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Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte.

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1 Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte

2 1. Un sommaire et quelques idées de la logique - argumentation à la logique des processus

3 Quest-ce que la logique? – Un truc de philosophe? – Un truc de matheux? – La science du raisonnement? oui… lequel? – Létude du « vrai »? Une idée : les discours – Évaluer leur cohérence – Largumentation, le dialogue Quels discours? – Les mathématiques – Frege : « Après que la mathématique se fut pour un temps écartée de la rigueur euclidienne, elle y revient, et non sans de vifs efforts pour la dépasser » (Les Fondements de lArithmétique)

4 suite Cest tout? Seulement les mathématiques? – Déjà beaucoup… – Et puis non, pas seulement les mathématiques Les mathématiques comme « laboratoire »

5 suite Une vieille histoire – Une vieille histoire (1) : Aristote, logique antique et logique médiévale, la disputatio, largument de Saint-Anselme, « fallacies », des logiques exotiques – Une vieille histoire (2) : Kant, Husserl, Cavaillès, Wittgenstein – Une vieille histoire (3): la rencontre avec les mathématiques, Cantor, Dedekind, Frege

6 suite La crise des fondements et le « programme de Hilbert » – Comment peut-on être sûr quune théorie est correcte? Quelle est « vraie »? En refaisant tous ses raisonnements avec des moyens dont on est sûr : idée de Hilbert – Peut-on définir le « vrai »? Le concept de vérité dans les langages formalisés : Tarski théorie des modèles, langue / métalangue – Peut-on démontrer tout ce qui est « vrai » ? Théorèmes dincomplétude : Gödel

7 suite Le rôle de lintuitionnisme – Une réaction contre le formalisme : Brouwer – Une présentation de la logique intuitionniste (Heyting) – Quest-ce quelle apporte? Quelques surprises: interprétation de Kripke Comment le savoir croît…

8 Le rôle de lintuitionnisme « doutes sur le tiers exclu » Brouwer, 1908 –«–« La fonction des principes logiques nest pas de diriger les raisonnements mathématiques appliqués à des réalités empiriques, mais de décrire, dans le langage des raisonnements, les régularités qui ont été obéies. –S–Si on sexprime en langage en suivant ces régularités, et en perdant le contact des systèmes mathématiques, on court le risque de paradoxes tels que lEpiménide ».

9 Le rôle de lintuitionnisme-2 Syllogisme : non contestable (simple idée demboîtement de systèmes) Contradiction : idem (« leffectuation de lemboîtement dun système a dans un système b dune façon déterminée, et vle fait de se heurter à limpossibilité de cet emboîtement, sont mutuellement incompatibles » Tiers exclu : ?

10 Interrogation sur les concepts fondamentaux Faut-il modifier la logique? – « Si A alors B » … une pure question darrangement de valeurs de vérité, – Une « implication stricte »? (Lewis) – Vers les logiques modales

11 Logiques modales Vous avez dit « modale »? – Le nécessaire et le possible – Lobligatoire et le permis – Le futur et le passé – Savoir et croire Quel sens attribuer à un énoncé de croyance? – Comment modéliser le temps à lintérieur dune logique?

12 où la machine intervient Le problème de la décision, la logique et la machine – Introduction dune nouvelle problématique en logique : Turing, Church A. Church: Le lambda-calcul et nos retrouvailles avec lintuitionnisme

13 Un autre problème posé par Hilbert: lEntscheidungsproblem Le problème de la décision est résolu si lon connaît une procédure qui permette de déterminer, en utilisant un nombre fini dopérations, la validité, respectivement la satisfaisabilité dune expression logique donnée (1928)

14 Turing (1936) Machines de Turing Machine de Turing universelle Indécidabilité du problème de larrêt

15 Le -calcul de Church 1934? formuler avec précision le problème de la substitution des variables dans une expression qui représente une fonction – Application – Abstraction Équivalence avec MdT Théorème de Church-Rosser Une condition pour la normalisation : termes « typés »

16 Où cela rencontre lintuitionnisme Système de typage = logique intuitionniste Application = modus ponens Abstraction = introduction de La logique intuitionniste a un contenu algorithmique Prouver cest programmer!

17 Pourquoi la logique est utile: – Prouver cest programmer – Prouver cest planifier La logique et les sciences modernes – La logique comme science des processus informationnels convergents : langue, biologie, cognition

18 Prouver cest planifier cf. une action produit un changement dans le monde utilise des ressources se réalise par combinaison dactions plus élémentaires

19 a c poser c sur la table

20 a c

21 a c

22 a c

23 a c

24 c a

25 Passer de létat du monde: main vide (V) c en haut de pile (donc accessible) (H(c)) c sur a (S(c, a)) à main vide c en haut de pile c en bas de pile (B(c)) a en haut de pile

26 décrit par le séquent : V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

27 Actions élémentaires prendre(x) :V, H(x), B(x) T(x) poser(x) :T(x) V H(x) B(x) oter(x, y) :V, H(x), S(x, y) T(x) H(y) mettre(x, y) :T(x), H(y) V H(x) S(x, y)

28 preuve T(c) V H(c) B(c) H(a) H(a) droite T(c), H(a) V H(c) B(c) H(a) gauche V, H(c), S(c, a) T(c) H(a) T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a) coupure V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

29 preuve poser(c)H(a) H(a) droite T(c), H(a) V H(c) B(c) H(a) gauche oter(c, a)T(c) H(a) V H(c) B(c) H(a) coupure V, H(c), S(c, a) V H(c) B(c) H(a)

30 preuve action? On peut extraire une composition dactions dune preuve comme on peut extraire un programme dune preuve (informatique théorique)

31 biologie Antoine Danchin: « la cellule est un ordinateur vivant » – Physique : matière, énergie, temps… – Biologie : Physique + information, codage, contrôle… – Arithmétique : chaînes dentiers, récursivité, codage… – Informatique : arithmétique + programme + machine… » – « comme dans le cas de la construction dune machine, dans celui de la construction dune cellule, on a besoin dun livre de recettes… cela demande ensuite quon soit capable de changer le texte de la recette en quelque chose de concret : ceci consiste dans le « transfert dinformation ». Dans une cellule, ce transfert dinformation est assuré par le programme génétique »

32 interaction &: choix « actif » (vous avez le choix entre … et …) : choix « passif » (lun ou lautre, vous ne décidez pas) : les deux, dans un ordre séquentiel non déterminé : les deux, en parallèle, par exemple léchange (lun contre lautre) : le changement de point de vue

33 interprétation Interaction la logique nest plus seulement interprétable comme « décrivant un extérieur », elle sinterprète « par rapport à elle-même », autrement dit elle réfère à ses propres procédures (elles se répondent entre elles)

34 Un aspect… ludique? Retour sur le dialogue et largumentation: – Logique dialogique – « Game Theoretical Semantics » et IF-logique (Hintikka, Sandu…) – Interprétation de la logique linéaire

35 2. Retour sur une vieille histoire dAristote à Hilbert

36 Quest-ce que la logique? Hilary PUTNAM, 1971: (1 )tous les S sont M tous les M sont P (donc) tous les S sont P (2)x est identique à x (3)non (p et (non p)) (4) p ou (non p)

37 …. Tout ceci, même s'ils ne sont pas d'accord sur l'exposition des principes respectifs à l'œuvre dans ces différents cas. Il existe donc bien un corpus de "doctrine permanente " en logique

38 Maintenir la cohérence du discours Jeu de lobligatio: (1)B (A C) (2)A B (3) B C

39 B (A C) OUI NON

40 B (A C) OUI NON A B OUI NON Tu perds!

41 B (A C) OUI NON A B OUI NON Tu perds! OUINON

42 B (A C) OUI NON A B OUI NON Tu perds! OUINON OUI NON OUI NON Tu perds! B C

43 Aristote Théorie du syllogisme 1ère figure : BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO 2ème figure : CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO 3ème figure : DARAPTI, FELAPTON, DISAMIS, DATISI, BOCARDO, FERISON 4ème figure : BAMALIP, CALEMES, DIMATIS, FESAPO, FRESION

44 Le syllogisme aristotélicien Tous les hommes sont mortels Socrate est un homme Donc Socrate est mortel – moyen : homme – majeur : mortel – mineur : Socrate

45 B ATout M est S (universelle affirmative) R B A Tout X est M (universelle affirmative) R ATout X est S (universelle affirmative) NB : le moyen est sujet de la majeure et prédicat de la mineure … ah! Barbara, comme il pleuvait fort sur Brest ce jour là…

46 celarent C EAucun M nest S(universelle négative) L ATout X est M(universelle affirmative) R EAucun X nest S(universelle négative) N T

47 Logique indienne (à partir du 2 ème siècle) Proposition : il y a du feu sur la montagne Raison : parce quil y a de la fumée sur la montagne Exemple : comme dans une cuisine, et pas sur un lac Application : il en est ainsi Conclusion : donc il y a du feu

48 « fallacies » catalogue de formes dargumentation fausses – affirmation du conséquent Si p alors q, q, donc p – accident En général les oiseaux volent, Tweety le Pingouin est un oiseau, donc Tweety vole – pétition de principe Lâme est immortelle parce quelle ne meurt jamais – etc. ref: Hamblin, « Fallacies », 1970

49 Largument ontologique [l] insensé, quand il entend cela même que je dis : "quelque chose de tel que rien ne se peut penser de plus grand", comprend ce qu'il entend, et ce qu'il comprend est dans son intellect, même s'il ne comprend pas que ce quelque chose est. Donc l'insensé aussi, il lui faut convenir qu'il y a bien dans l'intellect quelque chose de tel que rien ne se peut penser de plus grand, puisqu'il comprend ce qu'il entend, et que tout ce qui est compris est dans l'intellect.

50 Et il est bien certain que ce qui est tel que rien ne se peut penser de plus grand ne peut être seulement dans l'intellect. Car si c'est seulement dans l'intellect, on peut penser que ce soit aussi dans la réalité, ce qui est plus grand. Si donc ce qui est tel que rien ne peut se penser de plus grand est seulement dans l'intellect, cela même qui est tel que rien ne se peut penser de plus grand est tel qu'on peut penser quelque chose de plus grand ; mais cela est à coup sûr impossible. Il est donc hors de doute qu'il existe quelque chose de tel que rien ne se peut penser de plus grand, et cela tant dans l'intellect que dans la réalité.


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