Ruissellement avec effets de mouillage :

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1 Ruissellement avec effets de mouillage :
LABORATOIRE DE PHYSIQUE ET MÉCANIQUE DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES Ruissellement avec effets de mouillage : GOUTTES ET MÉANDRES SUR UN PLAN INCLINÉ Nolwenn Le Grand-Piteira Thèse de doctorat de l’université

2 Ruissellement et mouillage
Ruissellement de liquides sur solides  formes complexes mal comprises Combinaison d’hydrodynamique avec mouillage  problème délicat Liquide (L) sur solide (S), en présence de gaz (G) = « mouillage » LIQUIDE posé sur solide -> s’étale en film ou FRACTIONNE en gouttelettes Type de mouillage dépend des AFFINITÉS RELATIVES de L avec S et G Mouillage total Mouillage partiel  film  goutte Introduction

3 Mouillage partiel: cas statique - Rappels
Angle de contact statique s donné par loi d’Young En réalité, r,s < s < a,s Hystérésis de mouillage: H= a,s -r,s Goutte devrait dévaler pente si S incliné. Or en réalité, + complexe: goutte reste statique même sur une plaque inclinée Car \theta_s peut prendre valeurs entre \theta_a et \theta_r Filet liquide de biais Force d’accrochage sur substrat (par unité longueur) (cf. méandres) Introduction

4 Mouillage dynamique - Rappels
Divergences Stokes+ approximation de lubrification ( petit) U Gradient pression viscosité Raccordements • =s en h=a~nm, échelle microscopique • macroscopique à l’échelle b~mm Pas de théorie avec hystérésis  s=a,s ou r,s Cox-Voïnov =hx Complexe en dynamique: forces visqueuses qui s’ajoutent b=échelle d’observation Grad p et effets visc s’équilibrent -> tout DV en h->0 Stokes= éq. Pression et visc. Existe d’autres modèles de mouillage (cf. thèse), ms nous contenterons de celui-ci pour l’exposé En réalité, embêtés \theta_s prend plusieurs valeurs, faut mélanger avec l’hystérésis Introduction

5 Plan I Singularité de gouttes sur un plan incliné II Méandres
> pb actuel de formation de pointes > aspect mouillage en plus Structure et stabilité de la singularité ? Podgorski (2001) Lorenceau et al. (2003) Cohen & Nagel (2002) Courrech du Pont & Eggers (2006) II Méandres 1. Mouillage partiel (avec hystérésis) Mouillage total (sans hystérésis) 2 ex d’écoulements complexes quand on mélange mouillage et ruissellement Surprise que singularité alors que fait DV pression capillaire Pb formation pointes motivent beaucoup physiciens: pb de capillarité mais pas de mouillage Attention: entraînement d’air est après la pointe, à plus grande vitesse Goutte s’écoule tout droit et filet en chute libre ne méandre pas Pourquoi pas selon plus grande pente? Pourquoi le filet méandre-t-il ? Morphologie ? Introduction

6 PREMIÈRE PARTIE Singularité à l’arrière de gouttes glissant sur un plan incliné

7 Montage expérimental Ca
Huile silicone sur FC  a,s~50° et r,s~45° Viscosités: =10,0cP cP cP V=6µL Ca varié avec  Ovale Coin Cusp Perlage Mouillage partiel MONTRER SUR SCHEMA où sont les choses présentées Ca( \alpha) -> voir loi dans la thèse ECLAIRAGE adapté rend gouttes noires sur fond clair Ca Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

8 Transition ovale/coin: état de l’art
Idée de Podgorski: analogie avec plaques tirées hors d’un bain Photographie: G. Delon Podgorski (2000), (2001); Blake & Ruschak (1979) Inclinaison évite transition de mouillage vitesse  à LC maintenue à Uc alors que U>Uc Rio et al. (2005) r=0  r=0? Mesures r et a  test de Cox-Voïnov  valeurs de r,s et 9ln(b/a) Regardé qualitativement par Podgorski, aller plus loin et tester quantitativement Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

9 Transition ovale/coin (II)
Mesures macroscopiques des angles: =10,0cP =1040cP =104cP Cox-Voïnov s’ajuste bien et avec mêmes préfacteurs en avancée et reculée (130, 100, 80) Cox = ajustement avec nombre minimal de paramètres Sont en accord avec b~1mm et a~taille molécules PDMS (1, 20 et 100 nm) Comme \theta_c non nul, loi de Podgorski ne marche pas Ignore l’origine de \theta_c non nul r=c≠0 à la transition en coin c~20°- 25° Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

10 Structure de l’interface en régime de coin
Modèles du coin: selle ou cône? Ben Amar et al. (2003); Limat & Stone (2004) Selle suppose c=0 et cône c≠0 Solutions autosimilaires de l’équation de Stokes + lubrification  testé par mesures de  r et  continus structure autosimilaire =10,0cP Quid de la forme de l’interface? -> 2 modèles qui devraient présenter une différence en vue de côté Admet des solutions autosimilaires Rq: modèle ne contient pas la sélection de phi… Autosimilarité CONFIRMÉE PAR RIO (étude du champ de vitesse) Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

11 Régularisation de la pointe: un « coin rond » (I)
Courbure à la pointe du coin à une échelle de plus en plus petite =10,0cP =104cP =1040cP Avant: visu ne permettait pas de voir coin rond Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

12 Courbure retarde transition de mouillage
Coin rond (II) Pb: U>Ucrit à la pointe, pourtant pas de transition de mouillage (Avec J. Snoeijer) interface parabolique Courbure retarde transition de mouillage EN ACCORD AVEC IDEES DE POD, DEVRAIT PERLER EXPL PAR EFFETS PUREMENT CAPILLAIRES Facteur 2 peut être récupéré en jouant sur CL en prenant 80% r,s Explications: rugosité de surface (Raphael et Golestanian): transition de mouillage décalée par rugosité Subtilités sur le raccord microscopique (\theta=0,8*\theta_r,s à l’échelle a) Nécessité de combiner hydro et hystérésis r,s 80% de r,s Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

13 Prospections au-delà du coin: cusp et perlage
Angles d’ouverture aux transition: =45° pour cusps et =30° pour perlage Seuil de perlage Seuil coin/cusp Collaborations avec J.Eggers, J. Snoeijer et H.A. Stone: seuil de perlage Perlage: déstabilisation de la pointe: frottement visqueux l’emporte sur capillarité Décalage, mais bon seuil Repris solutions autosimilaires+raccordement à la LC -> équation supplémentaire qui donne \phi(Ca) ~25° Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

14 Perspectives: largeur du filet en perlage
Collaborations avec J.Eggers, J. Snoeijer et H.A. Stone: seuil de perlage Ca Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

15 Conclusion sur les gouttes
4 régimes: ovale, coin, cusp, perlant a et r bien décrits par Cox-Voïnov tronquée à r= c Coin: c≠0 à transition ovale/coin (~20°) -> cône Forme autosilmilaire Régularisation de singularité (courbure de LC)  Transition de mouillage retardée en inclinant ligne de contact () ou en se courbant fortement Perlage=probablement Rayleigh-Plateau compliquée par vitesse de descente du ruisselet Etude taille gouttes satellites Travaux en cours sur le cusp et le perlage Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

16 Instabilité de méandrage d’un filet liquide
SECONDE PARTIE Instabilité de méandrage d’un filet liquide Méandres sur une plaque, avec hystérésis Méandres sans hystérésis, en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw

17 Intérêts variés pour les méandres
Géophysique Ingénierie Physique des mousses méandres à surface libre sans érosion rivières méandres de surfactants dans cellule de Hele-Shaw Mime ondulations bords Plateau Rivière Maiandros érosion et dépôt sédiments L’intérêt en ingénierie vient des échangeurs de chaleur Vu 2 et un peu 3 Principalement méandres sur une plaque et quelques résultats seulement entre deux plaques Rivières: cisaillement plus fort à l’extérieur qu’à l’intérieur du virage Drenckhan et al. (2004); Anand & Bejan (1986) Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

18 Motivations pour les méandres sans érosion
Origine de l’instabilité ? Seuil des méandres ? Morphologie ? Études expérimentales qualitatives Culkin (1982); Nakagawa & Scott (1984); Schmuki & Laso (1990) Peu d’études théoriques • Instabilité variqueuse d’un filet droit -> Pas de modélisation satisfaisante des méandres • Très peu de choses sur le seuil Seuil est-ce gouttes/méandres ou droit/méandres? Davis (1980) Bruinsma (1990) Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

19 Montage expérimental Eau distillée sur Mylar (PET)
-> hystérésis: 35° (r,s=35° et a,s=70°) Plaque longue pour voir effets distance à l’injection Mylar: peu de pb électrostatiques / autres plastiques Paramètres de contrôle : Q et  Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

20 Régimes d’écoulement: débit croissant
Q ( fixé) Gouttes Droit Qc1 Méandres stationnaires Qc2 Instable Restabilisation Stationnaires Forme f(Q, ) Stables (=32° Q=1,19mL/s) (=32° Q=2,65mL/s) Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

21 Seuil de méandrage Variations de Qc avec 
Bilan forces selon la normale • Inertie d’entraînement Fi Déstabilisante • Tension de ligne F Stabilisante • Accrochage sur substrat Fh Réactive Seuils d’apparition et disparition ont même forme Condition de méandrage: Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

22 Forces en jeu au seuil Apparition de méandres: rc petit ~mm
Au seuil Fh << (Fi, F) Conservation débit + demi-Poiseuille Demi-Poiseuille dans chaque plan de filet Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

23 Morphologie des méandres: stationnarité
Qd méandres développés, limite inverse: Rc grand (~qq cm) F << (Fi, Fh) Hystérésis retient méandres  forme stationnaire Préfacteur sera vu après Essayer de valider modèle Tester A, \lambda et Rc Demi-Poiseuille + conservation du débit Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

24 Rayon de courbure moyen <Rc>
= loi proposée par modèle où Fi=Fh Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

25 Longueur d’onde moyenne <>
Méandres comme suite de demi-cercles Même loi d’échelle pour Rc et ? Verrons que pas exactement 4 car trajets obliques Rq: pour que Rc et \lambda aient même évolution, faut que parcours obliques et courbes aient la même évolution Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

26 Amplitude moyenne <A> - Loi d’échelle universelle
Résolu pb de morphologie Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

27 Forme globale des méandres
Loi universelle -> grandeurs liées entre elles Arcs de cercles + pentes demi-cercles correction Si  petit: Expérimentalement: Préfacteurs des lois d’échelle de A,  et Rc donnent aussi Pourquoi 17° ? Qu’est-ce qui détermine longueur parcours obliques ? Dit que \lambda = 4Rc mais en fait plus compliqué Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

28 Préfacteur de <Rc>: retour sur le rayon de courbure
Modélisation donne préfacteur de <Rc>: Fi=Fh Portion de cylindre, angle de contact moy=(a,s+r,s)/2 Demi-Poiseuille dans tranches du cylindre > gravité g.sin.sin Maintenant que idée du parcours, -> g effectif -> pouvoir affiner modélisation Dire que f est une facteur dépend que de la géométrie utilisée Accord REMARQUABLE Retrouvé expérimentalement sans paramètre ajustable Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

29 Vitesse moyenne dans les filets
Vitesse tangentielle mesurée par avancée de colorant Vitesse constante le long filet Forte chute de vitesse au seuil Méandre produit pas nouveaux méandres sur lui-même -> structure stable Est-ce que Poiseuille marche bien? Ok en droit Puis chute comprise par réduction de gravité effective due à inclinaison Et toujours OK en méandres si g modif avec sin\phi Modèle de demi-Poiseuille en tranches dans cylindre bien vérifié avec =a,s pour le filet droit =moy=(a,s+r,s)/2 pour méandres et gravité en g.sin.sin Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

30 Hystérésis en débit: décroissance de Q
Régime droit disparaît Forces d’accrochage Fh réactives -> empêchent méandre de redevenir droit -> équilibrent F même si Bifurcation sous-critique Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

31 Bilan Hystérésis en débit dû à l’accrochage (force réactive)
3 forces en jeu: inertie (Fi), tension de ligne (F), accrochage (Fh) (hystérésis) Hystérésis en débit dû à l’accrochage (force réactive) Forme conservée à la décroissance en débit Pas de régime droit compétition inertie/tension de ligne Seuil Forme stationnaire: compétition inertie/accrochage ¿ Méandres possibles sans hystérésis ? Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné

32 Instabilité de méandrage d’un filet liquide
SECONDE PARTIE (II) Instabilité de méandrage d’un filet liquide Méandres sur une plaque, avec hystérésis Méandres sans hystérésis, en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw

33 Montage sans hystérésis de mouillage
Mouillage total pour supprimer hystérésis  étalement en film  plus possible sur un plan  cellule de Hele-Shaw Méandres de surfactants dans cellule de H-S déjà observés Anand & Bejan (1986); Drenckhan et al. (2004) Huile silicone pour s’affranchir de variations de  • =2cP Fait que courbure est inversée qui aspire le liquide et empêche l’étalement • Cellule verticale Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw

34 Méandres d’huiles silicones =2cP
Surfactants non-nécessaires pour obtention de méandres Pas d’hystérésis de mouillage (accrochage) méandres mouvants  vitesse de phase Qseuil=6,5mL/min pas d’hystérésis en débit Expériences à plus haut débit  seuil supérieur de méandrage?  saturation de vphase? Q=10mL/min Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw

35 Seuil de méandrage Équilibre inertie/capillarité
• Prendre vphase en compte: • si vfluide=vphase alors Fi=0 -> un jet tombant ne méandre pas • introduit correction ~7% sur vfluide Écoulement de Poiseuille (vérifié par mesures de la largeur du filet) Améliorable car pris section rectangulaire et pas coupe correcte Seuil théorique à 7,5mL/min (contre 6,5 expérimentalement) Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw

36 Bilan - Perspectives Méandres gouvernés par simple équilibre de forces
Hystérésis nécessaire pour stationnarité des méandres et détermine leur forme Méandres gouvernés par simple équilibre de forces -> inertie, capillarité et éventuellement hystérésis eau sur Mylar eau/glycérol =7cP Étude en viscosité 2cP <  < 10cP dans le cas avec et sans hystérésis Conclusion

37 Perspectives Jet en chute libre méandre pas: doit être confiné dans parcours courbe -> tuyau joue rôle d’accrochage sur substrat Photographie: E. de Langre Gouttes et méandres Jet en chute libre doit être confiné dans son parcours courbe Obstacle au mouvement pour déclencher force centrifuge Eau sur RainX Conclusion

38 MERCI DE VOTRE ATTENTION

39 Seuil gouttes  V > Poids équilibré par frottements visqueux
Études sur seuil de mise en mouvement et vitesse au-delà du seuil Dussan V. (1985) Au-delà seuil Seuil Bilan des forces: V  Pas la peine de dire ce que sont les notations \eta, \gamma, g , etc.. Vitesse réduite > Poids équilibré par frottements visqueux > Décalage provenant de l’hystérésis Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

40 Perlage Dire que nos objectifs sont ici
Voir si \theta_r=0 à la transition en coin Coin = cône ou selle? Aller au delà du coin: PERLAGE Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné

41 Sans pompe

42 Gravité

43 Poiseuille entre deux plaques
Comme pour méandres avec hystérésis: viscosité repousse seuil Augmente largeur des filets Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw

44 Amplitude, longueur d’onde, et vitesse de phase
Vitesse de phase beaucoup plus importante que pour les surfactants Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw