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Traitement dimages : concepts avancés Morphologie mathématique – Images binaires – Images niveaux de gris Classification – Classifications pixeliques –

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1 Traitement dimages : concepts avancés Morphologie mathématique – Images binaires – Images niveaux de gris Classification – Classifications pixeliques – Modèles à base de champs de Markov Segmentation – Méthodes ad hoc – Approche variationnelle Détection / Suivi – Changement – Flot optique

2 Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse dimages : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.

3 Pavage et maillage Pavage = partition de lespace continu en cellules élémentaires Cas de pavages plan réguliers : cellules identiques et régulières Maillage = ensemble des segments reliant les centroïdes des cellules ayant une arête commune Dualité pavage et maillage

4 Notion de voisinage élémentaire Image discrète = graphe Connexité trame carréetrame hexagonale chemin sur le graphe = succession de nœuds du graphe joints par des arcs chemin 4-connexe : chemin 8-connexe :

5 Notion d « entourage » Théorème de Jordan : toute courbe simple fermée sépare lespace en 2 composantes : lintérieur et lextérieur de la courbe. Cas de la trame carrée : tout chemin 4-connexe (resp. 8-connexe) simple fermé (A i =A j i=j et A i voisin de A j |i-j|=1[n]) sépare lespace en 2 composantes 8- connexes (resp. 4-connexes) Nombre dEuler = différence entre le # composantes connexes et le # de trous ( dualité des connexités). Soit : s=#singletons, a=#couples ligne ou colonne, d=#couples diagonaux, t=#trinômes, q=#quadrinômes, alors en 4-connexité E=s-a+q en 8-connexité E=s-a-d+t-q

6 Exemple : nombre dEuler Cas 4-connexe : # composantes 4-connexes = 3 # de trous (8-connexes) = 1 E 4 =2 Cas 8-connexe : # composantes 8-connexes = 1 # de trous (4-connexes) = 2 E 8 =-1 s=16, a=14, d=13, t=10, q=0 En 4-connexité E 4 =s-a+q=2 En 8-connexité E 8 =s-a-d+t-q=-1

7 Distances discrètes (I) Distance à 1 objet minimum des distances euclidiennes (approximées) aux points de lobjet Propagation de distances locales Distances définies à partir dun ensemble de vecteurs de déplacement Utilisation de masques Exemple :

8 Distances discrètes (II) Partition du masque en 2 sous-masques g 1 et g 2 causaux UL LR et LR UL Algorithme de calcul séquentiel 1) Poser 2) f 0 image / points de lobjet 0 et les autres + 3) pour k =1,2 si k =1, balayer limage dans le sens UL LR si k =2, balayer limage dans le sens LR UL 4) image des distances f

9 Distances discrètes : exemple

10 Distances géodésiques Intérêt des métriques géodésiques : tient compte des obstacles ( dist. euclidienne ou versions digitales). distance géodésique : étant donnés 2 points a et b dun compact X, toujours un plus court chemin de a à b qui soit X; la longueur de ce chemin est d X (a,b). Propriétés : d X est une distance généralisée, i.e. a b c d

11 Ensemble de germes {P 1, P 2, …, P n } V(P i )={P R 2 / j [1,n], d(P,P i ) d(P,P j )} Propriétés : tout sommet de Voronoï est le centre dun cercle (de Delaunay) passant par 3 germes et ne contenant aucun autre germe ; V(P i ) non borné ssi P i la frontière de lenveloppe convexe des P j Triangulation de Delaunay Algorithmes sous optimaux : insérer les points un par un Applications, e.g. : enveloppe convexe de points, distance de 2 ensembles de points Cas discret : distance discrète Pavage de Voronoï

12 Comment séparer 2 composantes ? Introduction à la morphologie mathématique Traitement non linéaire de linformation Analyse morphologique : extraction des informations à partir de tests Exemples de problèmes : Repose sur la théorie des ensembles, des treillis complets, … – sapplique aux ensembles, aux fonctions, … Comment étiqueter différemment 2 formes connexes ? Comment comparer 2 formes ? Comment éliminer le bruit ?

13 Définition: 1 treillis est 1 ensemble ordonné (E, ) tel que toute partie de E admette 1 borne supérieure et 1 borne inférieure Exemples de treillis: ensemblistedes fonctions élémentsparties de Sf: SR, ou f: SZ relation dordreinclusion f g x, f(x) g(x) borne supérieureunion {f i } x, ( {f i })(x)= {f i (x)} borne inférieureintersection {f i } x, ( {f i })(x)= {f i (x)} involutioncomplémentaire-f(x) (ou N-f(x) si f: S[0,N]) plus grand des minorants plus petit des majorants : réflexive ( x E, x x), antisymétrique ( (x,y) E 2, x y et y x x=y), transitive ( (x,y,z) E 3, x y et y z x z )

14 Opérateurs de MM : fondements mathématiques principes fondamentaux –Compatibilité avec les translations –Compatibilité avec les homothéties –Localité –Semi-continuité propriétés –Croissance –Extensivité / anti-extensivité –Idempotence –Dualité Indépendance par rapport à lorigine de lespace: t, (f+t)= (f)+t Indépendance par rapport au paramètre déchelle:, ( f)= (f) E borné, E borné / (f) E= (f E) E A,B A B (A) (B) f,g f g (f) (g) Extensivité: A, A (A) f, f (f) ( (.))= (.) et duales :

15 Erosion / dilatation : définitions (1) Élément structurant B relations de lobjet X avec lélément (taille, forme données) Addition de Minkowski : lieu géométr. des points de B x (translaté de B en x ) lorsque x décrit X propriétés : commutative, associative, croissante, élément neutre Soustraction de Minkowski : Intersection des translatés de X par chaque point de B propriétés : non commutative, associative, croissante, élément neutre Ө

16 Erosion / dilatation : définitions (2) Dilatation (binaire) : lieu géométr. des points x tels que B x intersecte X Erosion (binaire) : lieu géométr. des points x tels que B x soit inclus dans X

17 Erosion / dilatation : propriétés (1) Croissance par rapport à X En effet : Extensivité / anti-extensivité (si centre de B inclus dans B) Croissance / décroissance par rapport à B En effet :

18 Erosion / dilatation : propriétés (2) Commutations en effet : Adjonction en effet : La partie de B z qui nintersecte pas avec X est dans le complémentaire de B z quand se restreint à B z B z on est dans X

19 Erosion / dilatation : algorithmes (1) Cas général (binaire) : –En chaque pixel z de limage examiner la relation entre lélément struct. B z et lobjet X –Dilatation: pour i [1,#lignes]// boucle sur les lignes pour j [1,#colonnes] {// boucle sur les colonnes initializer y à 0 pour i [iBmin,iBmax] // origine de B en 0 B inclus dans [iBmin,iBmax] [jBmin,jBmax] pour j [jBmin,jBmax] si (y nul et ima(i+i,j+j) non nul et B(i,j) non nul) alors y 1 ima_dilate(i,j) y } –Erosion: pour i [1,#lignes]// boucle sur les lignes pour j [1,#colonnes] {// boucle sur les colonnes initializer y à 1 pour i [iBmin,iBmax] // origine de B en 0 B inclus dans [iBmin,iBmax] [jBmin,jBmax] pour j [jBmin,jBmax] si (y non nul et ima(i+i,j+j) nul et B(i,j) non nul) alors y 0 ima_erode(i,j) y }

20 Erosion / dilatation : algorithmes (2) Exploitation de lassociativité de la dilatation / érosion –Cas dun élément B qui est le résultat de laddition de Minkovski de et avec B 1 (B à la taille élémentaire) : Itérer la dilatation (érosion) par B 1 –Cas dun élément convexe : Dilatations (érosions) successives par 2 segments Cas dun élément structurant boule : –Seuillage de la transformée en distance de limage binaire ou de son complémentaire

21 Dist 1 Dist 1,5 Dilatation binaire : exemples (X) X Dist 2 Dist 2,5

22 Dist 1 Dist 1,5 Érosion binaire : exemples (X) X Dist 2 Dist 2,5

23 Dilatation / érosion de fonctions Cas général Sous-graphe d1 fct f : Erosion vérifie : le sous-graphe de g (f)+g est inclus dans le sous-graphe de f : Dilatation vérifie : moins le sous-graphe de - f (f) a 1 intersection non vide avec le sous-graphe de f

24 Dilatation / érosion de fonctions Cas particulier g(x)=0 x R n D Propriétés Identiques au cas binaire en remplaçant par, par, et par. Croissance par rapport à f Extensivité/antiextensivité si 0 support de g Croissance(décroissance) / à g Adjonction Commutations

25 Dilatation / érosion de fct : exemples X B Y B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X)) B (X) B ( B ( X))

26 X Boule 5 5, = = 0.5 Boule 7 7, = = 0.45 Boule 3 3, = = 0.5 Rehaussement de contraste Y = = 0.35 = = 0.45

27 Gradient et laplacien morphologiques Opérateurs différence dopérateurs –Gradient intérieur, grad. extérieur –Gradient morphologique –Laplacien morphologique Convergence vers gradient et laplacien euclidiens si élément structurant = boule eucl. centrée et rayon 0 g B1 (X) B1 (X) B1 Xg B2 (X) B2 (X) B2

28 Ouverture / fermeture : cas binaire Cas binaire Propriétés –Croissance / X trivial car B et B / X –Extensivité / anti-extensivité propriété dadjonction car car –(Dé)croissance / B

29 –Idempotence – –Min-max : Louverture de X est le plus petit X de même érodé que X La fermeture de X est le plus grand X de même dilaté que X Ouverture / fermeture : propriétés

30 Ouverture / fermeture numériques Cas dun élément structurant plan Ouverture / fermeture = filtres morphologiques : Fermeture comble vallées Ouverture écrête pics

31 Top hat / Top hat conjugué Opérateurs par différence : –Top hat x - S ( x ) –Top hat conjugué S ( x )- x

32 Filtres alternés séquentiels : définition Filtre morphologique Ouverture / fermeture sont des filtres morphologiques ( ) 0 une granulométrie et ( ) 0 lanti- granulométrie associée Filtres alternés :

33 FAS : propriétés Croissance trivial car et sont croissantes Idempotence Absorption

34 FAS : propriétés Croissance trivial car et sont croissantes Idempotence Absorption

35 Filtres alternés séquentiels : exemples Bruit gaussien =20 + bruit impuls 10% Bruit impulsion 15% Bruit gaussien =60Bruit gaussien =20 1,2,3

36 X Dilatation / Erosion géodésique binaire Boules géodésiques Quand, les boules géodésiques progressent comme le front dune onde émise depuis z dans le milieu X Dilatation géodésique de taille de Y dans X (Y B ) X Erosion géodésique Y1Y1 Y2Y2 X (Y 1 ) (Y 2 ) X

37 Reconstruction géodésique binaire Application : extraction de composantes connexes à partir de marqueurs Principe : à partir dun point de la composante, on reconstruit toute la composante Méthode : dilatation géodésique dans X

38 Reconstruction géodésique : algorithme (cas binaire) Éviter de réitérer dilatation jusquau diamètre des plus grandes composantes connexes Cas efficace : utilisation dune pile des pixels de limage à traiter : –Initialisation de la pile avec les pixels de X Y –Tant quil reste des éléments dans la pile : Extraire un élément (pixel) de la pile Le traiter –labelisation de la composante connexe dans limage résultat –Calcul de ses voisins (dilatation par B) Ajout dans la pile (si nécessaire) des voisins situés dans X –Exemple : Itérationcontenu de la pile 1(2,1) 2(1,1) (3,1) 3 (3,1) (1,2) 4 (1,2) (3,2) (4,1) 5 (3,2) (4,1) (1,3) 6 (4,1) (1,3) (3,3) 7 (1,3) (3,3) (5,1) 8 (3,3) (5,1) (2,3) 9 (5,1) (2,3) (4,3) 10 (2,3) (4,3) (5,2) 11 (4,3) (5,2) 12 (5,2) (5,3) 13 (5,3)

39 X Exemples dapplication (1) Reconstruction géodésique à partir de Y Algorithme : k=0; Pour chaque pixel s de X : si x s et !z s : - calcul de E B X ({s}) - k++ - t E B X ({s}), z t =k # composantes connexes = k Etiquettage de composantes connexes

40 Filtrage par Erosion-Reconstruction (ne modifie pas les contours des objets restants Erosion-Dilatation) Erosion de X puis reconstruction de B (X) dans X Suppression dobjets touchant le bord de limage Différence entre X et la reconstruction du bord dans X Exemples dapplication (2) - =

41 Bouchage de trous Complément de la reconstruction dans X c dun ensemble qui nintersecte pas X Seuillage avec hystérésis Reconstruction des points au-dessus du seuil haut dans lensemble des points au-dessus du seuil bas. Exemples dapplication (3) et

42 Dilatation / Erosion géodésiques numériques Dilatation : le sous-graphe de f, ( g ) est formé des points du sous-graphe de f reliés au sous-graphe de g par un chemin (i) non descendant, et (ii) de longueur. B unitaire f ( g )=inf( g +B, f ) et f, n ( g ) = f … f ( g ) Erosion : par dualité f ( g )=N- f (N- g ) Dilatation géodésique de g / f Erosion géodésique de f / g

43 Reconstruction géodésique numérique rec ( f ; g ) = sup. des dilatations géodésiques de g dans f Swamping la plus grande fonction f possédant des maxima aux points marqués Reconstruction de g dans f Reconstruction par marqueurs (swamping)

44 Erodé ultime : définition / algorithme Cas général (binaire) Ensemble des composantes connexes de X disparaissant à litération suivante lors dune séquence dérosion par un élément structurant élémentaire B 1 Pour chaque pixel (non déjà dans érodé ultime) disparaissant à litération t, calculer la composante connexe à t-1 et tester si tous les pixels ont effectivement disparus à t. Cas dun élément structurant disque Ensemble des maxima régionaux de la fonction distance de X à son complémentaire Algorithme : 1.Calcul de limage des distances 2.Calculer lensemble des maxima locaux 3.Pour chaque maximum local (x s x t, t V s ) non déjà traité : 1.Reconstitution géodésique de la composante connexe à x s conditionnellement à limage des valeurs supérieures à x s CC(x s ) 2.Si x t CC(x s ): x t >x s, alors marquer comme traités les maxima locaux qui appartiennent à CC(x s ) 3.Sinon, alors x s est un maximum régional et CC(x s ) érodé ultime

45 Érosions successives par B Erodé ultime : exemple Distance 4-connexitéDistances 8-connexité, respectivement masque (1,0), (4,3,0) et (11,7,5,0)

46 Transformation en tout ou rien : cas binaire Définition : teste lappartenance de certains voisins à X ET de certains autres à X c Notation des éléments structurants : noir = objet (1), blanc = fond (0), gris = quelconque Ex. dapplication : détection de coins (saillants) –ULURLLLR Exemple :

47 Calcul de lenveloppe convexe Rappel : Déf. L'enveloppe convexe d'un objet O est lensemble convexe (Ec / (A,B) 2 points de Ec, [A,B] est entièrement contenu dans Ec) le plus petit parmi ceux incluant O. épaississement (ajout des points sélectionnés) par la transformation en Tout ou Rien suivante : 12 elts struct. Exemple : avec 1 elt. struct. 3 3, il nest pas possible de gérer des pentes autres que {0, /2, /4,3 /4}

48 Squelette morphologique : définition Exemples de propriétés souhaitées : –Préservation de la géométrie, de la topologie –Invariance aux translations, rotations, homothéties –Réversibilité, continuité, épaisseur nulle Squelette morphologique euclidien (cas continu) U des centres des boules maximales (contenues ds X) Cas discret : U des résidus douverture des érodés successifs : Pb : ne préserve pas la topologie Même forme, respect des parties allongées, etc… Mêmes nombres de composantes connexes, de trous. La forme peut être retrouvée connaissant le squelette et la taille des érosions (p.e.). Une petite variation de forme engendre une petite variation du squelette. Épaisseur nulle, réversible Mais : ne préserve pas la topologie, ex : non continu, ex : mais

49 Homotopie discrète et simplicité Définition : F fct de R 2 R 2 préserve la topologie si A ouvert, A et F(A) sont homotopes Cas discret : A K-homotope à A 2 bijections préservant la relation dentourage (au sens du théorème de Jordan) entre : (i) les ensembles des K-cc (K {4,8}) de A et de A, (ii) les ensembles des K-cc (K=12-K) de A c et de (A) c pour A A (i) toute K-cc (K {4,8}) de A contient exactement 1 K-cc de A et (ii) toute K-cc (K=12-K) de (A) c contient exactement 1 K-cc de A c Définition : x point K-simple dans X X-{x} homotope à X x a au moins 1 K-voisin dans X c et x est K-voisin d1 seule K-cc de X se calcule en examinant les 8 voisins

50 Homotopie discrète et simplicité Propriété : x est K-simple N K X ( x )=1 Retrait des points K-simples : –séquentiel perte des propriétés métriques, –parallèle risque de perte de lhomotopie –solution : ¼ parallèle : on ne retire ensemble que les points qui ont 1 voisin Nord (resp. Est, Sud, Ouest) dans X c Rq : noyau homotopique ne préserve pas la forme de X utilisation de points dancrage x3x3 x1x1 x2x2 x4x4 x0,x8x0,x8 x x5x5 x7x7 x6x6 Une réunion de points K-simples nest pas nécessairement un ensemble simple, ex : x et y sont 8-simples mais pas {x,y} x y

51 Caractérisation géométrique des points K-simples Définition : transformation tout ou rien teste lappartenance de certains voisins à X ET de certains autres à X c Définition : amincissement (resp. épaississement) de X enlever (resp. ajouter) des points de X sélectionnés par 1 transformation en tout ou rien. Propriété : 1 amincissement (épaississement) est homotopique si linversion de couleur du point central ne modifie pas la topologie. Ex. préserve topo Exemples délément structurant : Lskel Mskel Ebardage

52 Squelette morphologique : algorithme Rq : noyau homotopique ne préserve pas la forme de X utilisation de points dancrage, e.g. maxima locaux de la distance Algorithme préservant la topologie : –Initialiser S(X) à X –Répéter (jusquà avoir traité tous les points de X) : Soit E S d les points de S(X) ayant un voisin immédiat dans (S(X)) c dans la direction Nord (resp. Est, Sud, Ouest) Déterminer L K-s lensemble (parmi les points de E S d ) des points K-simples (en K connexité) Retirer simultanément de S(X) tous les points de L K-s (sauf points dancrage) Changer la direction considérée (N, E, S, ou O) Informatiquement, utilisation de piles de pixels

53

54 Exemple : X 8-connexité 4-connexité Itérations 0, 1, 2Itérations 3, 4, 5Itérations 6, 7, 8

55 Squelette par zones dinfluence (SKIZ) Définition : Soit X compact de R 2, la zone dinfluence dune composante connexe X i de X est lens. des points plus près de X i que de tout autre composante Le SKIZ est la frontière des zones dinfluence Calcul du SKIZ : 1. Amincissement du fond par Lskel 2. Puis ébardage du résultat de 1. Ex :

56 Ligne de partage des eaux : définition Postulat : image = une surface topographique / niveau de gris = altitude Cas facileCas difficile

57 Ligne de partage des eaux : définition Ligne de partage des eaux (LPE) par immersion à partir des minima régionaux m i, faire croître niveau des eaux progressivement de sorte que : (i) A chaque fois que la hauteur de leau atteint laltitude dun minimum régional, un nouveau bassin versant est créé (ii) A chaque fois que deux bassins se rencontrent, on empêche leur fusion en construisant une digue. LPE = ensemble des digues.

58 LPE par immersion : algorithme Algorithme : –On note B(i) limage binaire des valeurs y s (de Y) i –Initialisation : W -1 = –Pour i variant de 0 à i max {m i } = {x : x B(i), x CC{m i-1 }} = W(i) = IZ B(i) (W(i-1)) {m i } – LPE = Calcul de IZ géodésique : IZ X (Y) –Initialiser IZ X (Y) à Y –Initialiser la liste L à X-Y –Tant que L non vide et |L| varie : Pour tout pixel de L : –calculer sil peut se rattacher à IZ X (Y) par épaississement –si oui, mettre sa valeur à 1 dans IZ X (Y) et le retirer de L Les m j sont les nouveaux minima apparus à litération i Zones dinfluence géodésiques des bassins versants obtenus à lit. précédente dans limage bin. courante des valeurs i

59 LPE : exemple (© Course on Math. Morphology, J. Serra) Image initiale : 4 niveaux de gris 1.minima pour i=0, B(0)=W(0) ; 2. B(1)-B(0) W(1) : minima apparus à i=1 zones dinfluence géodésiques de W(0) dans B(1) 1. W(1) 2. B(2)-W(1) W(2) : zones dinfluence géod. de W(1) dans B(2) Ligne de partage des eaux superposée à limage initiale

60 LPE : Application à la segmentation dune image en niveaux de gris Utiliser limage de la norme du gradients Risque de sur-segmentation discrétiser les valeurs entre 0 et imax ( #régions) filtrer PB limage du gradient (e.g. ouverture, fermeture)

61 Ligne de partage des eaux Exemple : Fermeture sur gradient morphologique Ouverture sur gradient morphologique Gradient morphologique, boule connexit é #R = 25#R = 15

62 LPE : Application à la segmentation Cas dobjets binaires circulaires : utiliser image des distances inverses mais risque de sur-segmentation utiliser la reconstruction de limage des distances diminuée dune faible valeur sous limage des distances (rq: SKIZ positionne mal les frontières pour objets de tailles différentes) Cas d1 image en niveaux de gris : utiliser limage des gradients mais risque de sur-segmentation utiliser la technique du swamping pour imposer les minima locaux à considérer (et seulement ceux-là) Autres cas d1 image en niveaux de gris : utiliser image top-hat / top-hat conjugué

63 LPE : exemple 1 (© I. Bloch ENST) Image binaire initiale Image des distances (fausses couleurs) LPE sur image des distances inversée LPE sur image reconstruite de la distance -2 sous la distance

64 Image du gradient après fermeture LPE correspondante LPE : exemple 2 (© I. Bloch ENST) Image du gradient après reconstruction par swamping LPE correspondante

65 Exercices (I) Proposer une ou plusieurs solutions pour les problèmes cités en introduction : Comment éliminer le bruit ? Comment séparer ces 2 composantes ? Comment étiqueter différemment 2 formes connexes ? Comment comparer 2 formes ?

66 Exercices (II) Démontrer les propriétés de commutation des opérateurs dilatation et érosion binaires. (Utiliser les définitions de ces opérateurs) Démontrer les propriétés de croissance / décroissance et extensivité / anti-extensivité des opérateurs ouverture et fermeture binaires. (Utiliser les propriétés des opérateurs dilatation et érosion, notamment ladjonction pour démontrer lextensivité / anti- extensivité)

67 Exercices (II) : correction Commutation des opérateurs dilatation et érosion. Propriétés des ouvertures / fermetures binaires –Croissance / X : trivial car B et B / X –Extensivité / anti-extensivité propriété dadjonction car car –(Dé)croissance / B

68 Exercices (III) Soit limage suivante : On cherche à compter les différents types de cellules et leur proportions respectives. Proposez une solution, décrivez le synoptique de lalgorithme à mettre en œuvre et les fonctions à développer (notamment les entrées / sorties), puis pour chacune delles le pseudo-code.

69 Exercices (III) : correction Seuillage Éliminer les objets touchant le bord Éliminer le bruit (petites particules) Squelette Détermination des paramètres pour chaque particule Classification Image niveaux de gris Image binaire Image binaire filtrée Image des squelettes des particules Liste des objets avec caractérist. Liste des objets avec étiquettes Détection des différentes particules Image segmentée des particules


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