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Traitement dimages : concepts fondamentaux Définitions fondamentales et prétraitements : – Information représentée par un pixel, – Manipulation dhistogrammes.

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Traitement dimages : concepts fondamentaux Amélioration dimages – Amélioration du contraste – Filtrage passe-bas du bruit Morphologie mathématique – cas.

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1 Traitement dimages : concepts fondamentaux Définitions fondamentales et prétraitements : – Information représentée par un pixel, – Manipulation dhistogrammes : égalisation, – Filtrage passe-bas. Introduction à la morphologie mathématique (cas binaire) : – Erosion, dilatation, ouverture et fermeture binaires, – Reconstruction géodésique, étiquetage en composantes connexes, – Squelette. Détection de contours : – filtrage passe-haut, filtrage optimal, – traitement des contours : fermeture, transformée de Hough. Introduction à la classification (cas pixelique) : – algorithme des k-ppv, des c-moyennes – critères bayésiens : MV, MAP.

2 Détection de contours : approche générale Objectif –Délimitation des objets –Détection de points dintérêt Méthodes dérivatives –À partir du gradient ( vecteur 2D), calcul de sa norme et de sa direction –Approximation de la dérivée 2 nde par le Laplacien Contour = là où réside linformation au sens entropique f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

3 Principe des méthodes dérivatives Utilisation du gradient Calcul de limage du gradient Calcul de limage de la norme du gradient Calcul de limage de la direction du gradient Seuillage (avec hystérésis) de limage de la norme du gradient Elimination des non maxima locaux dans la direction du gradient Fermeture des contours Utilisation du laplacien Calcul de limage du laplacien Calcul de limage de la norme du gradient Calcul de limage binaire Iz des passages par zéro du laplacien Application du masque binaire Iz à limage de la norme du gradient Seuillage (avec hystérésis) de limage de la norme du gradient |Iz Elimination des non maxima locaux dans la direction du gradient Fermeture des contours Laplacien trop bruité pour être utilisé seul

4 par filtrage linéaire passe-haut Gradient Sobel c=2 Prewitt c=1 Opérateur MDIF Filtres de Kirsch : 8 masques Rq : les filtres sont donnés pour des directions lignes – colonnes cas de directions diagonales : La direction du gradient est largument du masque qui maximise la norme du gradient à /8 près Masque MDIF plus grand moins sensible au bruit mais localisation des contours moins bonne Il existe aussi des généralisations de Sobel à des tailles (2d+1) (2d+1) : M X (i,j)=d/(|i|+|j|) (-i)/|i|, (i,j) [-d,d] 2

5 par filtrage linéaire passe-haut Laplacien 4-connexité8-connexité 1 filtre passe haut extrait linformation complémentaire dun filtre passe-bas : Id = M PB +M PH Ex : Coef. généralem t omis pour amplifier le résultat

6 par filtrage optimal (I) Critères de Canny (i) Bonne détection, (ii) bonne localisation, (iii) faible multiplicité des maxima dus au bruit Filtre impulsionnel à réponse finie (RIF) Filtre de Deriche : RII Dérivée directionnelle en x = Image*h(x)*f(y) Dérivée directionnelle en y = Image*h(y)*f(x) Filtre de Shen - Castan Filtre de lissage puis application dun opérateur différentiel Maximiser le rapport signal à bruit Minimiser la variance de lerreur en distance Solution de Canny : RIF (x) = a 1 e x cos x + a 2 e x sin x + a 3 e - x cos x +a 4 e - x sin x Solution de Deriche : RII (x) = Cst/.e x|.sin x Soit m / m. =, alors m>>1 (x) h(x) = - 2.x.e - |x| Lissage dans la direction perpendiculaire à celle de h par le filtre intégrateur de h : f(y) =.(.|y|+1).e - |y| (f(y) =..signe(y).e - |y| +.(.|y|+1).(-.signe(y)).e - |y| = h(y)) Solution de Shen et Castan : RII f(x) = be - x|, f 1 (x) = e - x.u(x), f 2 (x) =.e - (-x).u(-x)

7 par filtrage optimal (II) Implantation du filtre de dérivation de Deriche Décomposition entre 1 partie causale et 1 anti-causale R 1 [i]=c.e -.I[i-1]+2.e -.R[i-1]-e -2.R[i-2] R 2 [i]=-c.e -.I[i+1]+2.e -.R[i+1]-e -2.R[i+2] R[i]=R 1 [i]+ R 2 [i] Implantation du filtre de lissage de Deriche Décomposition entre 1 partie causale et 1 anti-causale R 1 [i]= b.I[i]+ b.e -.( -1).I[i-1]+2.e -.R[i-1]-e -2.R[i-2] R 2 [i]= b.e -.( +1).I[i+1]-b.e -2.I[i+2]+2.e -.R[i+1]-e -2.R[i+2] R[i]=R 1 [i]+ R 2 [i] Partie causale : h - (i)=c.i.e -i.u(i) TZ[u(i)] = 1/(1-z -1 )|z|>1 TZ[a i.x(i)] = X(z/a) TZ[e -i u(i)] = 1/(1-e - z -1 ) TZ[i k.x(i)] = (z.d/dz)X(z) TZ[ie -i u(i)] = e - z -1 /(1-e - z -1 ) 2 Partie anti-causale : h + (i)=(-c).(-i).e (-i)(- ).u(-i) Partie causale : f - (i)=b.( i+1).e -i.u(i) TZ[f - (i)] = b..e - z -1 /(1-e - z -1 ) 2 + b/(1-e - z -1 ) Partie anti-causale : f + (i)=[b.(-i).e (-i)(- ) + b.e (-i)(- ) -b (-i)].u(-i) TZ[f-(i)] = b..e - z/(1-e - z) 2 + b/(1-e - z)-b

8 Exemples de et. B1 | | MM (B1) B2 | | MM (B2) | | Prewitt | | Sobel | | MDIF MM (B1) MM (B2) masque Deriche =1 Deriche =2 Deriche =3 Shen =0.5 Shen =1

9 Détection de contours (I) Seuillage avec hystérésis –Détection des pixels de valeur s h –Ajout des pixels de valeur s b et qui 1 composante connexe ayant au moins 1 pixel de valeur s h –Programmation avec 1 pile gérant la composante connexe : 1. initialisation de limage des contours ImaCont à 0 2.Initialisation de la pile P avec les pixels / s h 3.Tant que |P|>0 a.Extraire M(x M,y M ) de la pile b. ImaCont(x M,y M ) 1 c.Pour chaque k-connex (k=4 ou 8) voisin de M, noté V M : Si V M P et si ImaCont(x V M,y V M ) 1 et si s b, alors ajouter V M à P

10 Détection de contours (II) Détection des maxima locaux de la norme du gradient dans la direction du gradient Cas soit A 0 =(i,j), A 1 =(i,j+1), A 2 (i-1,j+1) on cherche z M = 1 A A 2 avec =1, ( 1, 2 ) [0,1] 2 alors 2 =tan et 1 =1-tan donc Autres cas : (i,j-1) (i,j)(i,j) (i,j+1) (i +1,j-1) (i-1,j+1)

11 Fermeture de contours Construction d1 « look-up table » permettant dindexer les pixels candidats à la fermeture pour chaque configuration. Codage configuration : où x i =1 si contour, 0 sinon Ex. T[16][0]=1 ; T[136 ][0]=0 ; T[8][0]=1 T[16][j]={1,0,7} ;T[8][j]={0,7,6} Algorithme de fermeture : –Pour chaque extrémité trouvée lors du balayage de limage : Construction du sous-arbre de tous les chemins possibles de longueur p et du coût associé à chaque nœud : somme des normes des gradients en chaque point du chemin Sélection du nœud de coût maximum Prolongation du contour T[i][0] =1 si contour à prolonger (i [0,255]) T[i][j] avec j [1,3] donne les coordonnées relatives des 3 pixels candidats à la fermeture i.e. pixel / T[i][0] =1 3p chemins

12 Exemple Prewitt Sobel MDIF masque Deriche =1 Deriche =2 Deriche =3 Shen =0.5 Shen =1 Après fermeture de contours

13 Transformée de Hough Utilisation dinformation a priori pour reconnaître le type dobjets recherchés et leur représentation Principe : –Les objets recherchés sont décrits à laide de fonctions simples modélisées par leurs paramètres Ex.: segments de droites, arcs de cercles –La transformée de Hough permet de passer de lespace image à lespace des paramètres pour rechercher dans cet espace les objets dintérêt

14 Transformée de Hough : cas de la recherche de droites (I) Représentation dune droite : y = ax + b –Dans lespace image I, x et y sont les variables (colonne et ligne) et (a,b) est un couple de paramètres fixes pour une droite donnée –Dans lespace des paramètres P, a et b sont les variables et (x,y) est un couple de paramètres fixes pour un pixel donné Par un point de I passe une infinité de droites, représentées par une droite dans P (b=ax–y), et A chaque point de P correspond une droite de I P Q x y I DPDP DQDQ a b P Algo : 1.calculer, pour chaque point du contour dans I, la droite lui correspondant dans P ; 2.Incrémenter les valeurs le long de cette droite ; 3.déterminer le point daccumulation dans P Hors cas x = Cst

15 Transformée de Hough : cas de la recherche de droites (II) Représentation dune droite : x.cos + y.sin = r 0 avec 0 < r 0 < diagonale de limage, et 0 < < 2 Espace des paramètres (r 0, ) A chaque point de I correspond une courbe dans P, et une intersection de courbes dans P correspond à une droite dans I r 0 /r = |cos ( - )| (droite perpendiculaire en M 0 (r 0, ) à la droite radiale = pente - /2) Droite de paramètres (r 0, ) déq. r = r 0.sec( - ) r 0 = r.cos( ).cos( )+ r.sin( ).sin( ) r 0 = x.cos( )+ y.sin( ) r0r0 M(r, ) r M 0 (r 0, ) - /2

16 Transformée de Hough : cas de la recherche de cercles Représentation dun cercle : (x–a) 2 + (y-b) 2 = r A un point de I correspond une surface dans P, et P représenté sous forme dun tableau 3D (a,b,r) Si on se donne un rayon (en pixels) et un % de pixels devant appartenir à la circonférence du cercle, on peut en déduire le seuil dans P (en nombre de pixels ayant voté pour un cercle (a,b,r) ) a b r = r 2 r3r3 r2r2 r1r1 Intensité fct du % dintersection de lellipse et du cercle de rayon r

17 Points dintérêts Points bien définis spatialement, i.e. qui donc peut être localisé précisément, e.g. point brillant, coin, extrêmité de ligne, maximum de courbure

18 Contours : exercices (I) Pour la norme du gradient, on utilise lune des trois normes suivantes : Comparer les valeurs obtenues par N 1, N 2 et N 3 si lon calcule le gradient discret avec 2x =[-1 0 1] et 2y = t [-1 0 1] Même question si le gradient discret est obtenu lapplication du filtre de Sobel En déduire que N 3 est la norme la mieux adaptée dans le premier cas, et N 1 ou N 2 dans le deuxième cas. Ecrire les équations aux différences pour les 3 masques utilisés pour estimer le laplacien discret :

19 Contours : exercices (II) Calculer le gradient et le laplacien morphologique dans les cas dimages suivants : Interpréter et commenter Effectuer un seuillage avec hystérésis sur : Donner les formules dinterpolation des gradients en M1 et M2 pour la détection des maxima locaux de la norme du gradient dans la direction du gradient, pour les différents cas de

20 Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse dimages : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.


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