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JOURNEES INTER- ACADEMIQUES NANCY 2009 Entrer par les problèmes en seconde.

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1 JOURNEES INTER- ACADEMIQUES NANCY 2009 Entrer par les problèmes en seconde.

2 Isabelle JACQUES Présentation Raisons et objectifs de cet atelier Moyens Quest-ce quune entrée par les problèmes? Organisation en classe –La démarche dinvestigation –Une méthode : le débat scientifique Des exemples de problèmes

3 Isabelle JACQUES Raisons et Objectifs Une attente des programmes : –Les nouveaux programmes de seconde mettent l'accent sur les problèmes. –Développer lautonomie et lesprit critique des élèves.. –Varier les méthodes : utilisation des TICE, travail en groupe… Une attente des élèves : –« A quoi ça sert? ». Un problème peut permettre de comprendre la nécessité davoir de nouveaux outils. –Résoudre des problèmes concrets. Une attente des enseignants : –Rendre les mathématiques attractives. –Faire des mathématiques autrement. –Ne pas rajouter des « problèmes ». –Gérer lhétérogénéité.

4 Isabelle JACQUES Moyens Transformer des activités classiques dintroduction en problèmes permettant d'aborder des nouvelles notions. Transformer des exercices d'application en problèmes à prise d'initiative. Favoriser des problèmes qui peuvent être résolus de façon différentes (géométrie, analyse, TICE…). Utiliser des problèmes relativement « ouverts ». Organiser un débat dans la classe.

5 Isabelle JACQUES Que peut être une entrée par les problèmes…

6 Isabelle JACQUES Quelques critères Lénoncé est court et facile à comprendre La réponse nest pas évidente Aucune méthode de résolution nest sous entendue Le problème est « ouvert »

7 Isabelle JACQUES Démarche dinvestigation Le choix d'une situation - problème Lappropriation du problème par les élèves La formulation de conjectures, dhypothèses explicatives, de protocoles possibles Linvestigation ou la résolution du problème conduite par les élèves Léchange argumenté autour des propositions élaborées Lacquisition et la structuration des connaissances

8 Isabelle JACQUES Le choix d'une situation - problème Enoncé du problème –Quels pré-requis nécessaires? –Quelle définition, quel théorème pourra être introduit? –La question induit-elle une réponse, une méthode? –Le problème ouvre-t-il suffisamment de portes? –Y a-t-il des prolongations possibles? Consignes aux élèves – Faire des essais, choisir des méthodes différentes, chercher un contre-exemple… Aides à anticiper

9 Isabelle JACQUES Lappropriation du problème par les élèves Vérifier la compréhension de lénoncé. –Reformuler la question. –Traiter un exemple. Phase de recherche personnelle. –Lenseignant peut guider les élèves sans les influencer sur leurs conjectures mais au contraire en aidant à faire naître le questionnement.

10 Isabelle JACQUES La formulation de conjectures, dhypothèses explicatives, de protocoles possibles Les élèves formulent des conjectures et exposent leurs méthodes. Les résultats visiblement faux sont mis en évidence par des contre-exemples. Le problème peut être reformulé.

11 Isabelle JACQUES Léchange argumenté (débat) autour des propositions élaborées Communication des solutions élaborées, des réponses apportées, des résultats obtenus, des interrogations qui demeurent. Confrontation des propositions, débat autour de leur validité, recherche darguments. Cet échange peut se terminer par le constat quil existe plusieurs voies pour parvenir au résultat attendu et par lélaboration collective de preuves. Quand une réponse fait lunanimité un protocole de démonstration si nécessaire est suggéré.

12 Isabelle JACQUES Lacquisition et la structuration des connaissances (Institutionnalisation) Mise en évidence de nouveaux éléments de savoir (notion, technique, méthode) utilisés au cours de la résolution. Reformulation écrite par les élèves, avec laide du professeur, des connaissances nouvelles acquises en fin de séquence.

13 Isabelle JACQUES Phases Présentation du problème Recherche personnelle des élèves Mise en commun (débat) Institutionnalisation

14 Isabelle JACQUES Attitude du professeur Respect des phases et de lordre des phases. Le professeur est linitiateur de la première et de la dernière phase. Pour les deux phases intermédiaires, il doit essayer de rester neutre pour laisser « vivre le faux ».

15 Isabelle JACQUES Un exemple danimation : Le débat scientifique (IREM de Grenoble)

16 Isabelle JACQUES Lélève na pas de responsabilité scientifique en classe. La vérité mathématique est laffaire du professeur et dépend du statut de lénoncé. Quel sens peut avoir un énoncé mathématique si on se prive de le penser soi-même? Pourquoi organiser des débats scientifiques en classe?

17 Isabelle JACQUES Organisation du débat Débat « privé » : temps de réflexion des élèves. Ils peuvent échanger avec leurs voisins. (Le professeur est neutre) Vote : « vrai », « faux », « autre ». Débat « publique » : le professeur organise le tour de parole, inscrit au tableau les arguments en respectant une neutralité stricte. Nouveau vote : « vrai » ou « faux ». Institutionnalisation par le professeur.

18 Isabelle JACQUES Changement de contrat didactique Activité classique : Lélève doit produire une réponse et il na pas la charge de vérifier la pertinence de sa réponse. Le professeur détient la vérité et pose les bonnes questions. Dans le débat scientifique : Lélève peut douter. Se tromper est source de progrès. Le professeur fait vivre le « faux » en classe.

19 Isabelle JACQUES Avantages vécus Le pouvoir du contre-exemple. Lintérêt de démontrer. Les énoncés prennent du sens pour les élèves. La rédaction de lénoncé est importante. Il y a des problème sans solution ou il peut y avoir plusieurs solutions à un problème. Douter est un droit : développement du sens critique.

20 Isabelle JACQUES Quelques problèmes qui peuvent servir dintroduction au programme de seconde pour de nouvelles notions mais aussi pour réinvestir les notions de collège.

21 Isabelle JACQUES Repères Le quadrilatère ABCD ci-dessous a été représenté dans un repère orthonormé qui a disparu. Le retrouver à partir des coordonnées, dans ce repère, des points suivants : A(-4 ;2) B(2 ;-6) C(3 ;6) D(1 ;2)

22 Isabelle JACQUES Conditions nécessaires et suffisantes Théorème de Varignon Peut-on déterminer des conditions (nécessaires, suffisantes, nécessaires et suffisantes) pour que IJKL soit un parallélogramme, un rectangle, un losange, un carré? 22

23 Isabelle JACQUES Les coordonnées dun vecteur Variables x A, y A, x B, y B, x C, y C, x D, y D Entrées Saisir x A, y A, x B, y B, x C, y C, x D, y D Traitement Affecter à x u la valeur (x B - x A ) Affecter à y u la valeur (y B - y A ) Affecter à x v la valeur (x C - x D ) Affecter à y v la valeur (y C - y D ) Sortie Si x U = x V et y U = y V Alors afficher ABCD est un parallélogramme Sinon afficher ABCD n'est pas un parallélogramme Cet algorithme est-il valide ?

24 Isabelle JACQUES Quel est laire du parallélogramme? Trigonométrie Dans un deuxième temps, on rajoute la valeur dun angle.

25 Isabelle JACQUES Le triangle de mesures, 3, 4,5 est rectangle. Existe-t-il dautres triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs? (Développé dans PARI n°20) Calcul algébrique

26 Isabelle JACQUES Variations de fonctions Fonctions polynômes de degré 2 26 Pour fabriquer une boîte (sans couvercle), on découpe un carré de même dimension à chaque coin dune plaque de carton carrée de côté 20 cm. Comment fabriquer une boîte de volume maximal? x 20 cm x …….

27 Isabelle JACQUES Fonctions homographiques Un prix subit une hausse de 15% puis une baisse de 15%, le prix revient-il à sa valeur initiale? De façon générale, à quelle condition un prix qui subit deux évolutions successives peut-il revenir au prix initial?

28 Isabelle JACQUES Comparer Peut-on généraliser ? Calculs sur les racines carrées et identités remarquables

29 Isabelle JACQUES « A la place de calculer le carré d'un nombre, on peut tout aussi bien calculer le produit du suivant de ce nombre et son précédent, car la baisse de l'un est compensé par la hausse de l'autre. Dans les deux cas on obtient le même résultat. » « Est-ce une bonne idée, une idée qui marche? » Identités remarquables

30 Isabelle JACQUES Fonctions linéaires et affines Un vidéoclub propose 3 options de location: Option 1 : 60 dabonnement annuel et 2 par DVD loué. Option 2 : 30 dabonnement annuel et 3 par DVD loué. Option 3 : Pas dabonnement mais 5 par DVD loué. Quelle option choisirais-tu ?

31 Isabelle JACQUES Fonctions affines Au vidéoclub, on peut louer un DVD pour 5. Le gérant veut proposer à ses clients dacheter un abonnement qui permet demprunter chaque DVD à prix réduit. Il souhaite que pour 20 DVD empruntés, le client paie le même prix quelle que soit la formule. Que proposez-vous ?

32 Isabelle JACQUES La boîte, laraignée et la mouche ! Laraignée est à 1 cm du haut en partant du milieu de larête, au point A. La mouche, paralysée de peur, est à 1 cm du fond de la boîte, au point M. Quelle est la longueur du chemin le plus court pour aller de A à M ? (Laraignée ne vole pas ! Elle se déplace uniquement sur les parois de la boîte.) Patrons - Pythagore

33 Isabelle JACQUES Repères - Fonctions affines d Tracer un repère orthonormé dans le cadre ci-dessous dans lequel la droite d représente la fonction affine définie par :

34 Isabelle JACQUES Soit ABC un triangle quelconque, I un point de [BC]. Peut-on construire M sur [AC] tel que laire du triangle IMC soit égale à la moitié de laire du triangle ABC ? A B I C Revoir le théorème de Thalès Prolongement : étude de la fonction

35 Isabelle JACQUES Equation du second degré ABCD est un rectangle, AD = 8 cm et AB = 10 cm. M est un point du segment [AB]. On construit le carré AMEP et le rectangle EGCF. Où placer le point M pour que laire colorée soit égale à laire non colorée.

36 Isabelle JACQUES On désire imprimer une carte carrée (ABCD). On souhaite cependant laisser une marge de 2 cm en haut et en bas de la carte et de 1 cm à gauche et à droite. Quelles doivent être les dimensions de cette carte pour que laire de la surface centrale (FKLM) soit de 8 cm 2, de 12 cm 2 ? Résolution dune équation f(x) =k

37 Isabelle JACQUES Volumes de solides On veut verser la même quantité de liquide dans un verre cylindrique et un verre conique de mêmes diamètres. A quelle hauteur doit-on les remplir?

38 Isabelle JACQUES Systèmes Un fermier se trouve dans sa basse-cour composée de lapins et de canards. Il samuse à compter le nombre de pattes. Il en dénombre 106. Combien y a-t-il de canards et de lapins ? Après une première phase de recherche, on peut rajouter quil compte 38 têtes.

39 Isabelle JACQUES Médiane

40 Isabelle JACQUES Résolutions dinéquations Un fil de fer a pour longueur 4,50 m. On le coupe en deux morceaux : on plie le premier morceau en forme de carré et le second morceau en forme de rectangle dont une dimension est 1 m. Compare les aires des deux quadrilatères. Daprès hyperbole seconde 2009

41 Isabelle JACQUES Bibliographie grenoble.fr/irem/Debat_scientifique/Db_Sci_&_rem_etudia nts.pdf Grand N n°51 sur le site du CRDP de Grenoble Brochure APMEP n°150 : « Pour un enseignement problématisé des Mathématiques au lycée ». PASI : activité de recherche (PARI n°20)


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