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Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 1 Mise au point vidéo projecteur.

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2 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 1 Mise au point vidéo projecteur.

3 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 2 LES DÉMONSTRATIONS DE LAXIOME DEUCLIDE LA THÉORIE DES PARALLÈLES AXIOME DIT « DEUCLIDE » Par un point donné (extérieur à une droite), on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. Formulation de Playfair, XVIII e siècle Jacques VERDIER, Besançon 2007

4 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 3 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE Les éléments dEuclide : 10 « livres », débutant par 35 définitions et 5 « demandes » (ou postulats). Les 4 premiers livres concernent la géométrie.éléments dEuclide La 35 e définition est celle des parallèles : Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre. Le 5 e postulat est le suivant : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

5 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 4 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

6 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 5 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. Formulation assez compliquée ? Ressemble à une proposition (théorème) ? Utilité : éviter linfini ? POSIDONIUS propose une nouvelle définition des parallèles : Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point … mais cela équivaut au 5 e postulat… TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

7 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 6 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE Les démonstrations des 28 premières propositions ne nécessitent pas lutilisation du 5 e postulat. Elles forment ce quon appelle la « GÉOMÉTRIE ABSOLUE ». Les propositions 27 à 32 : 5 propositions (théorèmes) et une construction relatives aux droites parallèles. Elles forment ce quon appelle la « THÉORIE DES PARALLÈLES ». La 27 e proposition: Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles. La 28 e proposition : Si une droite tombant sur deux droites fait l'angle extérieur égal à langle intérieur, opposé, et placé du même côté, ou bien si elle fait les angles intérieurs et placés du même côté égaux à deux droits, ces deux droites seront parallèles. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

8 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 7 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE XXVII. Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles. Que la droite EZ tombant sur les deux droites AB, ΓΔ fasse les angles alternes AEZ, EZΔ égaux entre eux ; je dis que la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ. Car si elle ne lui est pas parallèle, les droites AB, ΓΔ étant prolongées se rencontreront, ou du côté BΔ, ou du côté AΓ. Qu'elles soient prolongées, et qu'elles se rencontrent du côté BΔ, au point H. L'angle extérieur AEZ du triangle EHZ est égal à l'angle intérieur et opposé EZH, ce qui est impossible (prop. 16) ; donc les droites AB, ΓΔ prolongées du côté BΔ ne se rencontreront point.prop. 16 On démontrera de la même manière qu'elles ne se rencontreront pas non plus du côté AΓ ; mais les droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont parallèles (déf. 35) ; donc la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ.déf. 35 Donc, etc. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

9 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 8 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE XXIX. Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté égaux à deux droits. Que la droite EZ tombe sur les droites parallèles AB, ΓΔ ; je dis que cette droite fait les angles alternes AHΘ, HΘ égaux entre eux, l'angle extérieur EHB, égal à l'angle HΘΔ intérieur opposé et placé du même côté, et les angles BHΘ, HΘΔ intérieurs et placés du même côté, égaux à deux droits. Car si l'angle AHΘ n'est pas égal à l'angle HΘΔ, l'un d'eux est plus grand. Que l'angle AHΘ Soit plus grand que HΘA. Ajoutons l'angle commun BHΘ, les angles AHΘ, BHΘ seront plus grands que les angles BHΘ, HΘA ; mais les angles AHΘ, BHΘ sont égaux à deux droits (prop. 13) ;prop. 13 donc les angles BΗΘ, HΘΔ sont moindres que deux droits. Mais si deux droites sont prolongées à l'infini du côté où les angles intérieurs sont plus petits que deux droits, ces droites se rencontrent (demande 5) ; donc les droites AB, ΓΔ prolongées à l'infini se rencontreront. Mais elles ne se rencontreront pas, puisqu'elles sont parallèles ; donc les angles AHΘ, HΘA ne sont point inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l'angle AHΘ est égal à l'angle EHB (prop. 15) ; donc l'angle EHB est égal à l'angle HΘΔ.demande 5 Ajoutons l'angle commun BHΘ, les angles EHB, BHΘ seront égaux aux angles BHΘ, HΘΔ ; mais les angles EHB, BHΘ sont égaux à deux droits (prop. 13) ; donc les angles BHΘ, HΘΔ sont égaux à deux droits. Donc, etc. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

10 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 9 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE Schéma de la « théorie des parallèles » TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

11 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 10 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE Deux remarques importantes : 1. Le fait quEuclide ait utilisé le 5 e postulat pour démontrer la proposition 29 ne prouve pas quil ait été nécessaire de lutiliser. Limpossibilité de démontrer la proposition 29 sans utiliser le 5 e postulat (ni un postulat équivalent) ne fut prouvée quen 1860 ! TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

12 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 11 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE Deux remarques importantes : 2. La proposition 31 permet de construire une parallèle. Soit A le point donné, et BΓ la droite donnée ; il faut par le point A conduire une ligne droite parallèle à la droite BΓ. Prenons sur la droite BΓ un point quelconque Δ, et joignons AΔ ; construisons sur la droite ΔA, et au point A de cette droite, l'angle ΔAE égal à langle AΔΓ (prop. 23), et prolongeons la droite AZ dans la direction de EA.prop. 23 Puisque la droite AΔ, tombant sur les deux droites BΓ, EΖ, fait les angles alternes EAΔ, ΑΔΓ égaux entre eux, la droite EZ est parallèle à droite BΓ (prop. 27).prop. 27 Donc la ligne droite EAZ a été menée, par le point donné A, parallèle à la droite donnée BΓ ; ce qu'il fallait faire. Mais rien nest dit quant à lunicité de cette parallèle. Euclide ne sest-il pas posé le problème ? NB : cette unicité était aisément prouvable (avec la proposition 30 : Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles). TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

13 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 12 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT Le 5 e postulat a été « contesté ». On pensait que cétait un théorème, et quEuclide lavait placé là parce quil navait pas pu le démontrer. Deux démarches pour sen « débarrasser » : Le remplacer par un axiome plus « primitif », à la formulation simple, comme les autres postulats.les autres postulats Le démontrer à partir des 5 autres postulats et des propositions de la « géométrie absolue ». TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

14 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 13 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT POSIDONIUS : École de Rhodes, avant J.-C. A donné une autre définition des parallèles : « Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point ». Le 5 e postulat nest alors plus nécessaire. Mais les parallèles au sens de Posidonius existent-elles ? Autrement dit : le lieu des points équidistants dune droite est- il nécessairement une droite? TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

15 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 14 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT PTOLÉMÉE : École dAlexandrie, après J.-C. Est le premier à donner une démonstration du 5 e postulat. Soient ab et cd des droites parallèles, coupées par une transversale fg. Alors af et cg sont aussi parallèles que fb et gd. Donc si la somme des angles afg et cgf est supérieure à 180°, il en est de même de la somme bfg+fgd. De la même façon, si afg+cgf < 180° alors bfg+fgd < 180°. Dans les deux cas, on arrive à une contradiction puisque la somme afg+cgf + bfg+fgd vaut 360°. Quelle est lerreur commise par Ptolémée ? TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

16 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 15 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT PROCLUS : École athénienne, après J.-C. - Est persuadé que le 5 e postulat est un théorème : Cela [le cinquième postulat] doit être absolument rayé des postulats ; car c'est un théorème, qui offre de nombreuses difficultés que Ptolémée s'est proposé d'étudier dans un certain livre, et dont la démonstration exige beaucoup de définitions et de théorèmes. Euclide nous montre d'ailleurs la réciproque de ce postulat comme étant aussi un théorème. [proposition 17]proposition 17 TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

17 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 16 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT PROCLUS : École athénienne, après J.-C. - Est persuadé que le 5 e postulat est un théorème ; - met en évidence lerreur de Ptolémée ; - propose une nouvelle démonstration, dont voici le début : Soient ab et cd deux droites parallèles, et fg une droite qui coupe ab en f. Soit r la distance de ab à cd. Choisissons sur fg un point h dont la distance à ab est supérieure à r, et qui est situé du même coté de ab que cd. A lors f et h sont de part et d'autre de cd, de sorte que fh coupe cd. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

18 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 17 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT PROCLUS : École athénienne, après J.-C. Quelle est lerreur commise par PROCLUS ? La figure ne pourrait-elle pas être celle-ci ? GÉMINIUS (Rhodes, fin du I er siècle) sétait dailleurs déjà posé la question : lhyperbole se rapproche bien de son asymptote sans jamais la couper, alors pourquoi pas deux droites ? TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

19 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 18 Chapitre I : LES ÉLÉMENTS DEUCLIDE LA CONTESTATION DU 5 e POSTULAT AGANIS : VI e siècle après J.-C. Reprend la définition de Posidonius des parallèles (Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point) et il remplace le 5 e postulat par un axiome dexistence de telles parallèles. Il démontre alors que la « distance » de deux droites est la perpendiculaire commune à ces droites. Cela est équivalent au 5 e postulat. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

20 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 19 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AL GAUHUARI : IX e siècle, originaire de Farab. Il utilise implicitement le fait que si les angles A et B sont égaux, alors les angles C et D le sont également. Il démontre alors le 5 e postulat à partir de la possibilité de construire un triangle. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

21 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 20 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AN NAYZIRI : né vers 900, près de Chiraz (Perse) Il continue lœuvre dAganis (1), démontre des propriétés qui sen déduisent, et « retombe » sur la proposition 29 dEuclide. Au cours de cette suite dimplications, An Nayziri prouve quil existe un rectangle.quil existe un rectangle (1) Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une droite équidistante de la première. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

22 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 21 TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE TABIT IBN QURRA : 836, Turquie – 901, Baghdad. Cest un commentateur dEuclide et dArchimède. Dans son ouvrage : « Le livre sur la célèbre démonstration du postulat dEuclide » Il montre quon ne peut pas avoir ces deux figures Mais quon peut avoir celle-ci.

23 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 22 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE TABIT IBN QURRA. Si une sécante coupe deux droites et que celles-ci se rapprochent lune de lautre dun de leurs côtés, alors elles sen écartent lune de lautre de lautre côté ; et leur rapprochement du côté où elles se rapprochent, et leur écartement du côté où elles sécartent, vont en croissant. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

24 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 23 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE TABIT IBN QURRA. Dans son ouvrage : « Le livre montrant que deux droites menées selon deux angles plus petits que deux droits se rencontrent » il définit les parallèles comme des droites équidistantes. Pour prouver lexistence dun rectangle, il lui est nécessaire de faire intervenir le mouvement (cest un disciple dArchimède !), et dadmettre la non modification dune figure au cours dun déplacement.lexistence dun rectangle TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

25 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 24 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE IBN AL HAYTAM AL HAZEN : 836, Bassora – 901, Le Caire. a écrit deux livres : Le livre du commentaire des propositions non démontrées dEuclide Le livre sur les résolutions des doutes soulevés par les Éléments dEuclide. Ibn al-Haytam introduit une nouvelle définition de la droite. Il considère la ligne décrite dans un plan par l'extrémité libre d'une perpendiculaire de longueur constante, menée à une droite donnée, lorsque le pied de la perpendiculaire glisse le long de cette droite. Des considérations vagues, mais très développées, sur « l'égalité et la similitude » de tous les points de la perpendiculaire en mouvement permettent à Ibn al-Haytam de conclure que toutes les trajectoires décrites en même temps par tous les points de la perpendiculaire sont « congruentes » ; il en déduit que la ligne décrite par lextrémité de la perpendiculaire est une droite équidistante de la droite donnée. Adolf P. YOUSSKEVITCH, in Les mathématiques arabes VII e -XV e siècles, Éditions VRIN, Paris, TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

26 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 25 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE IBN AL HAYTAM En réalité, la définition de la page précédente « renferme implicitement » le 5 e postulat. Puis il « démontre » le 5 e postulat en utilisant un quadrilatère à 3 angles droits : Ibn Al Haytam en conclut quil faut supprimer le 5 e postulat de la liste des « demandes », et le remettre – puisquil est démontré – juste avant la proposition 29 où il est utilisé. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

27 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 26 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE Umar al KHAYYAM : , Nashipur, Perse. Son œuvre est restée inconnue jusquen Il a très bien étudié le travail dAn Nayrizi. Il introduit le célèbre quadrilatère dit « de Saccheri », dans lequel il sagit de prouver que les deux angles restants Δ et Γ sont droits : TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

28 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 27 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AL KHAYYAM 1 re étape : On démontre que les deux angles Δ et Γ sont égaux. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

29 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 28 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AL KHAYYAM 2 e étape : On démontre que ΔΖ = ΖΓ, et que ΕΖ est perpendiculaire à ΔΓ. On construit E milieu de AB ; la perpendiculaire en E recoupe ΔΓ en Z TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

30 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 29 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AL KHAYYAM 3 e étape : On démontre que les deux triangles ΓΖΚ et ΔΖΚ sont égaux, doù il sen suit immédiatement que les angles ΖΓΚ et ΖΔΚ sont égaux ainsi que les côtés ΓΚ et ΔΚ, puis les angles ΚΓΘ et ΚΔΗ et les côtés ΓΘ = ΔΗ et ΚΘ = ΚΗ. On prolonge ensuite la droite EZ dune longueur ZK égale à EZ. On mène en K la perpendiculaire à EZ, qui recoupe AΔ et BΓ en H et Θ. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

31 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 30 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AL KHAYYAM 4 e étape : Le « plan Θ » se superpose au « plan Δ » (imaginez un pliage daxe ΔΓ). Si les deux angles H et Θ étaient aigus : on aurait deux droites coupant une troisième selon deux angles droits AΔΗ et ΒΓΘ et qui sécarteraient lune de lautre, ce qui est absurde, daprès Al Khayyam. Si les deux angles H et Θ étaient obtus : même conclusion ! TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

32 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 31 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AL KHAYYAM 4 e étape : Il y aurait alors deux lignes droites coupant une droite selon deux angles droits et dont la distance augmenterait ensuite des deux côtés de cette droite, ce qui est une impossibilité première lorsqu'on se représente le caractère rectiligne d'une droite, et qu'on réalise ce qu'est la distance entre deux droites. Et cest ce dont s'est occupé le philosophe. (Umar Al Khayyam) TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

33 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 32 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE Nasir Ad Din AŢ Ţ USI : , Tus. Traduction des Éléments dEuclide (ici, le théorème de Pythagore) Tahrîr al Majisti (traduction de lAlmageste) TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

34 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 33 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AŢ Ţ USI. Son œuvre, dont « La discussion qui dissipe les doutes relatifs aux droites parallèles » (1251), fut connue en Europe dès Il critique les théories précédentes. Dans sa réfutation de langle aigu et de langle obtus, il nutilise pas les mêmes méthodes que Umar Al Khayyam. Pour démontrer sa 6 e propositionPour démontrer sa 6 e proposition, il utilisera deux nouveaux axiomes : laxiome dArchimède (deux segments inégaux étant donnés, il existe toujours un multiple du plus petit qui surpasse le plus grand) ; un équivalent de laxiome de Pasch (toute droite qui « entre » dans un triangle en « ressort ») TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

35 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 34 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AŢ Ţ USI Ses trois premières propositions sont celles de Umar al- Khayyām Sa 4 e proposition est : « Les côtés opposés dun rectangle sont égaux ». Sa 5 e proposition est : « Deux perpendiculaires à une même droite font avec toute sécante des angles alternes internes égaux ». TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

36 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 35 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE AŢ Ţ USI Sa 6 e proposition est : « Si deux lignes non limitées à leurs extrémités se coupent selon des angles non droits, et si on élève une perpendiculaire sur l'une d'elles, alors cette perpendiculaire, si on la prolonge, coupera l'autre droite sur un de ses côtés, à savoir du côté de l'angle aigu compris entre cette perpendiculaire et la droite coupée par cette perpendiculaire ». TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

37 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 36 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE Muhyi ad-Dīn AL MAGHRIBI : 1220, Espagne – 1283, Iran « Démontre » le 5 e postulat. Son texte commence ainsi :Son texte Soit, par exemple, les droites AB, GD, coupées par la droite AG, qui rend les angles BAG, DGA, moindres que deux droits. Je dis qu'elles se rencontrent si on les prolonge indéfiniment. La preuve de cela : ………….. Le doute concernant la chose demandée est donc levé par la rectification du postulat telle que nous lavons établie. Et se termine ainsi : TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

38 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 37 Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES DEUCLIDE Les travaux sur la théorie des parallèles se poursuivent encore pendant près de deux siècles dans les pays arabes, mais sans que rien de nouveau ne soit découvert. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

39 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 38 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE John WALLIS : , Oxford. Il connaît lœuvre dAt Ţusi ; il est le seul, parmi tous les commentateurs de lépoque, à faire vraiment preuve doriginalité. Il admet le principe fondamental ci-contre, quil ajoute aux postulats dEuclide, en remplacement du 5 e. Pour une figure quelconque, il en existe toujours une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

40 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 39 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE John WALLIS Pour une figure quelconque, il en existe toujours une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable. Laplace et Carnot commentent dailleurs ce principe, lun en 1796, lautre en 1830 : La théorie des parallèles tient à une notion première qui me paraît être à peu près du même ordre de clarté que celle de légalité parfaite ou de la superposition : c'est la notion de similitude. Il me semble que l'on peut regarder comme un principe de première évidence que ce qui existe en grand, comme une boule, une maison, un dessin, peut être fait en petit et réciproquement. (Lazare CARNOT) La proportionnalité est un postulatum bien plus naturel que celui d'Euclide, car elle se retrouve dans les lois de l'attraction tout comme dans celles des forces électriques et magnétiques ; d'ailleurs la simplicité des lois de la nature ne nous permet d'observer et de connaître que des rapports. (Marquis Simon de LAPLACE) TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

41 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 40 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE John WALLIS Démonstration du 5 e postulat : Ne cherchez pas à tout lire, cest dans les documents, cest dans les documents et je vais vous expliquer !!! TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

42 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 41 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE John WALLIS Démonstration du 5 e postulat : La droite CD peut-elle rester entièrement à lintérieur de langle CAB ? TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

43 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 42 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE André-Marie LEGENDRE. Paris, De 1794 à 1823, il publie de nombreuses éditions de ses Éléments de Géométrie, utilisés dans lenseignement. De la 1 re à la 8 e édition, il démontre deux propositions, qui lui permettent déviter le 5 e postulat : Proposition XIX : « La somme des angles dun triangle ne peut être plus grande que deux droits ». Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». La première de ces propositions ne comporte aucune erreur. Dailleurs GAUSS la reprendra plus tard… TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

44 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 43 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE LEGENDRE Voici la démonstration de Gauss : La démonstration selon laquelle la somme des 3 angles dun triangle ne peut pas être supérieure à 180° doit être menée ainsi, indépendamment du 11 e axiome (5 e postulat). Supposons que A+B+C>180°. On prolonge AB à linfini et on reprend le triangle précédent, ceci étant lhypothèse. CBE < ACB donc CE < AB (Éléments I.24). Éléments I.24 De même pour EG = CE etc.…On en conclut facilement quen reproduisant le triangle suffisamment souvent, la ligne droite AM est plus longue que la ligne brisée ACEG…NM, et ainsi la contradiction est facile à démontrer. Une reproduction de n fois suffit quand AC + CB – AB < n(AB – CE). TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

45 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 44 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE LEGENDRE Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». Par contre, la démonstration de cette proposition XX comporte une erreur : il utilise implicitement la propriété Par un point situé à lintérieur dun angle, il existe toujours une droite qui rencontre les deux côtés de langle. Ayant décelé son erreur, il « remet » le 5 e postulat dans les 9 e, 10 e et 11 e éditions de ses Éléments de Géométrie. Ne cherchez pas à tout lire, cest dans les documents !!! cest dans les documents TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

46 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 45 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE LEGENDRE Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». A partir de la 12 e édition, il trouve une nouvelle démonstrationnouvelle démonstration de cette proposition… …et ça continue ! … TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

47 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 46 Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS DEUCLIDE LEGENDRE Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». Il trouve une nouvelle démonstration de cette proposition… qui grosso modo est ceci : Bien entendu, comme vous vous en doutez, il y a une erreur… Sinon le 5 e postulat dEuclide serait démontré ! TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

48 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 47 Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES Giovanni Girolamo SACCHERI : Il connaît lœuvre dAt-Ţusi … et la critique : il publie en 1733 Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide lavé de toute tache) Il utilise le quadrilatère de Umar Al-Khayyam (à lépoque inconnu), et fait explicitement les trois hypothèses : angles droits, obtus ou aigus. Puisque la droite qui joint les extrémités de deux droites égales perpendiculaires à une même droite (que nous appellerons base) fait des angles égaux avec ces perpendiculaires, il y a par conséquent trois hypothèses à distinguer selon la nature de ces angles. Et j'appellerai la première, hypothèse de l'angle droit, la seconde, hypothèse de l'angle obtus, et la troisième, hypothèse de l'angle aigu. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

49 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 48 Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES SACCHERI. Lhypothèse de langle obtus : Jointe à la proposition XVI dEuclide, elle prouve le 5 e postulat. Doù une contradiction : Γ + Δ > 2 droits (hypothèse) et Γ + Δ = 2 droits (Euclide). Cette hypothèse est donc « éliminée ». TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

50 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 49 Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES Lhypothèse de langle aigu : Saccheri en déduit toutes sortes de conséquences, et en particulier les deux théorèmes suivants : Premier théorème : « Deux droites sont : soit sécantes ; soit admettent une perpendiculaire commune, et alors elles « divergent » ; soit elles sont « asymptotes » lune de lautre ». Second théorème : « Deux droites parallèles peuvent ne pas avoir de perpendiculaire commune ». SACCHERI. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

51 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 50 Deux droites sont : soit sécantes ; soit admettent une perpendiculaire commune, et alors elles « divergent » ; soit elles sont « asymptotes » lune de lautre. Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES SACCHERI. Finalement… Lien vers Lobatchevski, proposition 16 TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Il craque ! « Lhypothèse de langle aigu est absolument fausse, car elle répugne à la nature même de la ligne droite »

52 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 51 Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES LAMBERT : , alsacien. Il connaît les travaux de Saccheri, mais préfère reprendre le quadrilatère dIbn al Haytam. Comme Saccheri, il démontre que : angle obtus 5 e postulat angle droit (doù la contradiction). Mais, au cours de sa démonstration, il prouve quelque chose de remarquable relatif à la somme des angles dun triangle : « lexcès du triangle », cest-à-dire la somme des angles diminuée de deux droits, est proportionnel à son aire. De même, dans lhypothèse de langle aigu, le « défaut du triangle », cest à dire deux droits moins la somme des trois angles, est proportionnel à son aire. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

53 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 52 Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES LAMBERT. La conséquence de cette propriété est fondamentale : deux triangles qui ont des angles égaux sont égaux ; il nexiste donc pas de triangles semblables. Connaissant lœuvre de Wallis, sa curiosité est excitée ! Lambert pense que cette géométrie correspond à une sphère de rayon imaginaire : Il démontre alors le théorème suivant (toujours dans le cas de lhypothèse de langle aigu) : « Lensemble des points équidistants dune droite donnée nest pas nécessairement une droite ». Je suis enclin à penser que l'hypothèse de l'angle aigu est valable sur quelque sphère imaginaire. Il doit tout de même bien avoir une raison pour laquelle il est si difficile de la réfuter dans le plan. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

54 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 53 Il craque ! Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES Finalement… Mais comme tout le monde à lépoque, de philosophie Kantienne : les axiomes de la géométrie doivent être le reflet des propriétés de lespace sensible… TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

55 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 54 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Il y a, au début du 19 e siècle, deux tendances chez les mathématiciens : ceux qui renoncent à soccuper de ce problème du 5 e postulat ; ceux qui ont la conviction que le 5 e postulat est indémontrable, et quon pourrait tout aussi bien le remplacer par son contraire (et on aurait alors une géométrie « imaginaire », on disait même à lépoque « stellaire »).

56 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 55 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) Jànos BOLYAÏ , Hongrie. Je t'en supplie, garde-toi de tenter toi aussi de venir à bout de la théorie des parallèles. Tu y perdras tout ton temps ; mais tant que vous êtes, vous narriverez pas à démontrer cette proposition. Ne cherche pas à avoir raison de cette théorie, ni par le procédé que tu me communiques, ni par aucun autre. J'ai exploré à fond toutes les voies possibles : je n'ai pas laissé une seule idée sans l'étudier. J'ai traversé cette nuit noire, et j'y ai enseveli toutes les joies de ma vie. Pour l'amour de Dieu, je t'en supplie, abandonne ce thème, crains-le autant que les passions, car il peut te dérober tout ton temps, ta santé, ta tranquillité, tout le bonheur de ta vie... Lettre de Farkas BOLYAI à son fils János, 1820 Officier de larmée autrichienne, en retraite à 31 ans. Jusquà 18 ans, il a tenté de démonter le 5 e postulat : ce problème le passionne, et il ne tient aucun compte des conseils de son père Farkas BOLYAÏ : TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

57 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 56 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) BOLYAÏ. En 1825, il avait établi la plupart des principes de sa géométrie (non euclidienne), mais a attendu 1832 pour les publier, sous le titre « Science absolue de lEspace » (en annexe dun ouvrage de son père, « Tentamen »). Il a ainsi été devancé par Lobatchevski (qui a publié en 1829), mais lopuscule de ce dernier était à lépoque resté totalement confidentiel. En exemple, un des théorèmes de sa géométrie : On mène par Q la parallèle à une droite D. Langle α nest fonction que de la distance r = PQ ; on lappellera « angle de parallélisme ». TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

58 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 57 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) BOLYAÏ.Voici la réaction de Gauss à cette publication … réaction qui na pas enchanté Bolyai !... Parlons maintenant un peu du travail de ton fils. Si je commence en disant que je ne puis louer ce travail, tu pourras bien un instant reculer d'étonnement ; mais je ne puis dire autre chose ; le louer serait me louer moi- même ; en effet, le contenu tout entier de l'Ouvrage, la voie qu'a frayée ton fils, les résultats auxquels il a été conduit, coïncident presque entièrement avec mes propres méditations qui ont occupé en partie mon esprit depuis déjà trente à trente-cinq ans. Aussi ai-je été complètement stupéfait. Quant à mon travail personnel, dont d'ailleurs j'ai confié peu de chose jusqu'ici au papier, mon intention était de n'en rien laisser publier de mon vivant. En effet, la plupart des hommes n'ont pas l'esprit juste sur les questions dont il s'agit, et j'ai trouvé seulement bien peu d'entre eux qui prissent un intérêt particulier à ce que je leur ai communiqué à ce sujet. Pour pouvoir prendre cet intérêt, il faut d'abord avoir senti bien vivement ce qui fait essentiellement défaut, et sur ces matières la plupart des hommes sont dans une obscurité complète. C'était, au contraire, mon idée de mettre, avec le temps, tout ceci par écrit afin qu'au moins cela ne périsse pas avec moi. Aussi est-ce pour moi une agréable surprise de voir que cette peine peut maintenant m'être épargnée, et je suis rempli d'une joie extrême que ce soit précisément le fils de mon vieil ami qui m'ait devancé d'une manière si remarquable. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

59 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 58 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) Karl Friedrich GAUSS : Brunswick, 1777-Göttingen, Il sintéresse à cette géométrie depuis lâge de 15 ans. On en trouve trace dans ses lettres à Farkas Bolyai, Gerling, Schumacher, Taurinus, Bessel, etc.ses lettres Un exemple : L'hypothèse selon laquelle la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180° conduit à une géométrie complètement différente de la nôtre ; une géométrie tout à fait consistante que j'ai développée pour moi-même (...) Tous mes efforts pour trouver une contradiction ont été vains (...) Considérez ceci comme une communication privée dont aucun usage public ne doit être fait. Lettre de K. F. GAUSS à Franz TAURINUS, 1824 TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

60 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 59 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) GAUSS. Mais il ne publiera rien, nenseignera rien : Je crains la clameur des béotiens si je voulais exprimer mes vues sur cette étrange géométrie, tout à fait différente de la nôtre. Lettre de K. F. GAUSS à Friedrich BESSEL, 1824 TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

61 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 60 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) Nicolas LOBATCHEVSKI : Après avoir étudié de très près les preuves de Legendre, il publie ses propres résultats en 1829 dans une revue très confidentielle, « le Messager de Kazan ».il publie Voici ce quil dit de Legendre : Je compte parmi [les] points défectueux (…) l'importante lacune que présente la théorie des parallèles, et que les travaux des géomètres n'ont encore pu combler. Les efforts de Legendre n'ont rien ajouté à cette théorie, cet auteur ayant été forcé de quitter la voie du raisonnement rigoureux pour se jeter dans des considérations détournées, et de recourir à des principes qu'il cherche, sans raison suffisante, à faire passer pour des axiomes nécessaires. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

62 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 61 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) Après avoir étudié de très près les preuves de Legendre, il publie ses propres résultats en 1829 dans une revue très confidentielle, « le Messager de Kazan ».il publie Son idée est la suivante : En réalité, il commence là où Saccheri bloquait, en le posant comme postulat a priori.là où Saccheri bloquait Il démontre toute une liste de théorèmes dont la fameuse proposition 16, correspondant à la figure ci-dessus. LOBATCHEVSKI. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

63 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 62 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) LOBATCHEVSKI. Toutes les droites tracées par un même point dans un plan peuvent se distribuer, par rapport à une droite donnée de ce plan, en deux classes, savoir : en droites qui coupent la droite donnée, et en droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée. TABLE DES MATIERES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstration Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPEENS : Wallis Legendre 4. PRECURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODELES Poincaré Autres TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

64 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 63 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) LOBATCHEVSKI. Voici encore quelques autres théorèmes : Théorème 19 Dans tout triangle rectiligne, la somme des trois angles ne peut surpasser deux droits. Théorème 22 Si deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles, la somme des angles quelconques d'un triangle rectiligne sera égale à. Théorème 24 Si on prolonge de plus en plus loin deux lignes parallèles dans le sens de leur parallélisme, elles s'approcheront de plus en plus l'une de l'autre. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

65 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 64 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) LOBATCHEVSKI. Voici ce qua écrit Gauss à Schumacher, à propos des travaux de Lobatchevski : J'ai eu dernièrement occasion de relire l'opuscule de Lobatschewsky, intitulé : Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelenlinien. Cet opuscule contient les éléments de la géométrie qui devrait exister, et dont le développement formerait un enchainement rigoureux, si la géométrie euclidienne n'était pas vraie. Un certain Schweikardt a donné à cette géométrie le nom de géométrie astrale, Lobatschewsky celui de géométrie imaginaire. Vous savez que depuis cinquante-quatre ans (depuis 1792) je partage les mêmes convictions, sans parler ici de certains développements qu'ont reçues, depuis, mes idées sur ce sujet. Je n'ai donc trouvé dans l'ouvrage de Lobatschewsky aucun fait nouveau pour moi ; mais l'exposition est toute différente de celle que j'avais projetée, et l'auteur a traité la matière de main de maître et avec le véritable esprit géométrique. Je crois devoir appeler votre attention sur ce livre, dont la lecture ne peut manquer de vous causer le plus vif plaisir. Göttingen, 28 novembre TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

66 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 65 Chapitre V : LES « 30 GLORIEUSES » ( ) Les travaux de Lobatchevski nintéressent alors plus les mathématiciens : cest la FIN dun grand problème. Ce nest quaprès 1860 que les idées de Bolyaï- Lobatchevski se répandent, notamment en France, grâce à un livre de Jules HOUËL qui comprend : la traduction des études géométriques de Lobatchevski ; la correspondance de Gauss ; la traduction du chapitre annexe (Appendix) de János Bolyaï. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

67 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 66 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES LES MODÈLES DE POINCARÉ (1854, Nancy – 1912, Paris) Découverts en 1890, postérieurement aux modèles de Beltrami (1869) et de Klein (1871) [cf. infra], ce sont cependant les plus simples à comprendre. Il sagit de modèles euclidiens des propriétés de la géométrie non euclidienne. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

68 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 67 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES 1 er modèle de POINCARÉ Les droites sont des demi-cercles (ou demi-droites) orthogonaux à la droite de linfini : Un cercle reste un cercle. Les angles sont conservés. Les isométries de cette géométrie sont les inversions euclidiennes (par rapport à un cercle centré sur la droite de linfini). TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

69 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 68 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES 1 er modèle de POINCARÉ Sur la figure ci-dessous, deux « triangles » à côtés deux à deux parallèles : Les voyez-vous « semblables » ? TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

70 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 69 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES 2 e modèle de POINCARÉ (rappel de la figure de Lobatchevski) TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Il sagit du modèle précédent auquel on a fait subir la transformation de sur le disque unité.

71 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 70 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES Un exemple de pavage du plan par des triangles rectangles 2 e modèle de POINCARÉ TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

72 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 71 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES LES AUTRES MODÈLES : BELTRAMI, 1869 (Eugénio BELTRAMI : Crémone, 1835 – Rome, 1900) Publié en 1869, il est plus difficile à représenter. Il nécessite des tracés sur la pseudo-sphère engendrée par la rotation dune tractrice autour de laxe Ox. La tractrice est la solution de léquation différentielle TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

73 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 72 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES BELTRAMI. Mais BELTRAMI est surtout connu pour sa preuve de la consistance de la géométrie : il a prouvé que si la géométrie non euclidienne aboutissait à une contradiction, alors la même contradiction se retrouverait dans la géométrie euclidienne. On dit que ces deux géométries ont la même valeur logique. À ce sujet, lire le texte de G. Lelièvre TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

74 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 73 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES LES AUTRES MODÈLES : KLEIN, 1871 Félix KLEIN, Düsseldorf, 1849 – Göttingen, 1925 Il travaille sur la nappe dhyperboloïde déquation quil nest pas possible de représenter ici ! TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

75 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 74 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES KLEIN. Félix Klein a également fait, suite aux travaux de RIEMANN sur les surfaces, une classification des géométries : La théorie de la relativité générale dEinstein montre que lunivers nest pas euclidien. Par contre, sa géométrie nest pas encore définie : si elle est elliptique, lunivers est fini ; si elle est hyperbolique, lunivers est infini. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

76 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 75 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES Dans la géométrie du globe terrestre, les « droites » y sont les grands cercles (ou géodésiques). Et pourtant cette géométrie ne fait pas partie de la classification ci- dessus. Dans tout « triangle », la somme des angles y est bien supérieure à deux droits. Et deux triangles ayant des angles égaux y sont égaux (ils ne peuvent pas être « semblables »)… TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

77 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 76 Chapitre VI : LES MODÈLES DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES … Par contre, le 6 e postulat dEuclide (Deux droites ne renferment point un espace) ny est pas vérifié. … Et par un point du globe il ne passe aucune « droite » (grand cercle) qui ne coupe pas une droite donnée : les parallèles nexistent pas. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

78 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 77 EN GUISE DE CONCLUSION… Que doit-on penser de cette question : La géométrie euclidienne est-elle vraie ? Elle na aucun sens. Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie quune autre ; elle peut seulement être plus commode. » À ce sujet, lire le texte de G. Lelièvre H. Poincaré, La science et lhypothèse, chapitre 3, « Les géométries non euclidiennes » TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS DEUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres

79 Jacques VERDIER. BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 78 Jacques VERDIER, Besançon 2007 FIN


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