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Ce sont les points de Grothendieck qui font la musique Guerino Mazzola.

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1 Ce sont les points de Grothendieck qui font la musique Guerino Mazzola

2 Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique Un regard grothendieckien sur BoulezUn regard grothendieckien sur Boulez

3 Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique Un regard grothendieckien sur BoulezUn regard grothendieckien sur Boulez

4 Euclide dAlexandrie: punctus est cuius pars nulla est Alexandre Grothendieck introduction de ladresse

5 Luigi Pirandello Uno, nessuno e 10 5 (Gegnè)...vivo e intero, non più in me, ma in ogni cosa fuori.

6 Lemme de Yoneda Le C : X = h X = C(-, X) est pleinement Hom(X,Y) En particulier, X Y si et Lemme de Yoneda Le C : X = h X = C(-, X) est pleinement Hom(X,Y) En particulier, X Y si et adresse

7 F: Mod > Ens préfaisceaux ont toutes ces propriétés Ens produits cartésiens X Y réunions disjointes X Y ensembles puissance X Y charactéristiques X > pas dalgèbre Mod sommes directes A B possède de lalgèbre pas densembles puissance pas de charactéristiques est un

8 F T = 2 objet de vérité (booléen) pour ensembles objet ponctuel dEuclide O = { } Ÿ 12 = II accord = morphisme de Ÿ 12 dans objet de vérité FF T F F T F F F T F F

9 nomtype/diagrammeid nomformecoordonnée dénotateur topos

10 Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique Un regard grothendieckien sur BoulezUn regard grothendieckien sur Boulez

11 {do, (do), 2 (do),...} {do, (do), 2 (do),...} = {do, mi, sol} = triade majeure Ÿ 12 Accords circulaires do sol mi do = 0 (p) = 3p+7

12 x: Ÿ 12 Ÿ 12 z: Ÿ 12 Ÿ 12 x O x: O Ÿ 12 adresse ponctuelle dEuclide O = { } z Ÿ Ÿ 12 Thomas Noll 1995: modèle de lharmonie de Hugo Riemann: tons auto-adressés David Lewin Dan Tudor Vuza

13 David Lewin (Generalized Musical Intervals and Transformations 1987) Dan Tudor Vuza (Sur le rythme périodique 1985) Les time spans t = (a, x) sont des transformations affines e a x, i.e. des dénotateurs temporels auto-adressés a x) 1 x 1 a x a 0 1 David Lewin Dan Tudor Vuza

14 Trans(Dt,Tc) = Trans(Dt,Tc) = f Dt triade de dominante {sol, si, re} Tc triade de tonique {do, mi, sol} consonances relatives

15 = Ÿ 12 + = consonances = Ÿ 12 + = consonances D = Ÿ 12 + {1,2,5,6,10,11} = dissonances T.2.5 b Ÿ 12 [ a + b Ÿ 12 [ Ÿ 12 [ Ÿ 12 [

16 Ÿ 12 Ÿ 12 [ ] Ÿ Ÿ 12 Ÿ 12 [ Ÿ 12 [ ] Trans(Dt,Tc) = Trans(K,K )| ƒ Trans(Dt,Tc) = Trans(K,K )| ƒ ƒ ƒ ch.ad ch.ad Trans(Dt,Tc) Trans(K,K ) K, D K, D

17 Ÿ 12 Exemple 1: Klumpenhouwer-nets de classes dhauteurs C = Ab groupes abeliens + applications affines Ÿ T 11.-1/Id T 11.5/Id T 4 /Id T 2 /Id 3 724

18 Exemple 2: K-nets daccords C = Ab 2 Ÿ {3,4,10} 2 T /Id 2 T 11.5 /Id 2 T 4 /Id 2 T 2 /Id {2,7,8} {3,4,9}{1,2,7}

19 D position hauteur temps X g corps squelette Geste (local) = point D -adressé g: D dans le graphe orienté spatial dun espace topologique X (= graphe des courbes continues dans X) Geste (local) = point D -adressé g: D dans le graphe orienté spatial dun espace topologique X (= graphe des courbes continues dans X)XX

20 D p formes réalistes? espace des bouts positionhauteurtemps

21 cercle noeud boucle de boucles Hypergestes! Digraph ( F, ) = espace topologique des gestes (locaux) de squelette F à corps dans X Notation: X

22 Application gestuelle est une application continue (u,v): canoniquement induite par une paire u: G F (graphes orientés) v: X Y (continue) La categorie HG = HG 1 des hypergestes 1) hypergestes 2) applications gestuelles Induction: La categorie HG n des hypergestes n-uples

23 Avons chaîne de catégories dhypergestes G HG = HG 1 HG 2... HG n HG n+1... représentant la granularité des relations gestuelles, comme en géométrie différentielle avec les catégories de variétés n fois différentiables. E.g. recollant des gestes locaux pour créer des gestes globaux par des joints quasi-anatomiques

24 Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique Un regard grothendieckien sur BoulezUn regard grothendieckien sur Boulez

25 Analyse de György Ligeti: Pierre Boulez: Entscheidung und Automatik in der Structure Ia (die Reihe UE, Wien et al. 1958)

26 structuresx coordonnées analytiques M modèleanalytique oeuvresreprésentationsscientifiques U = M (x) = M (x) Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de un geste boulézien ' xxx x'x'x'x' transduction (Anne Boissière)

27 1. déduction des séries de durées des séries dhauteurs: 1. déduction des séries de durées des séries dhauteurs:...ist es keineswegs ersichtlich, warum eben diese Permutationen von den möglichen ausgewählt wurden. Das Unorganische steckt in der funktionslosen Transplantation eines Systems: Tonqualitäten mit Zahlen etikettiert; die entmaterialisierten Zahlen in Tabellen gereimt; schliesslich die Tabelle fetischartig als Mass für Dauernquantitäten angewandt also urspüngliche Ordnungsbezeichnungen wertbezeichnend benützt. 2. déduction des séries dintensités/attaques des séries dhauteurs... Die Auswahl der dynamischen Proportionen nach diesem Diagonalverfahren ist interessant als Spiel, aber sie ist noch unfunktioneller als die beschriebene Permutation der Dauern; sie geht nicht aus der musikalischen Materie, sondern aus einer Zahlenabstraktion hervor.

28 Pierre Boulez structures Ia (1952) CD wergo 1965 (3:36) Alfons & Aloys Kontarsky Faden (fil) composition est un système de fils = des points de Grothendieck

29 A = Ÿ 11, F = PitchClass:.Simple( Ÿ 12 ) S: Ÿ 11 Ÿ 12, S = (S 0, S 1,... S 11 ) e i ~> S i, e i = (0, 0,..., 1, 0, 0,... 0) e 0 = 0 Ÿ 12 S 011 séries dodécaphoniques i

30 Partie A Partie B 78/32 fil

31 Boulez: série de Messiaen des modes et valeurs dintensité classes des hauteurs indexe dichotomie forte de classe 71

32 série des durées 1/32 + 2/ /32 = 78/32 = durée totale dun fil 1/3212/32

33 série des intensités

34 séries des attaques représentation paramétrique: comment jouer? Attack:.Limit(Articulation, Dynamics, Anticipation) Articulation, Dynamics, Anticipation:. Simple( ) Articulation %, Dynamics %, Anticipation abs. val.

35 la matrice Q (Ligeti lappelle R) Lenfer combinatoire de Boulez

36 espace F f adresse A adresse B changement dadresse g

37 yx Categorie C des points C-adressés objets de C objets de C F, F = préfaisceau dans ~ x F(A), écrire x: A F A = adresse, F = espace de x h FA GB changement dadresse morphismes de C morphismes de C x: A F, y: B G h/ : x y x: A F, y: B G h/ : x y F A x

38 x i : A i F i h il q / il q h jm s / jm s h li p / li p h jl k / jl k h ll r / ll r x j : A j F j x m : A m F m x l : A l F l h ij t / ij t réseau local dans C = diagramme x de points C-adressés x : C coordonnée de x

39 Exemple: K-nets de séries dodécaphoniques C = Ab Ÿ 12 s Us Ks UKs T 11.-1/Id Id/T Ÿ 11 s

40 lidée de Boulez: utiliser des changements dadresse! S: Ÿ 11 ParameterSpace changements dadresse g: B Ÿ 11 donne S · g: B Ÿ 11 ParameterSpace b ~> S g(b) exemple: g = K: Ÿ 11 Ÿ 11 e i ~> e 11-i S · g = série rétrograde

41 transpositions et inversions? transposition A =T n : Ÿ 12 Ÿ 12 x ~> T n (x) = n+x inversion A = U : Ÿ 12 Ÿ 12 x ~> U(x) = u-x Ÿ 11 Ÿ 11 SS Ÿ 12 Ÿ 12 A C(A) A · S = S · C(A) C(A) = changement dadresse! C(T n ), C(U) remplace T n ou U

42 On travaille sur lontologie de ladresse commune Ÿ 11 En géométrie algébrique, une adresse Spec(R) pour un anneau commutatif R définit une strate ontologique du schéma S, e.g., R = définit lespace Spec( des solutions (points) réelles déquations polynomiales R = définit lespace Spec( des solutions (points) réelles déquations polynomiales R = ¬ définit lespace Spec( ¬ des solutions (points) complexes. R = ¬ définit lespace Spec( ¬ des solutions (points) complexes. G = groupe de symétries sur lespace des classes des hauteurs G C(G) Ÿ 12 Ÿ 11 SHSHSHSH C(G) F Ÿ 11 S?S?S?S? C(G) = groupe de changements dadresse

43 La matrice Q de Ligeti est une matrice de changements dadresse ligne i = changement dadresse C(T n(i) ): Ÿ 11 Ÿ 11 pour la transposition T n(i), où n(i) = différence S(i)-S(1) Exercice: pourquoi les lignes sont-elles un groupe?

44 comprendre la matrice Q de Ligeti comme changement dadresse Q: Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 avec Ÿ 11 Ÿ 11 = Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 143 (produit tensoriel affine) Q(e i e j ) élément de la base affine (e 0, e 1,... e 11 ) de Ÿ 11 Mais on a C) (A C. Donc und telle matrice représente une série de séries: S · Q: Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 ParameterSpace S · Q(e i -): Ÿ 11 ParameterSpace e j ~> S(Q(e i e j ))

45 Situation similaire aux espaces des hypergestes Espaces de points adressés de points adressés de... Cette technique est celle du address killing dans ToM: = (B = (0 = ~ ~

46 Le yoga de la construction boulézienne est un système de changements dadresse sur ladresse Ÿ 11 Ÿ 11, fournissant de nouvelles séries de séries pour cette composition. Etant donnés deux changements dadresse g, h: Ÿ 11 Ÿ 11 on obient un changement g h: Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 défini par: g h (e i e j ) = g(e i ) h(e j )

47 g h : Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 fournit un changement dadresse combiné: Q · g h: Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11 Qg h Q · g h ParameterSpace

48 Exemples: g = Id, h = K Q · Id K = système rétrograde g = Id, h = K Q · Id K = système rétrograde g = h = U mi b = U Q · U U = matrice U de Ligeti g = h = U mi b = U Q · U U = matrice U de Ligeti piano 1 utilise ces changements dadresse: classes des hauteurs durées partie A U Id U · K U · K partie B U · K U · K K U

49 piano 1 utilise ces changements dadresse: classes des hauteurs durées partie A U Id U · K U · K partie B U · K U · K K U piano 2 utilise ces changements dadresse : un seul changement dadresse U U classes des hauteurs durées partie A U U · U Id U U · (U · K U · K) partie B U U · (U · K U · K) U U · K U

50 série des intensités

51 les trajectoires dintensités a/b et c/d du fou sur léchiquier (Ligeti) a a c c a: Ÿ 11 Ÿ 11 Ÿ 11

52 topologie des trajectoires fermées a/b dintensité a

53 c topologie des trajectoires fermées c/d dintensité

54 Le lemme de Yoneda dans le cadre conceptuelLe lemme de Yoneda dans le cadre conceptuel Théories fonctorielles de la musiqueThéories fonctorielles de la musique Un regard grothendieckien sur BoulezUn regard grothendieckien sur Boulez Transduction des structures pour deux pianosTransduction des structures pour deux pianos

55 BASE DU MODÈLE: Prendre un nombre de séries dans tous les paramètres qui interviennent (principals: classe dhauteurs, durée; auxiliaires: intensité, attaque)Prendre un nombre de séries dans tous les paramètres qui interviennent (principals: classe dhauteurs, durée; auxiliaires: intensité, attaque) Prendre un groupe de changement dadresse (en loccurrence induit par transposition, inversion et rétrograde) pour les classes dhauteursPrendre un groupe de changement dadresse (en loccurrence induit par transposition, inversion et rétrograde) pour les classes dhauteurs Appliquer ce groupe également à la duréeAppliquer ce groupe également à la durée Dériver de nouvelles matrices de changements dadresse pour piano 2 par un seul changement dadresse appliqué aux changements dadresse du piano 1Dériver de nouvelles matrices de changements dadresse pour piano 2 par un seul changement dadresse appliqué aux changements dadresse du piano 1 Dessiner des trajectoires fermées sur un tableau quotient du groupe des changements dadresse pour les paramèters auxiliaires pour dériver une série pour chacun.Dessiner des trajectoires fermées sur un tableau quotient du groupe des changements dadresse pour les paramèters auxiliaires pour dériver une série pour chacun. Appliquer les valeurs auxiliaires aux série entièresAppliquer les valeurs auxiliaires aux série entières Distribuer ces séries, groupées pour piano 1 et piano 2, aux temps déterminés. Ces temps de groupes sont périodiques (78/32).Distribuer ces séries, groupées pour piano 1 et piano 2, aux temps déterminés. Ces temps de groupes sont périodiques (78/32).

56 BASE DE LA TRANSDUCTION DU MODÈLE: Prendre un nombre de séries dans tous les paramètres qui interviennent (principals: classe dhauteurs, durée,...; auxiliaires: intensité, attaque,...)Prendre un nombre de séries dans tous les paramètres qui interviennent (principals: classe dhauteurs, durée,...; auxiliaires: intensité, attaque,...) Prendre un groupe de changement dadresse pour les classes dhauteursPrendre un groupe de changement dadresse pour les classes dhauteurs Appliquer ce groupe également aux autres paramètres principauxAppliquer ce groupe également aux autres paramètres principaux Dériver de nouvelles matrices de changements dadresse pour instruments 2, 3,... par un seul changement dadresse par instrument appliqué aux changements dadresse de linstrument 1Dériver de nouvelles matrices de changements dadresse pour instruments 2, 3,... par un seul changement dadresse par instrument appliqué aux changements dadresse de linstrument 1 Dessiner des trajectoires fermées sur un tableau quotient du groupe des changements dadresse pour les paramèters auxiliaires pour dériver une série pour chacunDessiner des trajectoires fermées sur un tableau quotient du groupe des changements dadresse pour les paramèters auxiliaires pour dériver une série pour chacun Appliquer les valeurs auxiliaires aux série entièresAppliquer les valeurs auxiliaires aux série entières Distribuer ces séries, groupées pour instrument 1 et instruments 2, 3,..., aux espace-temps déterminés. Ces espace-temps sont déterminés par des réseaux de transformationsDistribuer ces séries, groupées pour instrument 1 et instruments 2, 3,..., aux espace-temps déterminés. Ces espace-temps sont déterminés par des réseaux de transformations


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