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Traitement dimages : concepts fondamentaux Définitions fondamentales et prétraitements : – Information représentée par un pixel, – Manipulation dhistogrammes.

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1 Traitement dimages : concepts fondamentaux Définitions fondamentales et prétraitements : – Information représentée par un pixel, – Manipulation dhistogrammes : égalisation, – Filtrage passe-bas. Introduction à la morphologie mathématique (cas binaire) : – Erosion, dilatation, ouverture et fermeture binaires, – Reconstruction géodésique, étiquetage en composantes connexes, – Squelette. Détection de contours : – filtrage passe-haut, filtrage optimal, – traitement des contours : fermeture, transformée de Hough. Introduction à la classification (cas pixelique) : – algorithme des k-ppv, des c-moyennes – critères bayésiens : MV, MAP.

2 Information représentée par 1 pixel Selon longueur donde Géométrie dacquisition échantillonnage résolution spatiale Quantification des niveaux de gris Selon longueur donde, les propriétés de réflexion et dabsorption diffèrent distinction de différents objets (e.g. télédétection) Discrétisation de lespace : pavage Capacité à discerner 2 objets proches spatial t Liée à la taille du pixel : Haute résolution pixels petits Basse résolution pixels grands provient de la discrétisation des niveaux de gris

3 Exemples décole

4 ERS/SAR (bande C, pix m) Tunisie, désert Exemples en télédétection SPOT/VGT (Visible/IR, pix. 1km 2 ) Val de Saône Delta du Rhône SPOT/HRV (Visible/IR, pix m)

5 Pavage et maillage Pavage = partition de lespace continu en cellules élémentaires Cas de pavages plan réguliers : cellules identiques et régulières Maillage = ensemble des segments reliant les centroïdes des cellules ayant une arête commune Dualité pavage et maillage

6 Ensemble de germes {P 1, P 2, …, P n } V(P i )={P R 2 / j [1,n], d(P,P i ) d(P,P j )} Propriétés : tout sommet de Voronoï est le centre dun cercle (de Delaunay) passant par 3 germes et ne contenant aucun autre germe ; V(P i ) non borné ssi P i la frontière de lenveloppe convexe des P j Triangulation de Delaunay Algorithmes sous optimaux : insérer les points un par un Applications, e.g. : enveloppe convexe de points, distance de 2 ensembles de points Cas discret : distance discrète Pavage de Voronoï

7 # colonnes # lignes pixel (i,j) Images niveaux de gris vs binaire Taille = #lignes #colonnes #bits/pixels Image niveaux de gris idéale Image niveaux de gris réelle Image binaire idéale Image binaire bruitée Classification / binarisation Amélioration dimage / Filtrage

8 Images couleur vs binaire / niveaux de gris Image couleur réelle Images binaires idéales (3 canaux) Canal RougeVertBleu Image couleur idéale

9 Représentations Image = Signal bidimentionnel à support et à valeurs bornées {x(i,j), i [1,N], j [1,M]} Processus stochastique {x(s), s [1,N M]} Vecteur aléatoire (x(1), … x(N M)) Surface (i,j,x(i,j)) Images peuvent être binaires x {0,1} à niveaux de gris x [x min, x max ] (généralement [0,255]) RVB x = (x rouge, x vert, x bleu ) avec x rouge [x min, x max ] etc. multispectrales x = (x 1, x 2, …, x n ) avec x i [x min, x max ] etc. multitemporelles x = (x t 1, x t 2, …, x t n ) avec x t i [x min, x max ] etc.

10 Amélioration dimages Problème : –Comment rehausser le contraste dune image de façon à faire apparaître les objets ? –Comment saffranchir des paramètres de luminosité lors de lacquisition ? Étalonnage des valeurs des pixels en vue de leur comparaison Applications : mise en correspondance, détection de changement, classification, etc. –Principalement le cas des images à niveaux de gris (décomposition des images multiXXX en N images à niveaux de gris)

11 1 ères méthodes : modifications de lhistogramme –Translation dhistogramme –Etalement de la dynamique –Seuillage Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Transformation qui naltère pas la relation dordre Transformation linéaire : x(s) = a.x(s)+b x(s) [0,256] a.x min +b=0 et a.x max +b=255 a=(255-0)/(x max -x min ) et b=0-(255-0) x min /(x max -x min ) Perte dinformation irréversible

12 Egalisation dhistogrammes Principe : Maximiser lentropie Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Algorithme –Calcul de lhistogramme initial H (attention : bins suffisamment fins) Pour chaque bin, on stocke sa borne sup. et le # de pixels –Calcul de lhistogramme égalisé H (nbp pixels/bin, nbp cst) n=0; k=0; Pour chaque bin j de H { n+=#pixels de H[j]; si n nbp, alors { borne sup de H[k] = borne sup de H[j]; #pixels de H[k++] = #pixels de H[j]; n=0; } } –Création de la table de correspondance entre les niveaux de gris de limage initiale et de limage égalisée –Création de limage égalisée Soit j / x [borne sup H[j] ; borne sup H[j+1] ] T[x]=j 255/k si n>0 {borne sup de H[k] = x max ; #pixels de H[k++] = n; } s domaine image, x s =T[x s ]

13 Après étirement Egalisation des cas décole Avant égalisation Après égalisation

14 Egalisation : autre exemple Pas de réelle sensibilité visuelle à lhistogramme Avant égalisation Après égalisation

15 Spécification dhistogrammes Principe –Objectif : à partir de limage X et H X, son histogramme, on calcule Y=g(X) ayant H Y donné –Soit F X la fct dégalisation de X, et F Y celle de Y. Les deux égalisations doivent conduire au même histogramme ( uniforme) Y = F y -1 (F X (X)) Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Application : inter-étalonnage dimages Attention : perte de dynamique Y nest pas connue mais H Y si ce qui suffit à spécifier F Y et F Y -1 Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels FXFX FYFY F Y -1

16 Egalisation : exercices Soit une image ayant pour histogramme Calculer sa fonction dégalisation Soit une image ayant pour histogramme Calculer sa fonction dégalisation -A +A 0 +B +2B -A +A 0 +B

17 Filtrage passe-bas dimages Problème : –Comment réduire le bruit dune image de façon à améliorer la netteté des objets ? –Comment réduire la variabilité intrinsèque des objets de façon à les simplifier ? Hyp. fondamentale : le bruit est 1 signal haute fréquence et linformation utile est 1 signal basse fréquence. Applications : analyse statistique, classification, etc. –Principalement le cas des images à niveaux de gris (décomp. des im. multiXXX en N im. à niv. de gris)

18 Modèles de bruits Valeurs aberrantes en p% pixels de limage, ex : - Bruit poivre et sel Valeurs altérées en tout pixel de limage, ex : - Bruit gaussien - Bruit à distribution uniforme - Bruit à distribution de Rayleigh Bruit indépendant en chaque pixel hautes fréquences sur limage Bruit généralement additif : z s =y s -x s Ex. de ddp bruit : f(z s )=C.exp{-K|z s | n } n = 0 bruit uniforme n = 1 bruit exponentiel C= K/2 n = 2 bruit gaussien K=1/[2 2 ], C=1/[sqrt(2 ) ] bruit Rayleigh f(z s )=z s / 2.exp{-z s 2 /[2 2 ]} x s valeur non bruitée en s, y s valeur bruitée en s f(y s =0)=f(y s =255)=p/2, f(y s =x s )=1-p

19 Gaus. =10, poivre&sel 10% Gaussien =20 Exemples de bruits Poivre et sel 10%

20 Modèle Gauss-Markov Histogramme à saut gaussienne centrée : Fct dautocorrélation exponentielle : Modèle Gauss-Markov : processus stationnaire à accroissement gaussien : p(x i /x i-1 )= p(x i -x i-1 ) Modèle mosaïque : image stat. par morceaux modèle de Markov- Gauss spécifique à chaque morceau de limage Exemple : morceau

21 Quelques filtres lisseurs de base (I) Cas dimages bruitées (e.g. gaussien, impulsionnel) prétraitement : lissage Filtrage linéaire –Moyennage –Rq : Somme des coefficients = 1 –Exemple avec filtre triangle Linéaire gaussien, paramètre e.g. =1.0, =1.6 seuillage filtrage

22 Filtres à coefficients séparables Réponse impulsionnelle : h(i,j) = h l (i).h c (j) filtrage linéaire selon les colonnes par h c, puis filtrage linéaire selon les lignes par h l Exemples Quelques filtres lisseurs de base (II) Bruit gaussien =30Filtre moyenne 3 3 Filtre Gaussien =1.0

23 Quelques filtres lisseurs de base (III) Filtrage non linéaire –De Nagao –SNN ( Symetric Nearest Neighbor ) Filtrage dordre k –Médian (p pixels, p|V s |, k=p/2) Algorithme : 1) Calcul de lhistogramme sur le voisinage V s 2) Tri des valeurs du voisinage 3) Sélection E le plus compact |E|=p 4) Sélection de la valeur de E à lordre considéré Bruit gaussien =30 Filtre de Nagao Filtre médian 3 3 Prise en compte de processus bord Hyp: voisinage V s traversé par 1 contour au + V s décomposé en paires (P i,Q i ) pour chaque paire ne considérer que le pixel le + proche en caractéristique(s) de P 0 Ex.P 1 P 2 P 3 P 4 P 0 Q 4 Q 3 Q 2 Q 1 Propriétés du filtre médian : Pas de nouvelles valeurs sapplique aux images binaires, préserve les contours rectilignes (mais érode les convexités et coins) Invariance par étirement de contraste commute avec toute transformation croissante des niv. de gris ( du filtrage linéaire qui ne commute quavec les transf. linéaires) Elimination du bruit poivre et sel n p pixels poivre, n s pixels sel, la médiane est dans les n-n p -n s pixels restants corrects sauf si n p ou n s >n/2 Autres filtres de rang : érosion fonctionnelle (k=1), dilatation fonctionnelle (k=p)

24 3 =1.0 3 Filtrage de NagaoFiltrage moyenneFiltrage gaussienFiltrage médian Bruit gaussien =20 3 =1.0 3 Bruit gaussien =60 Bruit impulsion 15% 7 =2.5 7 =2.5 7 =2.5 Bruit gaussien =20 + bruit impuls 10% 7

25 Bruit gaussien =20, P&S 10% Bruit P&S 10% Bruit gaussien =20 Image non bruitée Gaus. =20 filtre gaus. =2.5 S&P 0% filtre médian 7x7 =20 + S&P 0% filtre Nagao

26 Filtrage : exercices Que font les filtres à noyau de convolution suivants ? (prenez un exemple numérique si nécessaire) Quelle est la condition sur les coefficients pour que le filtrage soit passe-bas ? Décomposer le filtre 2D de noyau sous forme du produit de convolution de 2 filtres 1D. En déduire un moyen efficace, en nombre dopérations par pixel, dimplémenter les filtres précédents.

27 Des pixels à limage § Amélioration dimages : image vue comme 1 collection de pixels (val. scalaires, vectorielles…) vus comme des échantillons indépendants d1 même distribution. § Filtrage PB dimages : im. vue comme la superposit° d1 signal 2D constant par morceaux (sur le support 2D) et d1 collect° de déchantillons de bruit indépendants. Ce quon recherche : pas des pixels, mais des objets comment passer d1 vision myope (pixel, voisinage pixel) à 1 caractérisation niveau objet ? Caractérisation géométrique et topologique (et non seulement radiométrique) On laisse de coté (temp.) laspect radiométrique pour se concentrer sur les aspects géom. et topolog. cas dimages binaires

28 Notions préliminaires de géométrie discrète Topologie 2D discrète : nombre de composantes connexes, de trous, représentation hiérarchique des objets. Distances discrètes : dimension (e.g. rayon) des composantes connexes, distance entre les objets. Relations ensemblistes entre les parties dun objet

29 Notion de voisinage élémentaire Image discrète = graphe Connexité trame carréetrame hexagonale chemin sur le graphe = succession de nœuds du graphe joints par des arcs chemin 4-connexe : chemin 8-connexe :

30 Notion d « entourage » Théorème de Jordan : toute courbe simple fermée sépare lespace en 2 composantes : lintérieur et lextérieur de la courbe. Cas de la trame carrée : tout chemin 4-connexe (resp. 8-connexe) simple fermé (A i =A j i=j et A i voisin de A j |i-j|=1[n]) sépare lespace en 2 composantes 8- connexes (resp. 4-connexes) Nombre dEuler = différence entre le # composantes connexes et le # de trous ( dualité des connexités). Soit : s=#singletons, a=#couples ligne ou colonne, d=#couples diagonaux, t=#trinômes, q=#quadrinômes, alors en 4-connexité E=s-a+q en 8-connexité E=s-a-d+t-q

31 Exemple : nombre dEuler Cas 4-connexe : # composantes 4-connexes = 3 # de trous (8-connexes) = 1 E 4 =2 Cas 8-connexe : # composantes 8-connexes = 1 # de trous (4-connexes) = 2 E 8 =-1 s=16, a=14, d=13, t=10, q=0 En 4-connexité E 4 =s-a+q=2 En 8-connexité E 8 =s-a-d+t-q=-1

32 Relation dordre des régions ( ) relation dordre des niveaux de gris ( ou ) –Indépendance vis-à-vis des valeurs absolues des niv. de gris, i.e. des conditions de luminosité etc. Invariance par changement de contraste Upper Level Set U x et Lower Level Set L x –Relation dinclusion des ensembles de niveaux : –Famille des U x (ou celle des L x ) est suffisante pour reconstruire limage y Ensembles de niveaux relatives

33 minTree maxTree Exemple simplissime 255

34 Distances discrètes (I) Distance à 1 objet minimum des distances euclidiennes (approximées) aux points de lobjet Propagation de distances locales Distances définies à partir dun ensemble de vecteurs de déplacement Utilisation de masques Exemple :

35 Distances discrètes (II) Partition du masque en 2 sous-masques g 1 et g 2 causaux UL LR et LR UL Algorithme de calcul séquentiel 1) Poser 2) f 0 image / points de lobjet 0 et les autres + 3) pour k =1,2 si k =1, balayer limage dans le sens UL LR si k =2, balayer limage dans le sens LR UL 4) image des distances f

36 Distances discrètes : exemple

37 Distances géodésiques Intérêt des métriques géodésiques : tient compte des obstacles ( dist. euclidienne ou versions digitales). distance géodésique : étant donnés 2 points a et b dun compact X, toujours un plus court chemin de a à b qui soit X; la longueur de ce chemin est d X (a,b). Propriétés : d X est une distance généralisée, i.e. a b c d Séparation Sous-additivité

38 Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse dimages : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.


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