Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot

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1 Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot
Philippe POIGNET1, Nacim RAMDANI2, Andrès VIVAS1 1Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier UMR CNRS-UMII 5506 2Centre d’ Etude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes, Université Paris XII

2 Plan Ö Présentation du contexte (robot, besoin, modèle,…)
Ö Estimation ellipsoïdale Ö Résultats expérimentaux Conclusion

3 Introduction H4 – Robot parallèle
Ö Robot avec 4 degrés de liberté (ddl): 3 ddl en translation 1 ddl en rotation. Ö Applications: Prise et dépose avec orientation Usinage à grand vitesse Ö Performances: vmax = 1m/s amax = 50 m/s2

4 Un modèle pour la commande
Ö Besoins d’un modèle dynamique pour la commande:  Augmentation des performances (précision, rapidité)  Robustesse (variation de charges) Ö Modèle dynamique à paramètres physiques:

5 H4 – Modèle dynamique inverse
Ö Linéarité par rapport aux paramètres: Ö Vecteur de paramètres dynamiques à identifier: Ö Sans mesures des accélérations cartésiennes:

6 Usuellement … Méthodes d’identification : Moindres carrés pondérés, Filtrage de Kalman étendu Ö Construction d’un système linéaire surdéterminé: Y = W X + ρ Y: couples appliqués (entrée) W: matrice d’observation X: paramètres à identifier : bruit gaussien additif sur l’entrée Ö Hypothèse (et critique) : bruit gaussien additif sur l’entrée

7 Moindres carrés d'erreur d'entrée avec modèle inverse

8 Approche standard avec les MC
Hypothèses : Ö Bruit gaussien sur l’entrée (=couple) alors que l’on est en boucle fermée Ö W est supposée déterministe (alors qu’elle est composée de variables entachées de bruits : position, vitesse et accélération articulaires) Alternative : Ö Estimation dans un contexte à erreur bornée

9 Une alternative : l’approche à erreur bornée
[Belforte 90 ; Milanese 96 ; Vicino 96 ; Walter 90; Norton 94, 95  …] Unique Hypothèse : Support de l’erreur borné. Intérêt : Ö Manipulation immédiate des bornes d’incertitudes des données réelles. Ö Prise en compte des erreurs de modélisation. Résultats : Ensemble de valeurs de paramètres compatibles :

10 Modèles linéaires : Formulation
Ensemble des paramètres compatible avec l’observation k et le modèle : une bande Ensemble des paramètres consistant avec toutes les données : un polytope

11 Représentation Simplifiée
q1 q2 S  Approximation du polytope par des ensembles de forme simple : Algorithmes récursifs, par blocs ou hors-lignes

12 Méthodes ellipsoïdales
[Fogel et Huang, 82] Bande de contrainte : Principe de mise à jour de l'ellipsoïde Ellipsoïde courant : Nouvel ellipsoïde : Note : réduction de bandes

13 Algorithme récursif Famille d’ellipsoïdes solutions, paramétrée par  : Choisir a qui minimise la taille de l'ellipsoïde : Volume : Somme quadratique des longueurs des demi-axes : Etude théorique des résultats obtenus pour les deux métriques. [Durieu et al., 01]

14 Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales
Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales Problèmes de l’écriture standard     numériquement instable  définie positivité des matrices M ou P non garantie Solution : Forme factorisée [Lesecq et Barraud 2002]  numériquement stable  matrices P et M définies positives, numériquement garantie + indépendance du calcul du centre et de la matrice d’information

15 Forme matrice d'information factorisée
Forme matrice d'information factorisée Le problème initial est reformulé en posant : : Factorisation de Cholesky Algorithme Initialiser : Boucle récursive : Calcul de Factorisation QR : Résoudre :

16 Identification en boucle fermée
Les mesures nécessaires à l’identification sont prises alors que le robot suit des trajectoires excitantes et est asservi par un correcteur PD

17 Choix de trajectoires excitantes
Ö Concaténation de mouvements pré-calculés lents (estimation des paramètres de frottements) et rapides (estimation des paramètres inertiels): Trapèzes en vitesse, sinus wobulés Mouvements suivant un seul axe dans l’espace opérationnel Ö Assurer un bon conditionnement de la matrice W

18 Données expérimentales
Ö Les positions articulaires q et les références courant V (les entrées de commande exprimées en Volt et mesurées) sont acquises à la fréquence de 1kHz. Ö Les couples sont calculés à partir des mesures des références courant V en utilisant une relation linéaire entre chaque couple du moteur , la tension correspondante appliquée à l’amplificateur et le gain de l’amplificateur: Ö Vitesses et accélérations articulaires pour calculer la matrice d’observation estimées par un filtre passe-bande de la position. Ö Filtrage passe-bande obtenu par produit d’un filtre passe-bas hors ligne non causal aller et retour (fonction filtfilt de Matlab) et d’un filtre dérivateur obtenu par un algorithme de différence centrée.

19 Mise en œuvre expérimentale Re-circulation et données aberrantes
Ö Pour réduire la taille de l’ellipsoïde : re-circulation des données passées dans l’ordre chronologique inverse [DUR 01a] [CLE 90]. Réalisées plusieurs fois jusqu’à obtenir un ellipsoïde dont la taille ne change pas : évaluation au travers la valeur du déterminant de la matrice Ö Démarche pour la gestion de données aberrantes: Choix des bornes d’erreur a priori sur la base de considérations physiques (Remarque : trop petite, modèle erroné ou donnée aberrante [MAK 98]) Circulation des données Si détection d’une donnée aberrante : ré-initialisation de l’algorithme (centre à zéro et taille de l’ellipsoïde grand) Taux de données aberrantes calculé après convergence

20 Dans notre cas … Ö Choix de la borne d’erreur entre 10 et 15% du couple maximum disponible  bornes d’erreur : 2.4 N.m pour moteurs 1 et 2 et N.m pour moteurs 3 et 4 Ö Taux de données aberrantes : moins de 0.5 % (pas de donnée aberrante dans les premières circulations) Ö Nombre de circulations des données > 150

21 Formulation factorisée
Formulation factorisée Evolution du déterminant de en fonction du nombre de re-circulations pour le critère du déterminant (Trait continu : forme factorisée, trait discontinu : forme non factorisée). N nombre d’observations

22 Analyse de l’ensemble admissible des paramètres estimés
Analyse de l’ensemble admissible des paramètres estimés Approximation de l’incertitude ( ) obtenue en prenant les racines carrées des valeurs de la diagonale de valeur de prise à la fin de toutes les re-circulations

23 Analyse des vecteurs propres de
Analyse des vecteurs propres de Calcul des valeurs propres de  l'ellipsoïde obtenu par le critère du déterminant a une forme plus allongée que celui obtenu par le critère de la trace. Rapport (longueur de l'axe le plus long / plus petit) = 938 pour le critère du déterminant et seulement 220 pour le critère de la trace.

24 Validations croisées Enveloppe de l’incertitude
Validations croisées Enveloppe de l’incertitude Couplage des paramètres

25 Conclusions Ö Résultats expérimentaux obtenus par méthodes ellipsoïdales cohérents avec les connaissances a priori Ö Nécessité : Utilisation de la forme factorisée Ö Difficultés : Détermination de la borne d’erreur Ö Perspectives : Choix de la borne d’erreur a priori Ö Exploitation : Commande référencée modèle