Algorithmes Génétiques : Principes mathématiques et Utilisations

Présentation au sujet: "Algorithmes Génétiques : Principes mathématiques et Utilisations"— Transcription de la présentation:

1 Algorithmes Génétiques : Principes mathématiques et Utilisations
C. Bontemps Merci à Jean Marc Alliot, Christophe Bisiere, Nicolas Durand, Nathalie Lenoir et Eric Malin

2 Plan Général Principes des algorithmes génétiques Exemples
Opérateurs classiques Améliorations Résultats théoriques Utilisations et perspectives

3 Principe des Algorithmes Génétiques
Algorithmes Stochastiques itératifs qui opèrent sur des individus codés, à partir d’une population initiale. Cette population évolue de la génération k à la génération k+1 à l’aide de trois opérateurs : Opérateur de Sélection Opérateur de Croisement Opérateur de Mutation.

4 Principe (suite) Chaque individu est reproduit en fonction de son adaptation au problème (fitness). On code les individus de manière à les faire “évoluer” grâce aux opérateurs On effectue des croisements sur les individus destinés à être reproduits Des mutations aléatoires Génération de nouveaux individus

5 Ingrédients Une fonction objectif Une population initiale
Une méthode de codage Des opérateurs Un critère d’arrêt

6 Population génération k
Evaluation-Sélection Pc Croisement Pm Mutation Population génération k+1 (Nouveaux individus)

7 Exemple élémentaire Max de f(x)=4x(1-x) sur l’intervalle [0,1]
Tirage d’une population initiale de 4 éléments codés sur 8 bits Evaluation et Sélection des individus: les “meilleurs” sont “plutôt” conservés ou “transformés”, les “mauvais” sont “plutôt” éliminés. Formation d’une nouvelle population de 4 individus

8 Exemple élémentaire Elts f(x) % repr. Cumul 10111010 0.794678
0.79/2.59=0.31 0.31 0.46/2.59=0.18 0.49 0.36/2.59=0.14 0.63 0.97/2.59=0.37 1.00 0,31 0,49 0,63 1 On tire 4 nombres entre 0 et 1: 0.47, 0.18, 0.89 et 0.75

9 Exemple élémentaire (suite)
Elts Sélectionnés Pc Eléments Choisis pour le croisement On tire les éléments destinés à se croiser avec la proba Pc

10 Croisement des individus 1 et 3
Les deux éléments issus de la sélection On tire une position parmi les 8 bits : 4 Parent 1 Parent 2 Enfant 1 Enfant 2

11 Exemple élémentaire (fin)
Pop. Finale f(x) Meilleur individu On réitère ensuite la procédure Apres 100 générations (2,5 sec.), le meilleur élément est x=0,499959

12 Une comparaison Econométrique (Dorsey et Mayer)
Comparaison de 6 méthodes : Simplexe (Nedler & Mead 1965) Adaptative Random Search (Pronzato et al. 1984) Simulated Annealing (Corona et al. 1987) Draw (recherche aléatoire) Algorithme Génétique MSCORE (Manski, Thompson 1987) sur 11 problèmes économétriques “classiques”

13 Evaluation-Sélection
A chaque élément i de la génération k on associe la probabilité Pi On tire m individus (avec replacement) dans la génération k des (i ,Pi )i=1, ..,m Géné Hk On favorise la reproduction des “bons” On “élargit” ensuite la population par croisement et mutation

14 L’opérateur de croisement
Opérateur “d’exploration” de l’espace d’état On tire : un couple d’éléments de Hk : (j,l ) une variable aléatoire YBernouilli( Si Y = Croisement des individus (j,l) Si Y= Individus replacés dans G(k+1) = Pc = Probabilité de croisement (~60-80%)

15 Croisement pour un codage chromosomique
Deux éléments (binaires) issus de la génération k On tire une position parmi les 8 bits : 4 Parent 1 Parent 2 Enfant 1 Enfant 2

16 Croisement sur éléments réels
Deux éléments issus de la génération k : P1 et P2 C1=aP1+(1-a)P2 P1 C2=(1-a)P1+aP2 P2 Barycentre de P1 et P2 avec a dans [0,1] Barycentre de P1 et P2 avec a hors de [0,1]

17 Limitations de l’opérateur de Croisement
Si tous les éléments sont dans le même sous-espace. P3 P5 C1=aP1+(1-a)P2 P1 C2=(1-a)P1+aP2 P6 P2 P3 Barycentre de P1 et P2 avec a dans [0,1] P4 Barycentre de P1 et P2 avec a hors de [0,1]

18 Limitations de l’opérateur de croisement
Si on code la population sous la forme : La population Optimum n’a pas de “7” en dernière position g1|g2|g3 5|4|0 7|3|3 4|6|6 1|2|7 6|8|5 9|4|2 2|3|1

19 L’opérateur de mutation
Autre opérateur “d’exploration” de l’espace d’état On tire : un élément de H’k : ’j une variable aléatoire YBernouilli( Si Y = Mutation de l’individu ’j Si Y= Individu replacé dans G( k+1)  =Pm =Probabilité de mutation (<10%)

20 Mutation sur un codage binaire
Un élément tiré avec la probabilité Pm On tire une position parmi les 8 bits : 6 Elément original Elément muté

21 Mutation sur un codage réel
Un élément tiré avec la probabilité Pm On tire un élément de bruit  que l’on ajoute :  “Bruit”  Elément muté

22 Croisement avec Recuit simulé
Population génération k Evaluation-Sélection Pc Croisement Tournoi Pm Mutation Population génération k+1

23 Recuit simulé Méthode d’exploration aléatoire de l’espace admissible, à partir d’une solution quelconque l’algorithme génère une solution “voisine”, Si le nouveau est meilleur on le garde, Sinon on le garde avec la proba Xi Xf

24 Population génération k
Evaluation-Sélection Pc Croisement Pm Mutation Population génération k+1

25 Population génération k
Evaluation-Sélection Pc Croisement Pm Mutation Population génération k+1