements, même si nous ne devons jamais espérer obtenir par les observations améliorées de la Nature la confirmation directe de cette conception." Séminaire Poincaré ( ) du 9 avril 2005 p. 219http://parthe.lpthe.jussieu.fr/poincare.htm

19 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 19 La crise des quanta Le quantum d'action: crise de la causalité et de l'objectivité –Crise de la causalité: en mécanique classique les lois causales du mouvement sont déduites du principe de moindre action qui nécessite impérativement la continuité de l'action, or le quantum d'action est un élément de discontinuité de l'action. –Crise de l'objectivité: comme toute mesure est une interaction mettant en jeu au moins un quantum d'action, toute mesure modifie le système qui est l'objet de la mesure. –Le caractère fini du quantum d'action exclue toute subdivision des processus quantiques individuels. Ces processus doivent être traités comme des événements irréductibles non individuellement prédictibles ni reproductibles. –La seule prédictibilité possible pour de tels événement est probabiliste à partir de moyennes statistiques portant sur des ensembles d'événements.

20 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 20 La mécanique quantique Première réponse à la crise des quanta, la mécanique quantique non relativiste –Physique non relativiste de systèmes comportant un nombre fini et fixé de particules assimilées à des points matériels –Formalisme de l'espace de Hilbert: l'état quantique d'un tel système est représenté par une fonction d'onde, vecteur de l'espace de Hilbert, obéissant à l'équation déterministe de Schrödinger –Interprétation probabiliste de la fonction d'onde: le module au carré de la fonction d'onde est relié à la probabilité que le système soit dans l'état considéré.

21 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 21 La critique d'Einstein "En théorie quantique, on décrit un état réel d'un système par une fonction normée des coordonnées  (de l'espace de configuration). L'évolution dans le temps est donnée de façon non équivoque par l'équation de Schrödinger. On aimerait bien pouvoir dire:  est coordonnée de façon biunivoque à l'état réel du système réel. Le caractère statistique des résultats de mesure est à mettre exclusivement au compte des appareils de mesure ou des procédures de mesure. Quand ça marche, je parle de description complète de la réalité par la théorie; Mais si une telle interprétation s'avère impraticable je dis que la description théorique est incomplète." (lettre d'Einstein à Schrödinger, juin 1935)

22 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 22 L'article "EPR" (Einstein, Podolsky, Rosen) propose une expérience de pensée dont le résultat positif montrerait que –Soit la mécanique quantique est incomplète –Soit elle viole le principe de séparation, aussi appelé principe de localité, qui stipule que si l'état réel d'un système est constitué des états réels de deux sous systèmes A et B, alors l'état réel du sous système B ne dépend en aucune façon des expériences que l'on fait sur le sous système A.

23 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 23 Inégalités de Bell En 1964, Bell établit des inégaltés très générales que doivent satisfaire des expériences de type EPR, sous la double hypothèse que La mécanique quantique est incomplète et qu'il faut donc la compléter avec des "variables cachées" Le principe de séparation est satisfait Expériences d'Aspect En 1982, Aspect et ses collaborateurs réalise une expérience pour tester les inégalités de Bell. Il trouve une nette violation, confirmée depuis par de nombreuses autres expériences. Comme il semble impossible de remettre en cause le principe de séparation, la physique quantique sort acquittée du procès en incomplétude que lui a intenté Einstein.

24 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 24 La théorie quantique des champs –Le passage de la mécanique quantique à la théorie quantique des champs marque un changement complet de perspective: L'objet de la théorie n'est plus un système comportant un nombre fini et fixé de particules, mais un système de champs quantiques Un champ quantique est un champ d'opérateurs de production ou de destruction de particules La fonction d'onde reçoit une interprétation différente: en mécanique quantique la fonction d'onde d'une particule est une fonction complexe des coordonnées dont le module au carré est relié à la probabilité que la particule soit au point considéré, en théorie quantique des champs le module au carré de la fonction d'onde est relié à la probabilité de détecter une particule au point considéré. En fait, il se trouve que toutes les expériences de physique quantique sont plus naturellement interprétées à l'aide du point de vue de la théorie quantique des champs qu'à l'aide du point de vue de la mécanique quantique: les détecteurs ne sont rien d'autre que des compteurs d'événements mais jamais des appareils permettant de déterminer la fonction d'onde d'une particule isolée

25 23/08/2006Prédictions et probabilités en physique quantique 25 –Le bilan des objections d'Einstein Einstein avait raison de reprocher à la mécanique quantique de se limiter aux systèmes comportant un nombre fini et fixé de particules alors que l'expérience montre que des particules peuvent être produites ou détruites Mais il avait tort de taxer d'incomplétude le caractère non prédictible et non reproductible des événements quantiques individuels. Dans sa forme actuelle, la physique quantique satisfait le critère de complétude qu'il énonçait dans sa lettre à Schrödingerlettre à Schrödinger


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