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1 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) et sa célèbre transformée J. Le Roux, - Historique - Les points fondamentaux - Applications.

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1 1 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) et sa célèbre transformée J. Le Roux, - Historique - Les points fondamentaux - Applications monodimensionnelles - signaux temporels - fonctions de transfert - radiodiffusion, transmissions - sons - Applications multidimensionnelles - images - propagation dondes interférométrie, holographie - imagerie médicale - Tomographie X - Imagerie RMN

2 (21 Mars) Naissance à Auxerre Famille modeste, très doué 1793 Comité Révolutionnaire 1794 Ecole Normale, Ecole Centrale (Polytechnique) 1798 Campagne d Egypte avec Bonaparte, Monge (excellent organisateur) 1801 Retour à Polytechnique 1802 Nommé préfet de lIsère (Champollion) commence (?) à travailler sur la propagation de la chaleur mal reçu par la communauté scientifique (na pas cité le travail de Jean Baptiste Biot...) 1810 Ouvrage : Description de l Egypte 1811 Prix (mitigé) pour son travail sur la propagation de la chaleur; le manuscrit nest pas publié 1815 Préfet à Lyon, retour à Paris (évite Napoléon au retour de lîle d Elbe) 1817 Académie des sciences 1822 Secrétaire de lAcadémie des sciences; Publication de la théorie analytique de la chaleur 1830 (16 Mai ?) Décès à Paris J. Dhombes, J. B. Robert, Fourier, créateur de la physique-mathématique Ed. Belin, 1998 home.nordnet.fr/~ajuhel/Fourier/Fourier.html

3 3 Résoudre une équation aux dérivées partielles : trouver v(x,y) satisfaisant et des conditions aux limites Lidée : décomposer la fonction en une somme de sinusoïdes Comment trouver les ? Orthogonalité entre fonctions Le problème étudié par J. B. Fourier (série de Fourier)

4 4 Mathématiques un dépaysement soudain JP Bourguignon et al. Fondation Cartier Paris Oct. 2011

5 5

6 6 Transformée de Fourier Laplace Transformée Inverse Extension aux signaux échantillonnés Extension aux signaux multidimensionnels (images, 3D,etc..) 1965: Invention de la transformée de Fourier rapide Cooley, Tukey, IBM Les travaux qui sen déduisent

7 7 LA propriété fondamentale Système linéaire invariant en temps EntréeSortie Convolution Une sinusoïde reste une sinusoïde de même fréquence, même si son amplitude et sa phase sont modifiées Transformée de Fourier

8 8 Applications Transmissions analogiques et numériques Equations différentielles et filtrage Analyse en fréquence des sons, de la musique (cf. cochlée) MP3= analyse de Fourier + filtrage numérique Analyse, synthèse et reconnaissance de la parole Identification des caractéristiques dun système linéaire par exemple suppression d échos, sismographie signaux biologiques déformés Signaux temporels (liste non exhaustive) Interprétation de l échantillonnage des signaux en vue du traitement numérique Nouveaux procédés de radiodiffusion et télédiffusion numérique (OFDM)

9 9 Filtrage, annulation d écho, etc... : déformation linéaire par un canal de transmission Une composante sinusoïdale est amplifiée et déphasée différemment suivant la fréquence : trouver cette déformation et la compenser visutXPH() visutXR() visutXR() Fréquence Atténuation Fréquence Déphasage

10 10 Modulation d amplitude = translation en fréquence exemple en communication numérique timex1() timex1() timex2() frequenceXX1() frequenceXX2() timey1() frequenceYY1()frequenceYY1() timey2() frequenceYY2() timeys() frequenceYYS() timeyrec1() frequenceYYR1() frequenceYYR1() timeyrec2() frequenceYYR2() timeyr1() frequenceYYRT1() timeyr2() frequenceYYRT2() Bande de base modulation Addition, transmission démodulation filtrage temps fréquence temps fréquence

11 11 timex1() timex2() Echantillonner un signal au pas absctx() abscty() cest périodiser sa transformée de Fourier nfreqvisX() nfreqvisY() Pour un échantillonnage correct, pas de composantes fréquentielles pour Reconstruire le signal, cest éliminer les hautes fréquences par filtrage passe bas Interprétation de léchantillonnage

12 12 Analyse de l amplitude des composantes d un signal vocal t t Unité=125 s Signal temporelReprésentation en fréquence 8000Hz4000Hz Fondamentale à 129 Hz Hz harmoniques (composantes aux fréquences multiples de la fondamentale)

13 13 Données pour la reconnaissance de parole : mesure de lénergie dans une vingtaine de bandes de fréquences (échelle mél) Hz

14 14 dorémifasolla sido ré mi fa sol la si do fa# Tableau montrant pour quelles notes de la gamme à 12 demi-tons, les harmoniques sont elles aussi des notes de la gamme (à peu près) : accord majeur = harmoniques 3 et 5 la H5 du fa est le la (H3 du ré) : accord mineur ? ré fa# la (ré fa la)

15 15 notes jouées par un violon temps fréquence harmonique 8

16 16 Représentation de l intensité d un signal (gris ou couleur) en fonction du temps et de la fréquence (spectrogramme) Temps (1s) temps Freq.(8kHz) Freq.

17 17 Représentation temps fréquence: cri de chauve-souris (ultrasons) fréquence temps

18 18 effet doppler : le mouvement modifie la fréquence observée échographie doppler circulation sanguine cosmologie Riess, Press & Kirshner (1996), Astrophysical Journal 473, 88

19 19 Codage MP3 Décomposition du signal en différentes bandes de fréquences (filtrage numérique et transformée de Fourier discrète) et prise en compte de phénomènes psycho-acoustiques: suppression ou codage moins fin des composantes fréquentielles moins utiles Quelques applications de la transformée de Fourier discrète Diffusion numérique radio télé : OFDM, wifi Codes correcteurs derreurs de Reed Solomon (transmissions numériques, téléphone mobile, CD…) a : générateur d un corps de Galois (corps fini)

20 20 Filtrage des signaux dans différentes bandes de fréquences T. Fourier Sélection des canaux utiles (effet de masquage 1er codage T. Cos et codage T. Cos et codage T. Cos et codage T. Cos et codage T. Cos et codage Emission des données Principe du codage MP3

21 21 Rôle fondamental de la fréquence en mécanique quantique Les relations de Planck-Einstein établissent un lien entre la fréquence d'une onde lumineuse plane, et l'énergie des photons associés à cette onde : h constante de Planck, fréquence de l'onde

22 22 implémentation de transformées unitaires transformer une fonction de probabilité p(x) associée aux données x à traiter afin de faire apparaître une deuxième fonction de probabilité présentant des pics prononcés mettant en évidence la solution du problème Cryptographie, Casser le code RSA : algorithme de Shor Trouver les facteurs premiers dun nombre Ramené à la recherche de la périodicité dune fonction : Mise en évidence de pics régulièrement espacés dans la transformée de Fourier (c est une transformée unitaire) Dans le domaine des fréquences Harmoniques d une fréquence fondamentale H |0> H UU |u> Informatique Quantique :

23 23 La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256

24 24 Interférométrie et spectroscopie

25 25 La%20spectroscopie%20infrarouge%20%E0%20transform%E9e%20de%20Fourier.ppt#256

26 26 D. A. Naylor et al « Mach-Zehnder Fourier transform spectrometer for astronomical spectroscopy at submillimeter wavelengths ».

27 27 Résultat de l analyse spectrale d un signal RMN (résonance magnétique nucléaire) pour une molécule d alcool éthylique

28 28 détection dexo planètes par mesure de variation de la vitesse radiale dune étoile (effet doppler : variation de longueur donde de la lumière en fonction de la vitesse) : recherche dun signal périodique en présence dun bruit de mesure très important effet doppler, décalage vers le rouge, expansion de lunivers

29 29 Recherche de traces de vie extraterrestre corrélation de deux analyses spectrales Interférométrie et spectroscopiemouvement périodique de planète (effet doppler)

30 30

31 31 Infrared spectroscopy for food quality analysis and control Par Da-Wen Sun

32 32 Fonctions multidimensionnelles (images) Propagation dondes, interférométrie Traitement dimages Tomographie par rayons x Imagerie par résonance magnétique nucléaire (Optique de Fourier) Cristallographie, analyse des structures moléculaires

33 33 sinusoïde bidimensionnelle caractérisée par sa direction et la période des oscillations dans cette direction

34 34 Traitement d antennes : Retrouver par un réseau de capteurs (antenne) la direction de propagation des ondes sonores ou électromagnétiques

35 35 Traitement d images par exemple franges de Fraunhofer, disque d airy Convolution de l image avec la transformée de Fourier de l ouverture du télescope coupe Produit dans le domaine des fréquences Convolution dans le domaine spatial

36 36 Quelques exemples de traitement Correction deffet de flou, de bougé Mise en évidence des contours (Amplification des hautes fréquences c est à dire des variations rapides) Codage dimages JPEG et MPEG (une variante de la transformée de Fourier, la transformée en cosinus) + élimination ou codage plus sommaire des hautes fréquences

37 37 Filtrage des bruits ( par exemple lorsque le signal intéressant est dans les basses fréquences)

38 38 FILTRAGE PASSE BAS (FLOU)

39 39 FILTRAGE PASSE HAUT (CONTOURS)

40 40 Transformée en cosinus et réduction de débit en transmission d images JPEG MPEG

41 41 Chebyshev and Fourier Spectral Methods John P. Boyd University of Michigan Étude des équations aux dérivées partielles Décomposition des fonctions étudiées sur une base, par exemple des sinusoïdes multidimensionnelles ; Trouver lamplitude de chaque composante afin dapprocher au mieux la solution de léquation

42 42 Electromagnétisme, optique ondulatoire l onde transmise porte la transformée 2D de la source (équations de Maxwell) Application en interférométrie et en holographie (Analyse des appareils d optique p.ex. lentilles, optique de Fourier) (mécanique quantique)

43 43 Holographie = Enregistrement des interférences formalisation liée à celle de la transformée de Fourier (propagation des ondes lumineuses)

44 44 enregistrement des franges dinterférence éclairage de lhologramme lobservateur, en regardant les franges voit « lobjet »

45 45 Interférométrie en imagerie astronomique Antoine Labeyrie au plateau de Calern Télescopes de l ESO à La Silla au Chili Mesure de l amplitude et de la phase des interférences F( ) distance = fréquence = Déplacement des télescopes: Modification de Transformée de Fourier inverse f(x) Problème : turbulence atmosphérique faire interférer les signaux provenant de deux télescopes Limitation du diamètre

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47 47 Observatoire de Paris (LESIA) interféromètre IOTA (Arizona) surface de l'étoile supergéante rouge Bételgeuse

48 48 Cristallographie Un motif de diffraction des rayons X par un cristal est une photographie du module de la transformée de Fourier de la distribution de la densité des électrons dans le cristal; on retrouve des informations sur la structure du cristal en effectuant une transformée inverse

49 49 Transformée de Fourier

50 50 élément pour létude de la structure des protéines

51 51 Tomographie Reconstruire un objet à deux dimensions à partir de ses projections

52 52 LES VUES SOUS DES ANGLES DIFFERENTS DOBJETS TRANSLUCIDES PERMETTENT DE RECONSTRUIRE LEURS VOLUMES

53 53 Tomographie : formulation dans le domaine spatial Dans le domaine des fréquences Transformée de Fourier mono-dimensionnelle de On reconstruit F(u,v) à partir de pour différentes valeurs de Puis on effectue une transformée inverse

54 54 Tomographie

55 55

56 56 Résonance magnétique nucléaire Champ magnétique: Faible aimantation du noyau Possibilité dutiliser les phénomène de résonance A. Champ magnétique fixe B + champ tournant à la fréquence B. Evolution libre, retour à l équilibre Décroissance exponentielle oscillante de l aimantation (~100ms) mesurée par une antenne La fréquence des oscillations (quelques Hz) dépend de B (Onde radiofréquence 20 à 50 MHz)

57 visut rep 1000 visut rep 1000 B fort visut rep visut rep 1000 B faible Imagerie par RMN On choisit B(x,y,z) fonction linaire de la position, variable d une mesure à l autre Le signal capté par une antenne est avec Fréquence du retour à léquilibre (exponentielle amortie) de lordre du Hz

58 58 t fixé : une valeur de la transformée de Fourier tridimensionnelle (t varie: valeur suivant un axe : même formulation que la tomographie) Une image ou un volume complet : plusieurs mesures avec des directions de gradient différentes Variation linéaire du champ fixe dans lespace x y B Imagerie par RMN Reconstruction par transformée inverse (précision du mm) Quantité de molécules dhydrogène dans le volume dxdydz

59 59 Image rmn

60 60

61 61 image irm de diffusion de molécules deau (le long des axones)

62 62 Conclusion Vaste champ d application Grâce au traitement numérique Grâce à l invention de la transformée de Fourier rapide Importance des systèmes linéaires invariants et de leur effet sur les signaux sinusoïdaux Orthogonalité des fonctions sinusoïdales Du point de vue mathématique + la théorie des distributions (en particulier la distribution de Dirac) Copie des transparents:


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