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Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 2 Principes de tarification de base.

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1 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Partie 2 Principes de tarification de base

2 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification Lors du dernier cours, nous avons vu comment déterminer si le niveau de taux moyen d'une ligne d'affaire est adéquat pour une certaine période de tarification future. Maintenant, le niveau de taux moyen déterminé, il faudra se pencher sur la tarification d'un chaque sous-groupe possible. En particulier nous allons nous regarder la tarification relative de chacun de ces sous-groupes par rapport à un niveau de base. Par exemple : - Est-ce que les jeunes conducteurs sont tarifiés correctement par rapport aux conducteurs plus âgés? - Est-ce que les nouvelles maisons sont tarifiés correctement par rapport aux maisons plus anciennes? Etc...

3 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Anti-Sélection (Adverse Selection) La valeur des actuaires de tarification en assurances IARD repose principalement sous le principe d'anti-sélection. Considérons l'exemple de la Compagnie A qui charge un taux moyens à tous ces assurés alors que ces compétiteurs utilisent une certaine variable de tarification (i.e. L'âge) faisant varié les prix selon l'espérance des sinistres. Les compétiteurs vont donc charger moins que la moyenne pour les assurés ayant une basse espérance de sinistres et plus que la moyenne pour ceux en ayant une haute. La compagnie A perdra donc ces risques ayant une basse espérance de sinistres, car elle charge trop pour eux (i.e. Le taux moyen). De la même façon, elle va attirer les risques ayant une haute espérance de sinistres, car elle ne charge pas suffisamment.

4 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Anti-Sélection (Adverse Selection) Une fois les « bons » risques parties et remplacés par les « mauvais », la compagnie A ne sera probablement plus profitable, car son taux « moyen » n'est plus adéquat pour sa nouvelle distribution de risques. Faisant face à ce scénario, elle devra augmenter son taux moyen sauf qu'en faisant ceci, elle risque maintenant de perdre ces risques « moyens » à ces compétiteurs. Bref, le fait de ne pas considérer la variable de tarification va entraîner la compagnie dans une spirale presque sans fin lui faisant perdre ses meilleurs risques et attirer les pires risques de ces compétiteurs. Ce processus s'appelle être victime d'anti-sélection. La vitesse de ce processus va dépendre de plusieurs facteurs : - L'élasticité des assurés - La complexité du système de tarification courant - La sophistication des assurés...

5 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Anti-Sélection (Adverse Selection) Exemple 1 : À partir du tableau et de l'information ci-dessous, expliquer le processus d'anti-sélection : - 1 assuré sur 10 magasine selon le prix au renouvellement de sa police - H : Risque Élevé (High Risk) - L : Risque Faible (Low Risk) - Assumer aucun profit

6 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Anti-Sélection (Adverse Selection) Exemple 1 : Suite... 1) Comme la « Refined Company » charge moins pour les risques L (130$ vs 180$), elle va attirer les assurés qui magasinent de la « Single Company » soit 1/10 de 25,000 2) Comme la « Refined Company » charge plus pour les risques H (230$ vs 180$), elle va perdre ces risques magasinant à la « Single Company » soit 1/10 de 25,000. La nouvelle distribution des risques est affiché ci-dessous :

7 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Anti-Sélection (Adverse Selection) Exemple 1 : Suite... 3) La « Single Company » perd maintenant 250,000$ tandis que la « Refined Company » fait 0$. La « Single Company » devra donc augmenter les taux de 180$ à 185$ (la nouvelle moyenne de son livre d'affaire) 4) En faisant ceci, elle risque de perdre encore plus des bons risques (risques L) faisant encore plus chuter son profit et la forçant encore une fois à continuer d'augmenter ses taux.

8 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Critères d'une bonne variable de tarification Il existe 4 critères principaux qu'une variable de tarification devrait idéalement posséder : 1) Critères Statistiques La variable de tarification doit tout d'abord refléter la variation de l'espérance des sinistres à travers différents groupes d'assurés. En particulier, la variable devra être : - Statistiquement significative - Homogénéité de chacun des sous groupes créés par la variable - Crédible

9 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Critères d'une bonne variable de tarification 2) Critères Opérationnelles Même si la variable segmente très bien les risques selon leur espérance de sinistres, elle doit aussi être suffisamment pratique pour être utilisé à l'intérieur d'un algorithme de tarification. En particulier, elle doit être : - Objective - Peu coûteuse à administrer - Vérifiable

10 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Critères d'une bonne variable de tarification 3) Critères Sociaux Les compagnies d'assurance vendent leurs produits à une variété de consommateurs, pour cette raison, elles doivent conserver une bonne réputation aux yeux du publique. Certains critères peuvent nuire à la réputation d'une compagnie d'assurance : - Accessibilité du produit d'assurance (i.e. Même si l'expérience le justifie, le produit d'assurance ne devrait pas être tarifié à un prix déraisonnable) - Cause à Effet (i.e. Il doit y avoir une relation logique et explicable afin que le publique accepte l'utilisation de la variable de tarification) - Contrôlable - Respecter la vie privée des consommateurs

11 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Critères d'une bonne variable de tarification 4) Critères Légaux Pour certaines provinces, l'assurance est un produit très réglementés (principalement l'assurance automobile). Par exemple, au Nouveau-Brunswick, il est illégale d'utiliser le sexe et l'âge comme variable de tarification en assurance automobile. En Ontario, l'utilisation de la Cote de Crédit en assurance automobile est prohibé. Toutes compagnies faisant affaire à l'intérieur de ces provinces ont donc des contraintes légales supplémentaires à respecter lors de la détermination des variables de tarification.

12 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification univariée Maintenant que nous avons vu les principes de bases en classification, ils nous restent à déterminer nos facteurs de tarification pour chaque variable de tarification. Ces facteurs seront appelés Relativités (ou différentiels) À l'intérieur de cette section, nous verrons des méthodes de classification univariées (i.e. Déterminer les relativités des variables de tarification une à la fois). En particulier, nous verrons trois méthodes : - Méthode de la Prime Pure - Méthode du Ratio Sinistres-Primes - Méthode de la Prime Pure Ajustée

13 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode de la Prime Pure La différence avec la façon dont nous avons utilisé cette méthode précédemment est que maintenant, nous allons l'utiliser afin de déterminer la relativité indiqué pour chaque sous-groupe de tarification et non simplement le taux moyen indiqué. Supposons une variable de tarification avec une relativité de Rel i pour chaque niveau i différent. Par exemple, soit la variable d'âge, un des niveau i pourrait être les assurés âgés de 25 à 30 ans. Le taux applicable pour chaque niveau est donc : Rel i = Relativité pour le sous-groupe i B = Taux de base Taux i = Rel i * B En utilisant l'indice « Ind » pour indiquer la relativité indiqué, on obtient : Rel Ind,i = Taux Ind,i / B Ind

14 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode de la Prime Pure Partons de la formule appris précédemment pour la méthode de la prime pure : Taux Ind = (E(L) + E(E L ) + E(E F )) / (1-V-Q T ) Maintenant, supposons que toutes les dépenses sont variables : Taux Ind = E(L+E L ) / (1-V-Q T ) En remplaçant le taux indiqué dans la formule de la diapositive précédente : Rel Ind,i = Taux Ind,i / B Ind On obtient : [E(L+E L ) i / (1-V-Q T ) i ] / [E(L+E L ) B / (1-V-Q T ) B ] Où i représente le niveau du sous-groupe analysé et B représente le niveau du taux de base (i.e. Lorsque la relativité =1.000)

15 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode de la Prime Pure Finalement, supposons que toutes les polices ont les mêmes dépenses de souscription et le même profit visé, on obtient : On obtient : Rel Ind,i =E(L+E L ) i / E(L+E L ) B Bref, la relativité indiqué pour le niveau i est égale à la prime pure projetée pour ce niveau divisée par la prime pure projetée pour le niveau de base. En pratique, comme il n'est pas toujours possible d'allouer les ULAE à chaque niveau i, ils seront généralement exclut du calcul.

16 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode de la Prime Pure En Classification, la majorité des ajustements appris pour le calcul d'un indiqué pourrait aussi théoriquement aussi être appliqués. Cependant, plusieurs de ces ajustements risquent de s'annuler lors du calcul de la relativité (i.e. Inflation, développement des sinistres) à moins qu'ils aient étés calculés à plusieurs sous niveau. À l'intérieur de ce cours, nous allons donc seulement considérer trois ajustements en classification : - Mise à niveau des primes (non-applicable pour la méthode de la Prime Pure) - Ajustements pour sinistres majeurs - Ajustements pour catastrophes

17 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode de la Prime Pure Exemple 2 : À partir des données c-dessous, calculer les relativités indiqués pour chaque territoire :

18 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode de la Prime Pure Exemple 2 : Suite... Étapes 1) Calculer la prime pure indiqué pour chacun des niveaux Rappel : Prime Pure = Sinistres & ALAE / Unités d'expositions 2) Calculer les relativités indiqués relatifs à la moyenne Rel(i) = Prime Pure(i) / Prime Pure moyenne 3) Calculer les relativités indiqués relatifs au taux de base afin de rebalancer le niveau de base à une relativité de (dans ce cas le territoire 2) Rel(i) = Rel(i) / Rel(B)

19 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode du Ratio Sinistres-Primes L'approche de la méthode du Ratio Sinistres-Primes sera similaire, sauf quà la place de comparer la prime pure à plusieurs niveaux différents, nous allons comparer le ratio sinistres-primes. En partant de l'équation de la méthode de la prime pure : Rel Ind,i =E(L+E L ) i / E(L+E L ) B Rel Ind,i =[(L+E L ) i / X i ] / [(L+E L ) B / X B ] où X représente le nombre d'unités d'expositions En multipliant les deux côtés de l'équation par le ratio de la prime moyenne mise à niveau pour le niveau de base ( E(P B ) ) divisé par la prime moyenne mise à niveau pour le niveau i ( E(P i ) ), on obtient : Rel Ind,i * E(P B ) / E(P i ) =[(L+E L ) i / X i ] / [(L+E L ) B / X B ] * E(P B ) / E(P i )

20 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode du Ratio Sinistres-Primes Comme : E(P B ) = P B / X B et E(P i ) = P i / Xi, Et que le niveau de relativité courant Rel i = E(P i ) / E(P B ) L'équation devient : Rel Ind,i / Rel i =[(L+E L ) i / P i ] / [(L+E L ) B / P B ] ou Chg indiqué pour la relativité i = [(L+E L ) i / P i ] / [(L+E L ) B / P B ] – 1.00 En d'autres mots : Chg indiqué pour la relativité i = RSP incl. LAE pour i / RSP incl. LAE pour B Note : Le changement calculé est relatif et non absolu

21 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode du Ratio Sinistres-Primes Exemple 3 : À partir des données c-dessous, calculer les relativités indiqués pour chaque territoire :

22 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode du Ratio Sinistres-Primes Exemple 3 : Suite... Étapes 1) Calculer le RSP pour chacun des niveaux en utilisant la prime mise à niveau Rappel : RSP = Sinistres & ALAE / Prime mise à niveau 2) Calculer les facteurs d'ajustements indiqués pour les relativités courantes : Facteur de Chg. Rel i = RSP i / RSP moyen 3) Calculer les relativités indiqués en multipliant le facteur d'ajustement aux relativités courantes : Rel Ind,i = Facteur de Chg. Rel i * Rel i

23 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode du Ratio Sinistres-Primes Exemple 3 : Suite... Étapes 4) Calculer les relativités indiqués relatifs au taux de base (dans ce cas le territoire 2) Rel Ind,i = Rel Ind,i / Rel Ind,B

24 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Comparaison Bien que les deux méthodes semblent mathématiquement équivalentes, comme elles utilisent de l'information différente (unités dexposition vs prime), elles ne vont pas nécessairement produire les mêmes résultats. Comme la méthode de la prime pure utilise les unités d'expositions pour pondérer les sinistres, elle assume indirectement que ces unités sont distribuées uniformément à travers les variables de tarification, sauf que ce n'est généralement pas le cas. Par exemple, en assurance habitation, supposons qu'un territoire possède majoritairement des maisons d'une très grande valeur, la prime pure de ce territoire risque d'être très élevé, car les unités d'expositions varient simplement selon le nombre de maisons. Cependant cela ne veut pas nécessairement dire que ce territoire est pire qu'un autre. Bref, la méthode de la prime pure ignore complètement la corrélation qui pourrait y avoir entre certaines variables.

25 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Comparaison La méthode du Ratio Sinistres-Primes possède un problème similaire, mais à un niveau moins grave. Comme cette méthode utilise la prime mise à niveau pour pondérer les sinistres au lieu des unités d'expositions, elle va refléter le fait que certains risques ont une espérance de sinistres différentes de la moyennes selon d'autres variables déjà considérés à l'intérieur de la tarification. Considérons l'exemple précédent, le biais causé par le fait qu'un territoire possède beaucoup de maisons d'une valeur élevé sera réduit par le fait que son Ratio Sinistres-Primes sera grandement diminué par une prime plus élevé chargée pour ces maisons. Cependant comme la tarification courante n'est probablement pas parfaite, elle ne va pas nécessairement capturer toutes corrélations présentent à travers les variables de tarification. Pour cette raison, la méthode du Ratio Sinistres-Primes est une des plus utilisée à travers l'industrie.

26 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode de la Prime Pure Ajustée La méthode de la Prime Pure doit donc être ajustée si on veut l'utiliser avec précision. Afin d'y arriver, on a qu'à multiplier le nombre d'exposition du groupe en question par la relativité moyenne de une ou plusieurs variables de tarification afin d'enlever le biais qu'elles peuvent créer. En faisant cette modification, nous allons donc considérer le fait que les unités d'expositions ne sont pas nécessairement distribuées uniformément à travers les différentes variables de tarification. L'estimé obtenu peut potentiellement être aussi précis que la méthode du Ratio Sinistres-Primes si toutes autres variables de tarifications sont incluent dans le calcul.

27 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode du Ratio Sinistres-Primes Exemple 4 : À partir des données ci-dessous, calculer les relativités indiqués pour chaque territoire :

28 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Classification – Méthode du Ratio Sinistres-Primes Exemple 4 : Suite... Étapes 1) Calculer les unités d'expositions ajustées = Unités d'expositions * Relativité moyenne du groupe (par rapport à d'autres variables de tarification) 2) Calculer la Prime Pure ajustée = Sinistres & ALAE / unités d'expositions ajustées 3) Calculer les relativités indiqués relatifs à la moyenne Rel(i) = Prime Pure(i) / Prime Pure ajustée moyenne 4) Calculer les relativités indiqués relatifs au taux de base Rel(i) = Rel(i) / Rel(B)

29 Faculté des arts et des sciences Mathématiques et statistique Exercices Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS pertinents à la matière de cette section : Exam 5 – Spring 2012 : #14 Exam 5 – Spring 2011 : #4, #10, #11, #12, 15a) Exam 5 – Spring 2010 : #29 Exam 5 - Spring 2009 : #37, #38 Exam 5 – Spring 2008 : #30, #33 Note Les exercices sont disponibles sur la site de la CAS à l'adresse suivante :


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