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Scénario Mathématiques – Technologie autour de la démarche dinvestigation Abdelkébir Assrir Francis Bernard Académie de Rouen Université dété de mathématiques.

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1 Scénario Mathématiques – Technologie autour de la démarche dinvestigation Abdelkébir Assrir Francis Bernard Académie de Rouen Université dété de mathématiques « Mathématiques et technologies » 25 août 2011 /

2 Découverte de différentes structures dont la structure en treillis. Technologie

3 Observation dun objet technique construit en structure treillis. Technologie

4 Mathématiques Étude dune famille de cadres ayant une forme quadrilatère.

5 Mathématiques Modélisation mathématique de la situation.

6 Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ? Technologie

7 Mathématiques Quel est le parallélogramme qui présente une aire maximale ?

8 Programme Étude dune famille de cadres ayant une forme quadrilatère. Modélisation mathématique de la situation. Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ? Quel est le parallélogramme qui présente une aire maximale ? T M M M Découverte de différentes structures dont la structure en treillis. Observation dun objet technique construit en structure treillis. T T

9 Découverte de différentes structures dont la structure en treillis. Technologie

10 Observation dun objet technique construit en structure treillis. Technologie

11 Mathématiques Étude dune famille de cadres ayant une forme quadrilatère.

12 Définition du parallélogramme: quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Pré-requis

13 Modélisation mathématique de la situation

14 OBJECTIFS Auto évaluation Socle commun Construire un tel parallélogramme à laide de Géogébra. - Les longueurs ne changent pas lorsque lon déplace certains points. - On obtient toujours un parallélogramme. - Le logiciel est bien utilisé. III-2 III-3 IV-3 III-4 Réaliser un compte rendu. - Dessins représentant les situations. - Explications de la construction. - Codages (ou légendes). Comment obtenir plusieurs parallélogrammes dont les côtés gardent toujours les mêmes longueurs ?

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16 Définition du parallélogramme: quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Utilisation dun logiciel de géométrie dynamique. Exemple de construction préalable: triangle dont les 3 longueurs sont données. Pré-requis

17 Modélisation mathématique de la situation Un exemple de construction. On construit un parallélogramme ABCD. On déplace un point (par exemple le point C) …

18 Modélisation mathématique de la situation

19 Le quadrilatère ABCD nest plus un parallélogramme !

20 Construction à laide du logiciel Géogébra

21 Quelques représentations de cette famille de parallélogrammes

22 Aides envisageables V é rification d e la bonne compr é hension de la situation et de la consigne: On pourra encourager les élèves à reformuler la consigne en leur demandant: quel travail doit-on effectuer ? Aide à la d é marche de r é solution: Comment se nomme ce type de quadrilatère ? Quest-ce qui reste inchangé ? Comment réaliser ceci avec le logiciel ? Apport de connaissances et de savoir-faire: Définition et propriétés caractéristiques du parallélogramme. Symétrie centrale. Cercle.

23 Un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés sont de même longueur deux à deux est un parallélogramme. On ne peut obtenir un losange ou un carré que si toutes les côtés ont la même longueur. On peut obtenir des parallélogrammes aplatis. Conclusions

24 Les élèves pourront rechercher dans leur environnement proche ou dans différents supports de documentation des exemples dutilisations techniques du principe des parallélogrammes articulés. Travail de recherche à la maison

25 Exercice Montrer que si lon déplace les points C, D, E ou F, la position du réflecteur reste inchangée par rapport à la table de travail.

26 La balance de Roberval Photo ( Wikipédia - Original uploader was AntonyB at fr.wikipedia ) Certains manèges La plate-forme élévatrice

27 Technologie

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31 Problème à résoudre : Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

32 OBJECTIFS Auto évaluation Socle commun Décrire les solutions testées pour stabiliser le cadre. - Indication de la résistance à la poussée - Caractéristiques précisées : facilité de mise en place, démontage aisé, solidité, etc… III-3 III-4 Réaliser un compte rendu. - Schémas clairs - Trace écrite visible de loin

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37 Les structures en treillis

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39 Mathématiques Quel est le parallélogramme de cette famille qui présente une aire maximale ?

40 Savoir calculer laire dun triangle. Résultat admis (constaté auparavant): Dans un triangle rectangle, la longueur du côté opposé à langle droit est supérieure à la longueur de chacun des 2 autres côtés. Symétrie centrale. Pré-requis

41 Construction à laide du logiciel Géogébra

42 Aides envisageables V é rification d e la bonne compr é hension de la situation et de la consigne. Aide à la d é marche de r é solution: Comment calculer laire du parallélogramme ABCD ? Comment décomposer le parallélogramme pour calculer son aire ? Repérer base et hauteur associée. Apport de connaissances et de savoir-faire: Aire dun triangle. Aire dun parallélogramme (si déjà vu) Symétrie centrale et aire.

43 Pour cette famille de parallélogrammes le périmètre reste inchangé, mais laire change. Plus les angles aigus sont petits, plus laire est petite. Dans cette famille de parallélogrammes, cest le rectangle qui possède laire la plus grande. Conclusions

44 On considère le cadre rectangulaire ci-dessous. Pour le consolider on a fixé deux tiges : - la première est représentée par la diagonale [BD], - la seconde est représentée par le segment [MN] où M est un point de [AB] et N un point de [CD]. Que peux-tu dire des aires de MID et NIB ? Exercice

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46 Proposition pour une évaluation: des tubes qui coulissent.

47 On considère le dispositif ci-dessous, dans lequel les deux tubes ont la même longueur, et peuvent se déplacer sur deux axes parallèles. On veut étudier ce dispositif pour savoir ce qui change et ce qui reste invariable. Quels quadrilatères obtient-on ? Que se passe-t-il si les supports des tubes sont des droites ? Que peut-on dire du périmètre et de laire des quadrilatères de cette famille ? Énoncé élève

48 C ONNAISSANCES C APACITÉS - Notion de droites parallèles, perpendiculaires. - Constructions géométriques. - Propriétés des parallélogrammes : parallélogrammes particuliers. - Symétrie centrale. - Tracer par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée. - Construire des figures en respectant des contraintes. - Reconnaître : - un parallélogramme - un parallélogramme particulier : rectangle, losange, carré. - Reconnaître un centre de symétrie. - Reconnaître le parallélogramme comme quadrilatère à centre de symétrie. Compétences visées 1° Dans le programme de la classe de cinqui è me

49 2°Pour lacquisition des connaissances et des capacités du socle commun Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique. PRATIQUER UNE DÉMARCHE SCIENTIFIQUE, RÉSOUDRE DES PROBLÈMES CAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE Rechercher, extraire et organiser linformation utile. Extraire les informations utiles. Repérer linvariance de la base et de la hauteur. - Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes. - Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer. - Mesurer des longueurs. - Utiliser des instruments de construction. - Emettre des conjectures. - Confronter ses conjectures avec les résultats obtenus. - Construire différents parallélogrammes ayant même hauteur et même base. - Faire des propositions sur la nature du quadrilatère. - Interpréter les résultats obtenus en lien avec ses conjectures. Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à laide dun langage adapté. - Présenter un résultat par une représentation adaptée. - Illustrer ses propos par des figures (éventuellement à main levée). - Expliquer la démarche engagée.

50 2°Pour lacquisition des connaissances et des capacités du socle commun Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique. SAVOIR UTILISER DES CONNAISSANCES ET DES COMPÉTENCES MATHÉMATIQUES CAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE Géométrie.Connaitre et représenter des figures géométriques. Utiliser leurs propriétés. - Dessiner avec précision des parallélogrammes ayant la même base et la même hauteur. - Coder correctement la figure. Grandeurs et mesures.- Réaliser des mesures de longueurs, dangles, daires. - Calculer des valeurs en utilisant différentes unités. - Les mesures réalisées sont correctes et correspondent aux situations proposées par lélève. - Bon choix de lunité dans les calculs.

51 2°Pour lacquisition des connaissances et des capacités du socle commun Compétence 7 : Lautonomie et linitiative. ÊTRE CAPABLE DE MOBILISER SES RESSOURCES INTELLECTUELLES ET PHYSIQUES DANS DIVERSES SITUATIONS CAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE - Être autonome dans son travail : savoir lorganiser, le planifier, lanticiper, rechercher et sélectionner des informations utiles. - Prise dinitiative pour lutilisation de la démarche. - Organiser son travail. - Sélectionner linformation utile. - Choix dune démarche appropriée. - Travail avec méthode. - Bonne exploitation des données du problème. FAIRE PREUVE DINITIATIVECAPACITÉS ÉVALUÉES EXEMPLES DINDICATEURS DE RÉUSSITE - Sengager dans un projet individuel. - Sintégrer et coopérer dans un projet collectif. - Se mettre au travail de façon autonome. - Travailler en groupe. - Etre actif, entreprendre, choisir sa démarche de résolution. - Coopérer avec ses camarades pour réaliser une partie du travail demandé.

52 Les élèves sont amenés à constater que : Ces quadrilatères ont deux côtés opposés parallèles et de même longueur. Il sagit dune famille de parallélogrammes. Tous ces parallélogrammes ont : la même base et la même hauteur. Ce sont des parallélogrammes de même aire. Le parallélogramme de cette famille ayant un périmètre minimal est le rectangle.

53 Les élèves pourraient également observer que cette famille : Contient toujours un rectangle. Peut éventuellement contenir un losange, un carré. Conséquence : le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes (particuliers).


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