Compression d’images La manière simple de conserver une image en mémoire est de se donner la couleur de chaque pixel. Cela demande une quantité de mémoire.

Présentation au sujet: "Compression d’images La manière simple de conserver une image en mémoire est de se donner la couleur de chaque pixel. Cela demande une quantité de mémoire."— Transcription de la présentation:

1 Compression d’images La manière simple de conserver une image en mémoire est de se donner la couleur de chaque pixel. Cela demande une quantité de mémoire énorme! Comment faire mieux?

2 Supposons qu’on ait dessiné une ville: On garde en mémoire les segments de droite, arcs de cercle, etc…, approximant notre image. On a approximé notre image par des objets géométriques connus.

3 Pour garder en mémoire un segment de droite il est plus économique de garder en mémoire: •les deux extrémités du segment •un programme qui explique à l’ordinateur comment tracer le segment. Les objets géométriques sont notre alphabet.

4 Comment faire pour garder en mémoire un paysage complexe? On utilise le même principe mais on élargit notre alphabet: •On approxime notre paysage par des fractals, par exemple la fougère

5 On garde en mémoire un programme permettant de tracer la fougère. En voici un en Mathematica m=15000 L[n_]:=If[1<n<87,2,n] H[n_]:=If[86<n<94,3,L[n]] K[n_]:=If[n>93,4,H[n]] R=Table[K[Random[Integer,{1,100}]],{m}]; F[1,x_,y_]:=0 G[1,x_,y_]:=0.16*y F[2,x_,y_]:=x*0.85+y*0.04 G[2,x_,y_]:=-x*0.04+y*0.85+1.6 F[3,x_,y_]:=x*0.2-y*0.26 G[3,x_,y_]:=0.23*x+0.22*y+1.6 F[4,x_,y_]:=-x*0.15+y*0.28 G[4,x_,y_]:=x*0.26+y*0.24+0.44 x[1]:=0 y[1]:=0 Do[{x[n+1],y[n+1]}={F[R[[n]],x[n],y[n]],G[R[[n]],x[n],y[n]]},{n,1,m}] T=Table[{x[n],y[n]},{n,m}]; ListPlot[T, AspectRatio->1, Axes-> False]

6 Principe du traçage de la fougère La fougère est la réunion: •d’une queue •de 3 copies d’elle- même

7 Pourquoi cela fonctionne-t-il? Regardons le triangle de Sierpinski: Il est la réunion de 3 triangles de Sierpinski. Partons d’un carré et itérons un processus de construction

8

9 Cela fonctionne avec n’importe quel ensemble de départ! Essayons-on en un autre:

10 Exemple Première iterée Sixième itérée

11 On peut reconstruire la fougère à partir de 4 transformations affines: •la transformation T 1 qui envoie la grosse fougère sur la fougère moins 2 branches •la transformation T 2 qui envoie la grosse fougère sur la branche de gauche •la transformation T 3 qui envoie la grosse fougère sur la branche de droite •la transformation T 4 qui envoie la grosse fougère sur la queue

12 Il suffit de garder en mémoire cette information pour reconstruire la fougère! Algorithme de construction: •On prend un point P sur la fougère. •On choisit au hasard i dans {1,2,3,4} et on trace P 1 = T i (P). •On choisit au hasard i dans {1,2,3,4} et on trace P 2 = T i (P). •Etc... La méthode s’appelle « Système de fonctions itérées » Elle fonctionne parce que la fougère est auto-similaire.

13 En pratique •Codage: On remplace chaque petit carré par l’image d’un grand carré sous une homothétie de rapport ½ composée avec une des 8 transformations: • Identité plus 3 rotations • 4 symétries On ajuste le contraste. On fait une translation du niveau de gris.