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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon La droite dans R 2 La droite dans R2R2.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon La droite dans R 2 La droite dans R2R2

2 Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment obtenir l’équation d’une droite de R2 R2 dont certaines caractéristiques sont décrites à l’aide des vecteurs. Pour décrire une droite de R 2, on peut : donner un point et un vecteur perpendiculaire à la droite (ou vecteur normal); donner un point et un vecteur parallèle à la droite (ou vecteur directeur).

3 Vecteur normal Définition Un vecteur normal à une droite de R 2 est un vecteur perpen- diculaire à cette droite. Nous le notons N. Comme nous l’avons fait précédemment, nous emploierons parfois la lettre grecque ∆ (delta) pour désigner une droite. Rappelons que, pour trouver l’équation d’une droite, on doit décrire la condition à laquelle doit satisfaire un point pour être sur cette droite. Dans les situations que nous allons présenter, cette condition s’exprime à l’aide des vecteurs.

4 Équation d’une droite de R 2 Considérons une droite dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ) et un vecteur normal N = (a; b). Pour qu’un point P(x ; y) soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. N RP = (a ; b) (x – x 1 ; y – y 1 ) = 0, d’où : ax + by – ax 1 – by 1 = 0. Un point et un vecteur normal sont donnés On doit donc avoir : Dans cette équation, –ax 1 – by 1 est une constante que l’on désigne par c. On a donc une équation de la forme : Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b). ax + by + c = 0

5 Équation cartésienne d’une droite de R 2 Définition Soit R(x 1 ; y 1 ), un point d’une droite ∆, et N = (a; b), un vecteur normal à cette droite. On appelle équation cartésienne de la droite l’équation : Remarque : Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables représentent un vecteur normal à la droite. ax + by + c = 0, où c = –ax 1 – by 1.

6 1.Soit R, le point, et N, le vecteur normal. Construire le vecteur allant du point R à un point P quelconque de coordonnées (x; y). pour trouver l’équation cartésienne d’une droite de R 2 dont un point et un vecteur normal sont connus Équation cartésienne d’une droite de R 2 3.Faire égaler le produit à 0 et regrouper les constantes. 2.Effectuer le produit scalaire des vecteurs N et RP. Procédure

7 Exemple Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point R(4; 5) et perpendiculaire au vecteur N = (2; 1). S Soit P(x ; y), un point quelconque de R 2. Le vecteur RP est alors : N RP = (2; 1) (x – 4; y – 5) = 0 L’équation cartésienne est donc : Pour que P soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. Leur produit scalaire doit donc être nul. RP = (x – 4; y – 5) 2x 2x – 8 + y – 5 = 0 2x 2x + y – 13 = 0 2x 2x + y – = 0

8 Exercice Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point R(6; 3) et perpendiculaire au vecteur N = (1; 3). S Soit P(x ; y), un point quelconque de R 2. Le vecteur RP est alors : N RP = (1; 3) (x – 6; y – 3) = 0 L’équation cartésienne est donc : Pour que P soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. Leur produit scalaire doit donc être nul. RP = (x – 6; y – 3) x – 6 + 3y – 9 = 0 x + 3y – 15 = 0

9 Vecteur directeur Vecteur directeur Définition Un vecteur directeur est un vecteur parallèle à un lieu géométrique, à une droite ou à un plan. Nous le noterons D. En donnant un point et un vecteur directeur, on détermine complètement une droite. On peut donc en trouver une équation en utilisant cette information. Il y a différentes formes sous lesquelles on peut décrire symbo- liquement une droite dont on connaît un point et un vecteur directeur. On peut en donner une équation vectorielle, une descrip- tion paramétrique ou une équation symétrique.

10 Vecteur position Rappelons qu’un repère d’une droite est constitué d’un point de celle-ci et d’un vecteur directeur. À partir d’un point fixe considéré comme origine, on peut décrire chaque point de la droite par un vecteur position. En considérant que le domaine de variation du paramètre est R, on obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit : Remarque : OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Dans R 2, les vecteurs OX, OP et D s’expriment en fonction de la base. On utilisera la base orthonormée usuelle.

11 Équations paramétriques d’une droite de R2R2 Considérons une droite dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ) et un vecteur directeur D = (a; b). Soit un point P(x; y) de cette droite, alors : (x; y) = (x 1 ; y 1 ) + t (a; b) = (x 1 + a t; y 1 + b t), où t est un nombre réel. Remarque : Dans une description paramétrique de la droite, les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. Un point et un vecteur directeur sont donnés Cela donne l’équation vectorielle : OP = OR + RP OP = OR + t D, où t est un nombre réel. L’égalité des vecteurs donne la description paramétrique de la droite : ∆ : x = x 1 + a t y = y 1 + b t, où t est un nombre réel., d’où :

12 Équations vectorielle et paramétriques Équation vectorielle et équations paramétriques Définition Soit R(x 1 ; y 1 ), un point d’une droite, et D = (a; b), un vecteur directeur de cette droite. On appelle équation vectorielle de la droite l’équation : (x; y) = (x 1 ; y 1 ) + t (a; b) = (x 1 + a t; y 1 + b t), où t est un nombre réel. OP = OR + t D, où t est un nombre réel. On appelle équations paramétriques de la droite les équations : ∆ : x = x 1 + a t y = y 1 + b t, où t est un nombre réel. En exprimant les vecteurs dans la base usuelle de R 2, cela donne :

13 En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a : Exemple Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne de la droite passant par le point R(3; 2) et parallèle au vecteur D = (–1; 3). S Soit P(x ; y), un point quelconque de R 2. Ce point est sur la droite si le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. C’est à dire s’il existe un scalaire t tel que : Les équations paramétriques sont alors : OP = OR + t D (x; y) = (3; 2) + t (–1; 3) = (3 – t; 2 + 3t) ∆ : x = 3 – t y = t, où t est un nombre réel. S Pour trouver une équation cartésienne à partir des équations paramétriques, il faut éliminer le paramètre. Pour ce faire, isolons t dans chacune des équations. On trouve alors : t = x – 3 –1 et t = y – 2 3 D’où : x – 3 –1 y – 2 3 = Cela donne : 3x – 9 = –y + 2 Et on obtient l’équation cartésienne : 3x + y – 11 = 0

14 En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a : Exercice Trouver les équations paramétriques, puis une équation cartésienne de la droite passant par le point R(4; 2) et parallèle au vecteur D = (3; –2). S Soit P(x ; y), un point quelconque de R 2. Ce point est sur la droite si le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. C’est à dire s’il existe un scalaire t tel que : Les équations paramétriques sont alors : OP = OR + t D (x; y) = (4; 2) + t (3; –2) = (4 + 3 t; 2 – 2t) ∆ : x = 4 + 3t3t y = 2 – 2t2t, où t est un nombre réel. S Pour trouver une équation cartésienne à partir des équations paramétriques, il faut éliminer le paramètre. Pour ce faire, isolons t dans chacune des équations. On trouve alors : t = x – 4 3 et t = y – 2 –2 D’où : x – 4 3 y – 2 –2 = Cela donne : –2x + 8 = 3y – 6 Et on obtient l’équation cartésienne : –2x – 3y + 14 = 0 En multipliant les deux membres de l’équation par –1, on a : 2x + 3y – 14 = 0

15 Équation symétrique d’une droite de R 2 Équation symétrique Définition Soit R(x 1 ; y 1 ), un point d’une droite, et D = (a; b), un vecteur directeur de cette droite. L’équation symétrique de la droite est : = x – x1x1 a y – y1y1 b, si a ≠ 0 et b ≠ 0. Remarque : Dans une équation symétrique de la droite, les dénominateurs donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

16 Positions relatives de droites dans R 2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles Les vecteurs normaux sont parallèles : Les vecteurs directeurs sont parallèles : Le vecteur normal de l’une des droites est perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite :  k  R tel que  k  R tel que N 1 = k N 2 D 1 = k D 2 et N 1 D 2 = 0 D 1 N 2 = 0

17 Positions relatives de droites dans R 2 Droites parallèles Caractéristiques des droites parallèles distinctes Lorsqu’un point R(x 1 ; y 1 ) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : Il n’y a aucun point d’intersection. Lorsqu’un point R(x 1 ; y 1 ) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite : Il y a une infinité de points d’intersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues si R  ∆ , alors R  ∆ 2 si R  ∆ , alors R  ∆ 2

18 Positions relatives de droites dans R 2 Droites concourantes Caractéristiques des droites concourantes Les droites ne sont pas parallèles. Les vecteurs directeurs sont non colinéaires : Le vecteur normal de l’une des droites n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de l’autre droite :  k  R\{0}, N 1 ≠ k N 2 D 1 ≠ k D 2 et D 1 N 2 ≠ 0 N 1 D 2 ≠ 0 Les vecteurs normaux sont non colinéaires : Il y a un seul point d’intersection.

19 N1 D2 N1 D2 Exemple Déterminer la position relative des droites ∆ 1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆ 1 : 2x – 3y + 16 = 0 et ∆ 2 : x = 2 + 3t y = 4 + 2t SS = (2; –3) (3; 2) = 6 – 6 = 0. Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (2; –3). D 2 = (3; 2). Le produit scalaire donne : Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles. Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite. En posant, par exemple, x = 1 dans l’équation de ∆ 1, on obtient 2 – 3y + 16 = 0, d’où –3y = –18 et y = 6. Le point P 1 (1; 6) est donc un point de ∆ 1. En substituant les coordonnées de ce point dans les équations de la droite ∆ 2, on obtient : 1 = 2 + 3t, d’où : t = –1/3 6 = 4 + 2t, d’où : t = 1 Ces égalités contradictoires indiquent que le point (1; 6) n’est pas sur la droite ∆ 2. Les droites sont donc parallèles distinctes.

20 N1 D2 N1 D2 Exercice Déterminer la position relative des droites ∆ 1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆ 1 : 4x + 3y – 24 = 0 et ∆ 2 : x = –3 + 3t y = 12 – 4t SS = (4; 3) (3; –4) = 12 – 12 = 0. Les dénominateurs dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (4; 3). D 2 = (3; –4). Le produit scalaire donne : Par conséquent, les vecteurs sont perpendiculaires et les droites sont parallèles. Pour déterminer si les droites sont distinctes ou confondues, il suffit de considérer un point quelconque de l’une des droites et de vérifier s’il est sur l’autre droite. En posant, par exemple, x = 3 dans l’équation de ∆ 1, on obtient y – 24 = 0, d’où 3y = 12 et y = 4. Le point P 1 (3; 4) est donc un point de ∆ 1. En substituant les coordonnées de ce point dans l’équation de la droite ∆ 2, on obtient : Ces égalités indiquent que le point (3; 4) est sur la droite ∆ 2. Par conséquent, les droites sont parallèles confondues. 3 = –3 + 3t, d’où : t = 2 4 = 12 – 4t, d’où : t = 2

21 Exemple Déterminer la position relative des droites ∆ 1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆ 1 : 4x – y – 11 = 0 et ∆ 2 : x = 7 + 5t y = 1 + 4t SS = (4; –1) (5; 4) = 20 – 4 = 16 ≠ 0. Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (4; –1). D 2 = (5; 4). Le produit scalaire donne : N1 D2 N1 D2 Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes. Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : 4(7 + 5t) – (1 + 4t) 4t) – 11 = t – 1 – 4t – 11 = 0 16t + 16 = 0 t = –1 Le point de rencontre des deux droites est donc (2; –3). x =  (–1) = 2 y =  = –3 En substituant dans les équations paramétriques, on trouve :

22 Exercice Déterminer la position relative des droites ∆ 1 et ∆ 2, où : Trouver le point d’intersection, le cas échéant. Les coefficients des variables dans l’équation cartésienne donnent un vecteur normal ∆ 1 : 7x + 3y – 26 = 0 et ∆ 2 : x = 9 + 2t y = 3 + 3t SS = (7; 3) (2; 3) = = 23 ≠ 0. Les coefficients du paramètre dans les équations paramétriques donnent un vecteur directeur N 1 = (7; 3). D 2 = (2; 3). Le produit scalaire donne : N1 D2 N1 D2 Par conséquent, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et les droites sont concourantes. Pour déterminer le point de rencontre des droites, on peut substituer les équations paramétriques dans l’équation cartésienne et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. Cela donne : 7(9 + 2t) + 3(3 + 3t) 3t) – 26 = t t – 26 = 0 23t + 46 = 0 t = –2 Le point de rencontre des deux droites est donc (5; –3). x =  (–2) = 5 y =  = –3 En substituant dans les équations paramétriques, on trouve :

23 Conclusion On peut caractériser une droite de R 2 en donnant un point de celle-ci et en définissant son orientation, soit par un vecteur normal ou par un vecteur directeur. Ces informations sont suffisantes pour déterminer une équation de la droite. À partir de l’équation d’une droite, on peut déterminer soit un vecteur normal, soit un vecteur directeur. En comparant les vecteurs décrivant l’orientation de deux droites, on peut savoir si celles-ci sont parallèles ou concourantes. Lorsque les droites sont parallèles et qu’elle n’ont pas de point commun, elles sont parallèles distinctes. Si elles ont un point commun, elles sont confondues.

24 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 10.1, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.1, p Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 10.2, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.2, p


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