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1 Analyse temps-fréquence et ondelettes Module Traitement du Signal, EOST 2A et Master 1 11 jan. 2008 (Intervenant : Pascal Sailhac) Dans un monde virtuel.

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1 1 Analyse temps-fréquence et ondelettes Module Traitement du Signal, EOST 2A et Master 1 11 jan (Intervenant : Pascal Sailhac) Dans un monde virtuel linéaire : Fourier ad hoc Mais dans un monde plus réaliste non linéaire…

2 2 Introduction Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable… Figure :

3 3 Introduction Svt les signaux réels = transitoire et à fréquence variable… Figure : Jean Ville (Théorie et applications du signal analytique, Câbles et transmissions 2, 1948, 61-74) :

4 4 Qualities: Fourier energy spectrum shows the relative frequency content in a signal. For an oscillation or a superposition of oscillations (cosine functions), it provides the frequency u i and relative intensity A i for each component: Limits: The localisation is in frequency only, but not in time (or space) For successive oscillations of different frequencies: Qualities and limits of the Fourier domain f i (x)=A i cos(2 u i x) E i (u)=A i (u-u i )/4 f(x)=f 1 (x)+f 2 (x) E(u)=E 1 (u)+E 2 (u) f(x)=f 1 (x)H(-x)+f 2 (x)H(x) E(u)E 1 (u)+E 2 (u)

5 5 Qualities and limits of the Fourier domain Figure :

6 6 n Covariance instantanée – Transformée de Wigner-Ville… (puis on en prend sa transformée de Fourier pour avoir un spectre instantané) n Fourier à fenêtre glissante – Transformée de Gabor… (puis on en prend son module carré pour avoir un spectre instantané) n Transformée en ondelettes – Transformée de Morlet… (pareil quà fenêtre glissante, mais avec une taille de fenêtre liée à la période) Comment déterminer un spectre temps-fréquence (ou temps-échelle) ?

7 7 Points abordés Ondelettes continues A. Théorie A.0 Introduction A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier A.2 Représentations Temps-Fréquence et spectres dénergie instantané A.3 Ondelettes A.3.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.3.2 Scalogramme et spectre local A.3.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion) A.3.4 A N-Dimensions : Ondelettes tensorielles B. Exemples dapplications géophysiques B.1 Sismique B.2 Illustrations numériques simples avec Matlab B.3 …

8 8 A.1 Rappel : corrélations, convolutions, transformée et spectre de Fourier A.1 Rappel sur la TF

9 9 Frequency Domain (Fourier Transform) infinite support time-freq. resolution Cosinus T=2 /f Time-Frequency Domain (Gabor Transform) low-pass window of fixed length Time-Scale Domain (Wavelet Transform) low-pass window for a fixed oscillation number Increasing frequency Increasing scale A.3 Temps-fréquence et spectre dénergie instantané Domaine de Fourier ou des Fréquences Domaines Temps-Fréquence et Temps-Echelle

10 10 A.3 Temps-fréquence et spectre dénergie instantané Inégalité de Gabor (Heisenberg) : Largeur en temps x Largeur en pulsation où Résolution temps-fréquence Gaborettes Ondelettes de Morlet t t ff 0 0

11 11 A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.4 Ondelettes temps échelles Figure : échelles temps

12 12 A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles A.4.2 Scalogramme et spectre local A.4.3 Formules de reconstructions et choix des ondelettes (inversion) A.4 Ondelettes A.4.4 A N-dimensions (cartes, blocs 3D, 4D) : Ondelettes tensorielles Décompositions position-échelle-angles dEuler (Pour une carte: décomposition position-échelle-azimut)

13 13 A.4.4. Ondelette classique à 2D : Chapeau Mexicain ou « DOG » (anisotrope, ici avec ) (isotrope)

14 14 C. Illustrations numériques simples sur Matlab Il sagit dun script éducatif initialement réalisé pour un cours donné à lEcole Polytechnique de Montréal en février 2000.lEcole Polytechnique de Montréal Il permet de calculer les spectres de Fourier de différents signaux, et de les comparer à la transformée en ondelette calculé avec londelette de Cauchy. Lancer Matlab, puis dans le répertoire OndelettesMontréal, taper TestSignaux

15 15 Représentation des sources sismiques (sweep/chirp) B.1 Application en sismique Source propre Source + harmoniques Figure : Li et al., Geophysics 60, 1995,

16 16 Vosges Temps (s) FréquenceFréquence Fossé Temps (s) FréquenceFréquence Caractérisation des traces sismiques Figure : J. Pi Alperin, DEA 2000, EOST

17 17 1D wavelet of first order in x2D wavelet of first order in x General expression of 2D wavelets of order = i are obtained by Convolution of oblic derivatives in directions q i and upward continuation: Oblic derivations Upward continuation Ondelettes de Poisson (potentiel multipolaire) 1D wavelet of first order in x2D wavelet of first order in x

18 18 1D wavelet of first order in x2D wavelet of first order in x Transformées dans le domaine temps-fréquence Transformée en ondelettes complexes Ondelettes + Hilbert Transformée en ridgelettes Ondelettes + Radon Transformée de Wigner-Hough Wigner-Ville + Hough etc

19 19 Bibliographie (1) Ouvrages de références Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics Marie Farge, Julian Hunt & J. Cristos Vassilicos, 1993, Wavelets, fractals and Fourier transforms: New developments and new Applications, Clarendon Press, Oxford. Efi Foufoula-Georgiou & Praveen Kumar, 1994, Wavelets in Geophysics, Academic Press, San Diego. Bruno Torrésani, 1995, Analyse continue par ondelettes, InterEditions, CNRS Editions, Paris. Matthias Holschneider, 1995, Wavelets, an analysis tool, Clarendon Press, Oxford. Wolfgang Dahmen, Andrew J. Kurdila & Peter Oswald, 1997, Multiscale Wavelet Methods for Partial Differential Equations, Academic Press. Stéphane Mallat, 1997/99, A Wavelet tour of signal processing, Academic Press, San Diego. Patrick Flandrin, 1998 (1993 1ière édition), Temps-fréquence, Edition Hermes, Paris.

20 20 Quelques Thèses Hassina Boukerbout, 2004, Analyse en ondelettes et prolongement des champs de potentiels. Développement dune théorie 3-D et applications en géophysique, Géosciences Rennes. Douzi Hassan, 1992, Construction de bases multi-échelles et application à lestimation des paramètres en sismique, Univ. Paris 9. Fatimetou Mohamed-Salek, 1994, Inversion sismique par une méthode multi-échelles, Univ. Paris 9. Frédérique Moreau, 1995, Transformée en ondelettes de mesures géophysiques, Géosciences Rennes. Guy Ouillon, 1995, Application de lanalyse multifractale et de la transformée en ondelettes anisotropes à la caractérisation géométrique multi-échelle des réseaux de failles et de fractures, Univ. Nice-Sophia Antipolis/BRGM. Felix J. Herrmann, 1997, A scaling medium representation, a discussion on well logs, fractals and waves, Delft Univ. Technology. Pascal Sailhac, 1999, Analyse multiéchelles et inversion de données géophysiques en Guyane Française, Institut de Physique du Globe de Paris. Philippe Gaillot, 2000, Ondelettes continues en Sciences de la Terre - Méthodes et applications, Univ. Toulouse 3. Bibliographie (2)

21 21 B.2 Application aux champs de potentiel Magnetic Signature of Dikes Wavelet Domain Magnetic Signature of a Fault Mainly Acid Plutonism (~granodiorite) Aeromagnetism Geology Green Belt (sandstone, quartzite,…)


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