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1 Quaternions et algèbres géométriques de nouveaux outils pour les images numériques couleur 13 Décembre 2007 Patrice Denis Direction : Christine Fernandez-Maloigne.

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1 1 Quaternions et algèbres géométriques de nouveaux outils pour les images numériques couleur 13 Décembre 2007 Patrice Denis Direction : Christine Fernandez-Maloigne Philippe Carré

2 Problématique Formalisme mathématique pour les images couleur 2

3 Problématique Traitement des images numériques couleur 2 grandes méthodes : – traitements en niveaux de gris marginalement sur 3 composantes ; problème : apparition de fausses couleurs 3 image originaleouverture marginale ( taille 7 )

4 Problématique Traitement des images numériques couleur 2 grandes méthodes : – traitements vectoriels : besoin définition de relations dordre entre couleurs 4 c1c2c3 c4c5c6 c7c8c9 problème : ordre total nexiste pas Exemple (couleurs en rvb) : -c1 = (255,0,30) -c2 = (255,30,0) C1C2C3C4C5C6C7C8C9 filtre médian vectoriel c2 c1

5 5 Objectifs 2 objectifs de manipulation des images couleur – analyse : transformée de Fourier – traitement : manipulation par filtrage spatial 2 représentations algébriques permettant de modéliser les couleurs : – Quaternions – Algèbres géométriques

6 6 Plan Problématique Définitions et généralités sur les quaternions et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

7 Quaternions - vocabulaire Quaternion : q = a + b i + c j + d k R(q) = a : partie réelle I(q) = b i + c j + d k : partie imaginaire q = a – b i – c j – d k : conjugué |q| = : module groupe des quaternions purs : groupe des quaternions unitaires : 7 ¯

8 Quaternions - représentations Cartésienne : [Hamilton] q = a + b i + c j + d k Vectorielle : q = S(q) + V(q) Idée : une couleur = un vecteur de R 3 image codée sur les 3 parties imaginaires : – f[m,n] = r[m,n] i + v[m,n] j + b[m,n] k [Sangwine] 8 i j k f[m,n] m et n : coordonnées spatiales

9 Quaternions – représentations (2) Symplectique : [Ell] q = q 1 + q 2 μ 2 avec q 1 = a + b μ 1 et q 2 = c + d μ 1 et (1, μ 1, μ 2, μ 1 μ 2 ) une base orthonormée exemple : q[m,n] = q 1 + q 2 μ 2 avec q 1 = a + b μ gris et q 2 = c + d μ gris 9 = + μ gris μ2μ2 μ gris μ 2 q

10 Extension des quaternions Distinction entre : – objets manipulés : couleurs – opérations de manipulations Algèbres géométriques 10 ¯

11 Algèbres géométriques - définition Connues aussi comme « Algèbres de Clifford » Manipuler des entités géométriques, « multivecteur », comme des nombres dune algèbre Exemple dans G 3 : M = e0 + 5 e 1 + e e e dimension représentation base v 1D2D3D

12 Représentation des images couleur Idée : une couleur = un vecteur des R 3 G 3 sur les 3 parties vectorielles : – f[m,n] = r[m,n] e 1 + v[m,n] e 2 + b[m,n] e 3 12 e1e1 e2e2 e3e3 f[m,n] m et n : coordonnées spatiales

13 Algèbres géométriques – vocabulaire 4 produits : interne, externe, scalaire, géométrique Réversion : correspond au conjugué des quaternions Norme Inverse Dualité Propriété des 1-vecteurs : 13

14 14 Objectifs 2 représentations algébriques permettant de modéliser les couleurs : – Quaternions – Algèbres géométriques 2 objectifs de manipulation des images couleur – analyse : transformée de Fourier – traitement local : manipulation par filtrage spatial

15 15 Plan Problématique Définitions et généralités sur les quaternions et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

16 Représentation fréquentielle des images numériques Transformée de Fourier : 16 Signal fréquentiel (2D) Signal spatial (2D) TF

17 Représentation fréquentielle des images numériques Images en niveaux de gris : – Transformée de Fourier quaternionique (TFQ) [Bülow] – Permet : Séparation de linformation suivant les directions horizontales (i) et verticales (j) symétries axiales dans le spectre (horizontale ou verticale) Notion damplitude et de phase instantanées 2D 17

18 Représentation fréquentielle des images numériques Images en niveaux de gris : – Transformée de Fourier utilisant G 3 ou transformée de Fourier Cliffordienne (TFC) [Felsberg] – Permet : Généralisation de la transformée de Bülow également symétries 2D dans le spectre 18

19 Représentation fréquentielle des images numériques Images couleur : – Transformée de Fourier quaternionique [Sangwine et Ell] – Interprétation avec les notions de module, phase et axe 19

20 Représentation fréquentielle des images numériques Représentation exponentielle [Bulow] - Euler : q = |q|e vφ = |q| [cos(φ) + v sin(φ)] – Problème : difficulté dinterprétation de linformation spectrale 20 module de la TFQ TFQ image doriginephase de la TFQ axe de la TFQ |q| vφ

21 Représentation fréquentielle des images numériques – Décomposition sympliciale avec base (1, μ gris, μ 2, μ gris μ 2 ) – Interprétation avec direction = μ gris [Ell & Sangwine] : – Partie parallèle : information de luminosité : phase de la partie luminosité : amplitude – Partie perpendiculaire information chromatique : angle initial de μ 2 : amplitude de la rotation autour de μ 21 μ gris μ2μ2

22 Représentation fréquentielle des images numériques Images couleur – Interprétation avec direction variable – Approche différente 22 Problème Propriétés sur quaternion en entrée ? TFQI entréesortie quaternion qcq quaternion pur « pixel image »

23 Représentation fréquentielle des images numériques 23 Annuler la partie réelle : Propriétés de symétries du spectre : F r [-o,-p] = - F r [o,p] F i [-o,-p] = F i [o,p] F j [-o,-p] = F j [o,p] F k [-o,-p] = F k [o,p] F r la partie réelle du quaternion F F i, F j, F k les parties imaginaires de F Initialisation spectrale sur F[o 0,p 0 ] et F[-o 0,-p 0 ] en respectant les symétries. symétrie anti-hermitienne

24 Représentation fréquentielle des images numériques 1 er cas de figure : exemple : 24 Initialisation composante(s) imaginaire Direction µ de la TFQ quelconque TFQI entrée sortie Variation paire sur composante(s) dinitialisation

25 Représentation fréquentielle des images numériques 2 ie cas de figure : exemple avec e = i, j et k 25 Initialisation composante réelle Direction µ de la TFQ TFQI entrée sortie Variation impaire sur composante(s) fonction(s) de µ

26 Représentation fréquentielle des images numériques 26

27 Bilan quaternions Fourier analyse fréquentielle quaternionique difficile dépend de la direction donnée à la TF de Fourier – direction : axe de gris séparation information chromatique et achromatique – direction quelconque analyse par initialisation spectrale – composante imaginaire : variations paires – composante réelle : variations impaires dépendant de la direction analyse fréquentielle utilisant les algèbres géométriques 27

28 Représentation fréquentielle des images numériques Image couleur codée sur G 2 f[m,n] = r[m,n] e 0 + v[m,n] e 1 + b[m,n] e 2 Transformée de Fourier utilisant G 2 [Brackx] Symétries du spectre – F 1 et F 2 quelconques – F 0 [o,p]=F 0 [-o,-p] – F 12 [o,p] =-F 12 [-o,-p] 28

29 Représentation fréquentielle des images numériques Problème dinterprétation du spectre car la même importance nest pas donnée pour chacune des composantes couleur (grade) 29

30 Représentation fréquentielle des images numériques Image couleur codée sur G 3 f[m,n] = r[m,n] e 1 + v[m,n] e 2 + b[m,n] e 3 Transformée de Fourier utilisant G 3 30

31 Représentation fréquentielle des images numériques 31 Initialisation de lespace fréquentiel sur 2 points F[o 0,p 0 ] et F[-o 0,-p 0 ] en respectant les symétries suivantes: F 0 [-o 0,-p 0 ] = - F 0 [o 0,p 0 ] = F 123 [-o 0,-p 0 ] = F 123 [o 0,p 0 ] = 0 F 1 [-o 0,-p 0 ] = F 1 [o 0,p 0 ] F 2 [-o 0,-p 0 ] = F 2 [o 0,p 0 ] F 3 [-o 0,-p 0 ] = F 3 [o 0,p 0 ] F 23 [-o 0,-p 0 ] = -F 23 [o 0,p 0 ] F 31 [-o 0,-p 0 ] = -F 31 [o 0,p 0 ] F 12 [-o 0,-p 0 ] = -F 12 [o 0,p 0 ] F 0 et F 123 les parties scalaire et pseudo-scalaire du multivecteur F F 1,F 2 et F 3 les parties 1-vectorielles de F F 11,F 23 et F 31 les parties 2-vectorielles de F

32 Représentation fréquentielle des images numériques 32 Initialisation composante(s) 1-vectorielle TFCI entrée sortie Variation paire sur composante(s) dinitialisation Initialisation composante(s) 2-vectorielle TFCI entrée sortie Variation impaire sur composante(s) 1-vectorielle complémentaire 2 cas de figures :

33 Bilan AG Fourier Analyse G 2 impossible Analyse G 3 équivalente approche marginale Application filtrage fréquentiel couleur 33

34 34 Plan Problématique Définitions et généralités sur les quaternions et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

35 Transformations géométriques Un vecteur v de R 3 est représenté par le quaternion pur q ou le 1-vecteur m 35 v1v1 v2v2 v proj v refl v rej Algèbres géométriques Réflexion : Projection : Réjection : Quaternions Réflexion : Projection : Réjection :

36 Transformations géométriques Un vecteur v de R 3 est représenté par le quaternion pur q ou le 1-vecteur m 36 Algèbres géométriques Translation : Rotation : Quaternions Translation : Rotation : v1v1 v2v2 vtvt d2d2 d1d1 v θ/2 v rot d d 1 Λ d 2 θ

37 Quaternions - transformations couleur 37 µ = µ gris : axe des niveaux de gris ν : vecteur de référence pour T = 0° Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L Teinte : T Saturation : S Luminosité : L µ q ν

38 G3 - transformations couleur 38 Teinte : T Saturation : S Luminosité : L µ m ν µ = µ gris : axe des niveaux de gris ν : vecteur de référence pour T = 0° Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L

39 G3 - transformations couleur 39 Teinte : T Saturation : S Luminosité : L µ m ν µ = µ gris : axe des niveaux de gris ν : vecteur de référence pour T = 0° Teinte : T, Saturation : S, et Luminosité : L

40 G3 - transformations couleur Passage de RVB vers TLS Permet deffectuer des transformations couleur de base sur des images. 40

41 G3 - transformations couleur 41 Modification de teinte μ m m m ν T θ avantaprès

42 G3 - transformations couleur 42 Modification de saturation μ m m m ν avantaprès

43 G3 - transformations couleur 43 Modification de luminosité μ αμ m m avantaprès

44 Approches spatiales Traitement des images couleur par filtrage spatial 44

45 q2q2 Détection de contours Approche Sangwine : filtrage de Prewitt sur limage par convolution Q = e µπ/2 = µ µ = µ gris 45 Les deux vecteurs q 1 et q 2 (resp. q 3 et q 4 ) sont éloignés (resp. proches) du point de vue colorimétrique, la somme obtenue (vecteurs oranges) aura une forte (resp. faible) saturation. µq 1 µq1q1 µq 3 µ q 2 +µq 1 µ q4q4 µ q 4 +µq 3 µ q3q3

46 46 Détection de contours [Sangwine] Inconvénient : résultats différents suivant le sens dapplication du filtre Image dorigineImage filtrée

47 Détection de contours 47 Détecteur de Sangwine généralisé Calcul distance vecteur couleur résultat / μ (S 1 et S 2 ) Résultat : gradient quaternionique vectoriel Approche proposée (quaternions) :

48 Détection de contours Inconvénient : non détection des contours achromatiques car approche basée sur différence de saturation 48

49 Détection de contours Inconvénient : non détection des contours achromatiques car approche basée sur différence de saturation 49

50 Détection de contours Approche généralisée à G 3 Amélioration avec produit géométrique : 50

51 Détection de contours Norme de la partie bivectorielle 51

52 Détection de contours Partie scalaire 52

53 Détection de contours Filtrage de Prewitt sur partie scalaire Pondération par la norme de la partie bivectorielle 53

54 Bilan de détection de contours Résumé de la méthode : – Produit géométrique de chaque pixel avec μ gris – Calcul de la norme de la partie bivectorielle – Filtrage de Prewitt sur partie scalaire – Pondération par la norme de la partie bivectorielle – Combinaison avec le gradient de saturation 54

55 Détection de contours Résultats 55

56 Détection de contours comparaison 56 (a)Image originale (b)Méthode marginale (c)Di Zenzo (d)Carron (e)Depuis gradient de saturation quaternionique (f)Depuis gradient géométrique proposé

57 57 Plan Problématique Définitions et généralités sur les quaternions et algèbres géométriques Approches fréquentielles Approches spatiales Conclusions et perspectives

58 Conclusions Caractérisation fréquentielle – Quaternion : TFQ – Influence spectrale Partie réelle : variations suivant direction μ Parties imaginaires : variations indépendantes de μ – AG : TFC G2 incompatibilité avec besoins couleur G3 équivalent traitement marginal 58

59 Conclusions Caractérisation spatiale – Opérations entre espace RVB et représentation Teinte, Saturation et Luminosité – Transformation de base des images couleur – Définition dun schéma de filtrage Basé sur distance de saturation avec quaternions Amélioré avec propriétés du produit géométrique des AG 59

60 Perspectives Association AG et images couleur débutant donc nombreuses perspectives : – Filtrage spatial avec produit géométrique – union, intersection : détection de mouvements, morphologie mathématique couleur ; – extension dimension supérieures,… 60 f 1 [m,n] f 2 [m,n] f 2 [m,n] f 1 [m,n] f 1 [m,n] f 2 [m,n]


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