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Satellites et sondes. Principes de satellisation.

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1 Satellites et sondes. Principes de satellisation

2 gravitation Loi universelle de la gravitation (Newton 1687) Deux corps ponctuels de masse M A et M B s'attirent avec une force proportionnelle à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.

3 gravitation

4 gravitation 2 boules de pétanque au contact exercent une force mutuelle de 4x10 -9 N La tour Eiffel attire un visiteur à son pied avec 3 µN Donnez une estimation de la force dattraction entre 2 personnes de 70 kg située à un mètre lune de lautre ? (0,33 µN) Pour être significative, il faut une distance infiniment faible ou une masse attractive énorme!

5 Cas particulier de lattraction terrestre

6 gravitation Un des deux corps, la Terre est de masse énorme; quand on lâche un objet, il tombe ! Laccélération de la pesanteur est notée g, définie par F = mg avec g = GM/R 2 M = 6x10 24 kg; R=6378 km; g=9,81 ms -2 au niveau du sol g varie avec laltitude : g = 7,3 ms -2 à 1000 km daltitude g = 3,1 ms -2 à 5000 km daltitude g = 0,2 ms -2 à km daltitude

7 gravitation Et sur Saturne? Que vaut g à la surface de Saturne?

8 Chute libre Chute libre

9 Chute libre Sans vitesse horizontale : chute verticale avec accélération g Avec vitesse horizontale : courbure de la trajectoire de retombée Le point de chute est dautant plus loin que la vitesse horizontale est grande « Quand le point de chute dépasse les antipodes, lobjet est satellisé »

10 Chute libre

11 La trajectoire d'une pierre lancée depuis le sol est une parabole si on suppose la Terre plate et le centre d'attraction à l'infini. En réalité, la trajectoire est une ellipse dont le centre de la Terre est le foyer. Il faut circulariser l'orbite pour éviter que la trajectoire heurte la surface terrestre. L'altitude minimum pour satelliser un objet est de 300 km pour éviter le freinage par l'atmosphère terrestre.

12 Chute libre trajectoire T0: v < 8 km/s la vitesse est insuffisante et l'objet retombe sur Terre trajectoire T1 v > 8 km/s la trajectoire est circulaire et ne heurte plus la Terre trajectoire T2 fermée: 8 km/s < v < 13 km/s la trajectoire est une ellipse dont le périgée correspond au point de lancement v > 13 km/s : la trajectoire n'est plus fermée ; le mobile va s'éloigner à l'infini sur une trajectoire hyperbolique

13 Aller contre la gravité ? Energie potentielle de gravitation

14 La force dattraction universelle est une force conservatrice, c'est-à-dire que le travail de cette force entre deux points A et B ne dépend que des points extrêmes du parcours et non du chemin suivi. Il existe alors une fonction des coordonnées (coordonnées sphériques) appelée énergie potentielle Ep vérifiant

15 Energie potentielle de gravitation Pour éloigner un objet de masse m dun corps de masse M, il faut exercer un travail moteur, opposé au travail de la force de gravitation donc égal à la variation d'énergie potentielle Pour un objet de masse m lancé depuis la surface dune planète de masse M verticalement vers le haut avec une vitesse initiale non nulle v0 :

16 Energie potentielle de gravitation Energie potentielle de gravitation

17 Energie potentielle de gravitation Si lon fixe à zéro la valeur de lénergie potentielle de lobjet de masse m lorsque la distance entre lobjet et la planète tend vers linfini, alors lénergie potentielle de gravité ou énergie de liaison pour une distance r est (r 1 = r, r 2 = ):

18 Energie potentielle de gravitation Lénergie potentielle de gravitation est donc négative quelle que soit la distance r finie Le signe négatif dans le terme d'énergie potentielle traduit le fait que celle-ci augmente si r croît.

19 vitesse de libération Lancement dune sonde de masse m soumise à leffet gravitationnel dun astre de masse M

20 vitesse de libération Qu'il s'agisse de lancer une sonde interplanétaire, de faire revenir cette sonde de Mars, d'estimer la vitesse d'entrée dans la haute atmosphère terrestre d'une "étoile filante",....une notion importe : la vitesse de libération d'un corps. On appelle vitesse de libération, la vitesse minimale quil faut communiquer à un objet situé à laltitude h dun astre pour quil échappe à son attraction gravitationnelle.

21 vitesse de libération Si nous prenons M comme la masse de lastre et R son rayon, Ep équivaut à lénergie requise pour lancer une sonde de masse m depuis lastre vers linfini. Supposons que lastre est un référentiel galiléen. Conservation de l'énergie mécanique : L'énergie mécanique de l'engin dans le champ de gravitation de lastre est conservée au cours du mouvement:

22 vitesse de libération

23

24 Numériquement : astre = Terre - à laltitude de 0 km, on a r = m doù V lib = m.s -1 ( km.h -1 ) irréalisable pour une sonde dans latmosphère - à laltitude de 800 km, on a r = = m doù V lib = m.s -1 ( km.h -1 ) - à laltitude de km, on a r = = m doù V lib = m.s -1 ( km.h -1 ).

25 Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ?

26 Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ? Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ?

27 Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ? La vitesse initiale communiquée au Spoutnik I, le 4 octobre 1957, (pour atteindre laltitude de 900 km, aurait donc été de 3900 m/s. Cependant, on ne communique pas de telles vitesses aussi brutalement au départ car le frottement de lair volatiliserait le satellite. La fusée porteuse accélère progressivement pour atteindre la vitesse voulue lorsque lengin a dépassé les couches denses de latmosphère.

28 Vitesse orbitale

29 vitesse orbitale vitesse orbitale Quelle est la vitesse sun satellite en orbite circulaire de rayon r autour dun astre massif ? Par rapport au référentiel géocentrique ou planétocentrique considéré comme galiléen, le satellite de masse m, situé à la distance r du centre de lastre, nest soumis quà la force de gravitation. Sans vitesse, il retomberait la planète. Le satellite doit être animé dune vitesse horizontale appelée vitesse orbitale.

30 vitesse orbitale La vitesse v sobtient en appliquant la loi fondamentale de la dynamique :

31 vitesse orbitale

32 Vitesse orbitale

33 Dans le cas dun satellite terrestre de masse m, assimilable à un point matériel, on note r = R + h, ou h désigne laltitude du satellite et R T le rayon de la Terre, M T sa masse.

34 Vitesse orbitale

35 Quelques exemples

36 Le centre de la Lune a un mouvement approximativement circulaire uniforme, autour de la Terre, à une distance r denviron km. Quelle est la vitesse de satellisation ? Les satellites S.P.O.T. (Satellite sPécialisé dans lObservation de la Terre), ont tous une altitude h de lordre de 832 km. Vitesse de satellisation ?

37 Quelques exemples Altitude au point d'injection Vitesse de satellisation circulaireVitesse de libération 200 km7,78 km/s ( km/h)11,01 km/s ( km/h) 400 km7,67 km/s ( km/h)10,85 km/s ( km/h) 800 km7,45 km/s ( km/h)10,54 km/s ( km/h) km3,07 km/s ( km/h)4,34 km/s ( km/h)

38 Quelques exemples Pour satelliser un engin spatial sur une orbite elliptique, il suffit que sa vitesse dinjection ne dépasse pas la vitesse de libération Vlib Il existe une vitesse en dessous de laquelle la satellisation nest pas possible : le satellite retomberait ou brûlerait dans latmosphère. Cette vitesse est la vitesse de satellisation circulaire Vsat; lorbite est alors un cercle.

39 Quelques exemples Si la vitesse est supérieure à cette valeur limite Vs, lorbite est alors une ellipse. Plus la vitesse croit, plus lellipse sallonge. On parle alors dapogée (le point le plus éloigné de la Terre sur lorbite) et de périgée (le point le plus proche). La vitesse est inversement proportionnelle à laltitude, elle est donc maximale au périgée et minimale à lapogée.

40 Période orbitale Où lon retrouve la troisième loi de Kepler

41 Période orbitale

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43 Saturne et Titan

44 Le 15 octobre 1997, les agences spatiales européennes (ESA) et américaine (NASA) ont lancé la sonde Cassini- Huygens, destinée à lobservation du satellite naturel Titan de la planète Saturne. Après un voyage de 3,5 milliards de kilomètres, qui a duré 7 ans, lorbiter Cassini, transportant la sonde Huygens, a été satellisé autour de Saturne.

45 Saturne et Titan Dans la suite, tous les objets planétaires considérés seront assimiles à des points matériels. Quelle est lexpression de la force de gravitation quexerce Saturne S, de masse M S, sur Titan T, de masse M T, en fonction de la distance ST qui les sépare? Calculer la valeur de cette force, ainsi que le champ de gravitation G S correspondant.

46 Saturne et Titan On admet que T a un mouvement circulaire uniforme autour de S, par rapport au référentiel galiléen R S, dorigine le centre S de Saturne et daxes définis par des étoiles éloignées. Calculer lexpression de la vitesse de satellisation, en fonction de M S et ST.

47 Saturne et Titan Application numérique : Données physiques Constante de gravitation : G = 6, m 3.kg -1 s -2 Masse de la Terre : M Terre = kg Masse de Saturne : M S = 105, 65 M Terre Masse de Titan : M T = 0,0225 M Terre Rayon de Titan : R T = 2, m Distance Saturne-Titan : ST = 1, m. Trouver la période de révolution de Titan autour de Saturne ? Comparer cette période à celle dun jour terrestre.

48 Saturne et Encelade Après le survol de Titan, la sonde Cassini a survolé le satellite Encelade en février On peut considérer que dans le référentiel saturno- centrique, Encelade à un mouvement de révolution circulaire uniforme, dont la période (en jour terrestre), est T E = 1,37 et le rayon est R E. Déterminer la valeur du rayon R E de lorbite dEncelade.

49 Orbite géostationnaire

50 Le satellite géostationnaire paraît immobile pour un observateur terrestre sil reste à la verticale dun même lieu au dessus de la Terre. Sa trajectoire circulaire est dans le plan de léquateur. Sa période est égale à la période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique soit 23 heures 56 minutes 4 secondes, soit secondes

51 Orbite géostationnaire

52 Quelle fraction de la surface de la Terre peut être couverte par les émissions du satellite ?

53 Orbite géostationnaire

54 Sonde Cassini : saturno-stationnaire ?

55 On cherche à déterminer laltitude h à laquelle devrait se trouver la sonde Cassini pour être saturno- stationnaire (immobile au-dessus dun point de léquateur de Saturne). 1. Quelle condition doit-on avoir sur les périodes Ts (rotation de Saturne sur elle-même) et Tc (révolution de Cassini autour de Saturne) pour que la sonde soit « saturno-stationnaire »?

56 Sonde Cassini : saturno-stationnaire ?


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