Présentation du cours Théorie Pratique

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1 Présentation du cours Théorie Pratique
Bases de la théorie des sous-ensembles flous Pratique Utiliser la théorie (exercices) Applications FisPro Maria Rifqi-Berger

2 Bibliographie « La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que-sais-je? PUF, N° 2702. « Logique floue – exercices corrigés et exemples d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998. « La logique floue et ses applications », B. Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995 « Fuzzy sets, uncertainty and information », G. Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988. Maria Rifqi-Berger

3 Plan du cours Introduction Présentation du cours Définitions de base
Sous-ensemble flou (sef) Caractéristiques de sef Opérations sur les sefs Quelques applications commerciales de la logique floue Maria Rifqi-Berger

4 Introduction L'imprécision du monde réel
Le flou est partout Le flou est humain Le flou est plus souple Théorie des sous-ensembles flous « mesurer une gradation dans l'appartenance à un ensemble » Une théorie mathématique formelle pour la prise en compte de l'imprécision et des incertitudes Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in Information and Control, 1965. Maria Rifqi-Berger

5 Gestion des imprécisions - Approche conventionnelle
Dissoudre le flou puis traiter des données précises informations floues  informations précises  part importante d'arbitraire analyse de la sensibilité indispensable plusieurs jeux de données traités un par un comparaison des résultats Maria Rifqi-Berger

6 Gestion des imprécisions - Approche floue
Traiter des données floues puis dissoudre le flou Garder le flou comme une information Reporter la dissolution du flou le plus tard possible et sur la décision uniquement Accroissement de la fiabilité et de la stabilité du système Maria Rifqi-Berger

7 Gestion des imprécisions
Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi Zadeh en 1965. Modèle mathématique pour représenter l'imprécision et l'incertitude. Idée des ensembles flous facile à comprendre : Freine dans 32m50 ou Freine bientôt La précision n'est pas toujours utile. Capable d'interpréter des informations imprécises et d'agir. Maria Rifqi-Berger

8 Ensembles classiques / Ensembles flous
ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant des propriétés précises Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8 fonction caractéristique : m : R  {0, 1} m(x) = 1 si 6  x  8 0 sinon. ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des propriétés imprécises Exemple : ensemble des nombres proches de 7 fonction d'appartenance : : X  [0, 1] (x) pas unique. différence majeure : unicité fonction caractéristique / infinité fonction d'appartenance Maria Rifqi-Berger

9 Théorie des sous-ensembles flous
X ensemble de référence A sous-ensemble flou de X défini par une fonction d'appartenance  X  [0, 1] Caractéristiques Noyau : éléments appartenant de façon absolue Noy(A) = {x X / (x) = 1} Support : éléments appartenant au moins un peu Supp(A) = {x X / (x)  0} Maria Rifqi-Berger

10 Théorie des sous-ensembles flous
Infinité de fonctions d'appartenance possibles flexibilité, ajustement maximal pour une situation donnée Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions Toute fonction X  [0, 1] est un ensemble flou dans le sens mathématique. D'un point de vue sémantique, il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de propriétés imprécises décrivant les éléments de X. Maria Rifqi-Berger

11 Probabilité / Flou ensembles flous = déguisement pour les statistiques ? NON B A  p(B) = 0.9 Quelle bouteille boirez-vous ? Maria Rifqi-Berger

12 2 philosophies différentes
Probabilité / Flou A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide chlorydrique. A est proche d'un liquide tout à fait potable. Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont dégoûtantes voire fatales. Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le risque de mourir. 2 philosophies différentes Maria Rifqi-Berger

13 La théorie des sous-ensembles flous
Une extension de la théorie des ensembles classiques Une théorie plus générale qui englobe la théorie des ensembles classiques La theorie des ensembles classiques et un cas particulier Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés existantes dans la théorie des ensembles classiques Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même temps La logique floue: application de la théorie des sous-ensembles flous pour la modélisation du raisonnement Extension de la logique classique La commande floue: utilisation de la logique floue pour le contrôle de systèmes automatiques Cas particulier de la logique floue Maria Rifqi-Berger

14 Exemples de sous-ensembles flous
X={moto,auto,train} (moyens de transport) A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides A= 0.7 / moto + 0,5 / auto / train X=[0, 130] (ensemble des âges) A: sous-ensemble de X des âges jeunes 1 Jeune X 15 20 30 35 Maria Rifqi-Berger

15 Caractéristiques d'un sef
Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de fonction d'appartenance fA. Noyau de A : Noy(A) = {x  X | fA(x)=1} Support de A : Supp(A) = {x  X | fA(x)>0} Hauteur de A : h(A) = supx  X fA(x) Cardinalité de A: |A| = x  X fA(x) Maria Rifqi-Berger

16 Opérations sur les sefs (1)
Extension des opérations de la théorie des ensembles classiques: =, , , , complément Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et fB. Égalité de sefs: A = B ssi x  X, fA (x) = fB(x) Inclusion de sefs: A  B ssi x  X, fA (x) < fB(x) Intersection de sefs: A  B: x  X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x)) Union de sefs: A  B: x  X, fA  B (x) = max(fA (x), fB(x)) Maria Rifqi-Berger

17 Opérations sur les sefs (2)
Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): A U∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A U X = X, A ∩ X = A Associativité de ∩ et de U : (A U B) U C = A U(B U C) Commutativité de ∩ et de U : A∩B = B∩A Distributivité de ∩ par rapport à U : A∩(B U C) = (A∩B) U(A∩C) A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C) Maria Rifqi-Berger

18 Opérations sur les sefs (3)
Complément Ac d'un sous-ensemble flou x  X, fAc (x) = 1 – fA(x) Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées (à faire en exercice): (Ac)c = A (A∩B)c = Ac U Bc (A U B)c = Ac ∩ Bc D'autres propriétés ne le sont pas (généralement): Ac ∩A ≠∅ (contradiction) Ac U A ≠ X (tiers exclu). Maria Rifqi-Berger

19 Opérations sur les sefs (4)
Autres extensions des opérations de la théorie des ensembles classiques: ∩ et U Ces opérations sont en fait des fonctions mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, F(x,y)  [0,1]. L'intersection peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-norme (opérateur ET) L'union peut être réalisée en prenant comme opérateur une t-conorme (opérateur OU) Maria Rifqi-Berger

20 Opérations sur les sefs (5)
Justification des choix des opérateurs Les opérateurs min et max sont les seuls opérateurs qui soient commutatifs, associatifs, mutuellement distributifs, continus et doublement non décroissants D'autres opérateurs sont possibles : conjonction normes triangulaires (t-normes) disjonction conormes triangulaires (t-conormes) Propriétés communes : associativité, commutativité, monotonie, élément neutre. Maria Rifqi-Berger

21 Normes triangulaires (t-normes)
Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]: ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité) ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité) ⊤(x,y) ⊤(z,t) si x  z et y  t (monotonie) ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre) Exemples de telles fonctions : min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0) ⊤ est une t-norme Utilisée pour l'intersection ou la conjonction Maria Rifqi-Berger

22 Normes triangulaires (t-conormes)
Soit une fonction :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que x, y, z  [0,1]: (x,y) = (y,x) (commutativité) (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité) (x,y)  (z,t) si x  z et y  t (monotonie) (x,0) = x (0 est élément neutre) Exemples de telle fonction: max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)  est une t-conorme Utilisée pour l'union Maria Rifqi-Berger

23 Dualité t-norme / t-conorme
Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié Etant donné un opérateur de complémentation par exemple: fc = 1-f Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et seulement si : 1 – ⊤(x,y) = (1-x, 1-y) 1 – (x,y) = ⊤(1-x, 1-y) En terme de sous-ensembles, la dualité permet de conserver les lois de De Morgan Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux : on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) = min(1-x, 1-y) On montre que (à faire en exercice) les opérateurs probabilistes sont duaux les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux Maria Rifqi-Berger

24 Exemples X={moto,auto,train} (moyens de transport)
Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto / train Transport familial: B= 0.1 / moto / auto / train X=[0, 130] (ensemble des âges) 1 Jeune X 15 20 30 35 70 55 Salarié Maria Rifqi-Berger

25 Caractéristiques d'un sef (2): -coupes
Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un sous-ensemble classique A extrait du sef A, défini en fonction d'un seuil   [0,1] fixé : soit   [0,1],  x  X, x  A si et seulement si fA(x)  A est un sous-ensemble classique de X. (fA prend ses valeurs dans {0,1}). On vérifie que (à faire en exercice): Si  >  ' alors A  A' et si B  A alors B  A (A ∩ B) = A ∩ B , et (A  B)  = A   B   x  X, fA(x) = sup]0,1]  f(x) (i.e. on peut reconstruire A à partir de ses -coupes). Maria Rifqi-Berger

26 Relations entre sous-ensembles flous
Relation: notion fondamentale des mathématiques classiques Basée sur le produit cartésien d'ensembles Les relations établissent des liens entre éléments soit d'un même ensemble soit d'ensembles différents Elles permettent de construire des applications une application est une relation particulière Maria Rifqi-Berger

27 Produit cartésien de sefs
Cas où l'on désire combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2 Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance: x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) ) Maria Rifqi-Berger

28 Produit cartésien X2 x2 (x2 , x1) A2 x1 X1 A1 Maria Rifqi-Berger

29 Exemple d'application du produit cartésien
X1={moto,auto,train} (moyens de transport) Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto / train X2={pasCher, cher} (prix) Prix souhaité: A2= 0.7 / pasCher / cher Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité) Maria Rifqi-Berger

30 Relations floues Une relation floue R entre 2 ensembles de références X et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction d'appartenance fR Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R) des valeurs de sa fonction d'appartenance Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train, Voiture, Moto, Avion} La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2 sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de f.a. définie par: (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z)) Maria Rifqi-Berger

31 Relation floue transitive
Transitivité : propriété très utilisée pour des relations si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors est-ce que A ressemble à C ? si x < y et que y < z alors x < z Une relation floue R sur X est dite transitive si elle vérifie RR  R. En particulier, si on utilise la composition max-min, on dira que la relation floue R est max-min transitive si: (x,z) XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y), fR(y,z)) Maria Rifqi-Berger

32 Principe d'extension (1)
Principe d'extension: utilisé pour étendre une fonction classique aux sefs. Maria Rifqi-Berger

33 Entrée précise Maria Rifqi-Berger

34 Entrée floue Maria Rifqi-Berger

35 Principe d'extension (2)
Idée: possédant une fonction sur un univers classique X, permettre son utilisation avec des sefs de X. Définition: Étant donné un sef A de X, et une application  de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par  : yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅ sinon Le sef B est l'image du sef A par la fonction . Maria Rifqi-Berger

36 Exemple d'application du principe d'extension (1)
X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport) Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses) On définit la fonction  qui associe une vitesse à un moyen de transport : (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane Mesure de la vitesse d'un side-car? fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1 fB(N)= fsc(voiture)= 0.4 fB(R)= fsc(moto)= 0.5 Maria Rifqi-Berger

37 Exemples d'application du principe d'extension (2)
Fonction mathématique classique: (x)= x2 A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la A2. y Y, fB(y)= sup{x  X | y=x2} fA(x) si -1(y)≠∅ sinon Mesure de surprise: (p)= -log(p) A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a. fB qui correspond à la valeur floue de surprise causée par A. Maria Rifqi-Berger

38 Raisonnement flou Variables linguistiques et propositions floues
Proposition floue générale Implication floue Raisonnement Flou Modus ponens classique Modus ponens généralisé Application du Modus ponens généralisé Maria Rifqi-Berger

39 Variable linguistique
Une variable linguistique est représentée par un triplet (V, XV, TV) V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...) XV : univers des valeurs prises par V (ℝ,...) TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV, utilisés pour caractériser V. Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune, Jeune, Agé}) 1 Age Très-jeune Jeune Agé Maria Rifqi-Berger

40 Proposition floue Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV) Par exemple: « Age-personne est jeune » Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B » p.f.e. de (W, XW, TW), Exemples de proposition floue générale : « V est A et W est B » « V est A ou W est B » Maria Rifqi-Berger

41 Valeur de vérité d’une proposition floue
Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou VRAI) Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1] Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction d'appartenance de A Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque proposition floue élémentaire Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...) Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB) Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB) Maria Rifqi-Berger

42 x  X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))
Implication floue Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues « V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B » « V est A » est la prémisse « W est B » est la conclusion Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas » Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » : évaluée par une fonction implicative fI : X x Y  [0,1] x  X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))  est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques. Maria Rifqi-Berger

43 Principales fonctions d'implication floue
fI(x, y) = (A(x), B(y)) - Maria Rifqi-Berger

44 Logique classique vs Logique floue
Maria Rifqi-Berger

45 Mode de raisonnement classique
Modus ponens de la logique classique Règle: Prémisse  Conclusion Observation: Prémisse-observée Déduction: Conclusion Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissance Règle: H est humain  H est mortel Observation: Socrate est humain Déduction: Socrate est mortel Maria Rifqi-Berger

46 Mode de raisonnement flou
Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables linguistiques Règle floue: V est A  W est B fA fB Observation floue: V est A' fA' Déduction: W est B' fB' fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y),  y  Y Maria Rifqi-Berger

47 Modus ponens généralisé
Règle floue « V est A  W est B » Implication x  X,  y  Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y)) Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B' Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA' T est une t-norme T est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus ponens classique. On a, pour tout y  Y : fB' = supx  X T(fI(x,y), fA'(x)) Maria Rifqi-Berger

48 Une règle Maria Rifqi-Berger

49 Plusieurs règles Maria Rifqi-Berger

50 Exemples d'opérateurs de MPG
Zadeh :  u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v) Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,... Lukasiewicz :  u,v  [0,1], T(u,v) = max(u+v-1,0) Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,... Maria Rifqi-Berger

51 Applications du modus ponens généralisé
Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique Contrôle flou de processus Phase de défuzzification nécessaire Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue Raisonnement flou, inférence de connaissances Pas de défuzzification Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue B' est à B ce que A' est à A ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B') Maria Rifqi-Berger

52 Imprécisions et incertitudes
Théorie des sous-ensembles flous Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans ») ou vague (« jeune ») traitement dans un même cadre des connaissances numériques et des connaissances symboliques Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme imprécisions et incertitudes ce qui est très généralement lié: « je suis sûr que nous sommes en fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30 » De plus, un raisonnement basé sur des connaissances imprécises engendre souvent des incertitudes « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la certitude que je puisse l'avoir? » Maria Rifqi-Berger

53 Théorie des possibilités
Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous-ensembles flous : But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes sur les connaissances. Incertitudes non-probabilistes sur des événements : impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de réalisation. « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? » Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est même assez certain. » Maria Rifqi-Berger

54 Mesure de possibilité Soit un ensemble de référence fini X
On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible. Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de possibilité  définie sur P(X), l'ensemble des parties de X, à valeur dans [0,1], telle que: (∅)=0, et (X)=1 (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B)) Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité est égale à 1. Maria Rifqi-Berger

55 Mesure de possibilité : propriétés
Une mesure de possibilité vérifie: (A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B)) En particulier, l'occurrence simultanée de 2 événements possibles peut être impossible Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X Si A  B alors (A) ≤ (B)  A  P(X), max((A), (Ac)) = 1  A  P(X), (A) + (Ac) ≥ 1 Maria Rifqi-Berger

56 Mesure de nécessité Une mesure de possibilité fournit une information sur l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps: indétermination complète sur la réalisation de A. On attribue à chaque événement un coefficient évaluant à quel point la réalisation de cet événement est certaine. Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que : N(∅)=0, et N(X)=1 ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B)) Maria Rifqi-Berger

57 Mesure de nécessité : propriétés
Une mesure de nécessité vérifie: (A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B)) Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X Si A  B alors N(A) ≤ N(B) A  P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0 A  P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1 Maria Rifqi-Berger

58 Relations possibilité / nécessité
Une mesure de nécessité N peut être obtenue à partir d'une mesure de possibilité  par : A  P(X), N(A) = 1 - (Ac) Plus un événement A est affecté d'une grande nécessité, moins son complémentaire Ac est possible. On a de plus:  A  P(X), (A) ≥ N(A)  A  P(X), max((A), 1-N(A))=1 Maria Rifqi-Berger

59 Distribution de possibilité
Une mesure de possibilité est totalement définie si on attribue un coefficient de possibilité à toute partie de X. si on indique un coefficient seulement aux parties élémentaires de X, une partie quelconque étant l'union de parties élémentaires. Une distribution de possibilité  est une fonction définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que : supxX (x) = 1 A partir d 'une distribution de possibilité , on construit une mesure de possibilité  : A  P(X), (A) = supxA (x) Maria Rifqi-Berger

60 Possibilité de sous-ensemble flou
Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles ordinaires de X Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance préalable donnée sur X. Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A. On évalue alors la possibilité de B relative à A par : (B; A)= supxX min (fB(x), fA(x)) (B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X peut appartenir à la fois à A et à B. Maria Rifqi-Berger

61 Nécessité de sous-ensemble flou
Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A. On évalue alors la nécessité de B relative à A par : (B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x)) N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus dans A. Maria Rifqi-Berger

62 Exemple ~100 km/h Rapide 1 km/h 90 100 110
On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace des vitesses. Une moto roule à env. 100km/h. Questions: Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide? Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »? ~100 km/h Rapide 1 km/h 90 100 110 Maria Rifqi-Berger

63 Exemple : possibilité et nécessité
(env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6 ~100 km/h Rapide 1 90 100 110 km/h 0,6 (env.100; Rapide)= infx  X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0 90 100 110 1 km/h Rapide ~100 km/h Maria Rifqi-Berger

64 Apprentissage non supervisé
Étant donné un ensemble d'exemples (des points dans un plan, ...) On ne connaît pas de classe à associer aux exemples Il faut découvrir des classes, faire des regroupements d'éléments similaires Clustering = construction de paquets Maria Rifqi-Berger

65 Méthodes de C-moyennes
Une des plus anciennes méthodes de clustering existantes (1967). Algorithme des C-means. Partition d'une population Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple à une classe L'algorithme: Sélection de c points (au hasard) : centroïdes. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche (distance). Constitution de clusters. Calcul de nouveaux centroïdes: on prend la moyenne, composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les clusters. Maria Rifqi-Berger

66 C-moyennes: étape 1 Maria Rifqi-Berger

67 C-moyennes: étape finale
X O X Maria Rifqi-Berger

68 Méthodes des C-moyennes: Inconvénients
Problèmes de prise en compte des variables non-numériques (nécessité de posséder une mesure de distance) Traduction en valeurs numériques Construction de matrices de distances Problème du choix du nombre de centroïdes c Problème du choix de la normalisation dans le calcul de la distance (même poids pour chaque composante) Pondération, normalisation, agrégation Maria Rifqi-Berger

69 Méthode des C-moyennes floues
Généralisation de l'algorithme des C-moyennes Partition floue des données Fonctions d'appartenance aux clusters Problématique : trouver une pseudo-partition floue et les centres des clusters associés qui représente le mieux la structure des exemples. Utilisation d'un critère permettant de mesurer les associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à l'extérieur Index de performance Maria Rifqi-Berger

70 Rappels Pseudo-partition floue C-partition floue
Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1, A2,..,An} de X tel que: xX, C-partition floue Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A1, A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que : Maria Rifqi-Berger

71 C-moyennes floues Soit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être un vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp) Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1, v2,..., vc associés à chaque cluster flou sont calculés par : Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance. vi: centre du cluster flou Ai Moyenne pondérée des données de Ai Le poids d'une donnée xk est la puissance mième de son degré d'appartenance à Ai. Maria Rifqi-Berger

72 Index de performance d'une partition floue
Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice de performance est défini par: Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la distance entre xk et vi Plus Jm(P) est faible, meilleure est P Maria Rifqi-Berger

73 Algorithme de Bezdek (1981)
Algorithme d'optimisation d'une partition floue: algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means). Hypothèses: C connu, On possède une distance (mesure), Un réel m  ]1,+∞[ est donné, Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt). Maria Rifqi-Berger

74 Algorithme de Bezdek Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0). Etape 2: Calculer les c centres v1(t), v2(t),...,vc(t) pour P(t) grâce à (1) Etape 3: Mise à jour de P(t) pour construire P(t+1):  xk  X, Si alors si pour quelque iI ℕc , alors on définit pour iI par tout nombre réel >0 tel que: et on définit pour tout iℕc-I Etape 4: Comparer P(t) et P(t+1) Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a : (distance entre les partitions) Maria Rifqi-Berger

75 Construction de clusters flous – Exemple
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76 Construction de clusters flous – Résultat final
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77 Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous
Un sef F est convexe si (x, y)RxR, z  [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y)) Propriété équivalente au fait que toute –coupe de F est une partie convexe de R. Quantité floue : sef normalisé de R. Intervalle flou : quantité floue convexe Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue supérieurement et de support compact. 1 R a m b Maria Rifqi-Berger

78 Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (1)
Quantité floue I dont la fonction d’appartenance dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2 fonctions L er R telles que : L(0)=R(0)=1 L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0 R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0 I=(m,m’,a,b)LR Maria Rifqi-Berger

79 Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (2)
Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR avec m=m’. Fonctions L et R particulières : L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles flous trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires. Maria Rifqi-Berger

80 Arithmétique floue – Opérations sur les L-R
I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors : -I=(-m’,-m,b,a)RL I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R Maria Rifqi-Berger