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ULYSSE qui dira vingt4 1 Introduction à l Ingénierie Didactique Études et observations dune situation mathématique : C20 Esquisse dun curriculum.

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1 ULYSSE qui dira vingt4 1 Introduction à l Ingénierie Didactique Études et observations dune situation mathématique : C20 Esquisse dun curriculum

2 ULYSSE qui dira vingt4 2 Une Situation mathématique 1. Qui dira vingt? 2. Comparaison de deux utilisations didactiques du problème « qui dira 20? » 3. De « Qui dira 20? » à… la division

3 ULYSSEqui dira vingt43 Pour introduire la théorie des situations… …voici létude dune situation qui a été reproduite de nombreuses fois avec des élèves de ans. Je prie ceux qui la connaissent bien de me pardonner ce « pèlerinage aux sources ». …voici létude dune situation qui a été reproduite de nombreuses fois avec des élèves de ans. Je prie ceux qui la connaissent bien de me pardonner ce « pèlerinage aux sources ». Elle na pourtant pas grand intérêt dans les curriculums ordinaires de mathématiques, mais elle peut être très utile pour initier les élèves au raisonnement mathématique et pour leur donner une idée du fonctionnement des hypothèses, des preuves et des théorèmes. En ce sens elle constitue une véritable et très vivante première leçon dépistémologie. Dautres suivront… Elle na pourtant pas grand intérêt dans les curriculums ordinaires de mathématiques, mais elle peut être très utile pour initier les élèves au raisonnement mathématique et pour leur donner une idée du fonctionnement des hypothèses, des preuves et des théorèmes. En ce sens elle constitue une véritable et très vivante première leçon dépistémologie. Dautres suivront… Cest pourquoi elle a beaucoup servi pour expliquer le B A BA de la théorie des situations mathématiques et pour montrer comment les leçons classiques pouvaient être enrichies par une initiation convenable à la résolution des problèmes et à lactivité mathématique. Cest pourquoi elle a beaucoup servi pour expliquer le B A BA de la théorie des situations mathématiques et pour montrer comment les leçons classiques pouvaient être enrichies par une initiation convenable à la résolution des problèmes et à lactivité mathématique.

4 ULYSSE qui dira vingt Qui dira vingt? UN MODELE pour une SITUATION MATHEMATIQUE à usage didactique

5 ULYSSEqui dira vingt45 Règles du jeu Le premier joueur dit : « 1 » ou « 2 » ex: 1 Le premier joueur dit : « 1 » ou « 2 » ex: 1 Le second peut ajouter 1 ou 2 à ce qua dit le premier ex: 3 Le second peut ajouter 1 ou 2 à ce qua dit le premier ex: 3 A tour de rôle chacun dit un nombre en « montant » de 1 ou de 2 sur le nombre dit par son adversaire A tour de rôle chacun dit un nombre en « montant » de 1 ou de 2 sur le nombre dit par son adversaire Celui qui dit 20 gagne la partie. (Consigne) Celui qui dit 20 gagne la partie. (Consigne) (Consigne) Remarque de TSM : Pour le joueur A, ladversaire B fait partie de m(A) le milieu de A. et il le fait évoluer en partie indépendamment de la volonté de A. A est donc en présence dun « milieu » non pas seulement dun ensemble de conditions amorphes

6 ULYSSEqui dira vingt46 Exemple : une partie Joueur A Joueur A Joueur B Joueur B Le joueur B a gagné

7 ULYSSEqui dira vingt47 Les étapes de la « leçon » 1. La consigne : le professeur montre comment jouer (3min) 1. La consigne : le professeur montre comment jouer (3min) 2. Les élèves jouent 1 contre Les élèves jouent 1 contre 1. Au bout de quatre parties individuelles certains élèves pensent « il faut jouer 17 ». (situation daction). Il est temps alors darrêter cette phase. (durée 7 minutes) 3. Les élèves jouent 1 équipe contre 1 équipe 3. Les élèves jouent 1 équipe contre 1 équipe Le jeu oppose au tableau un représentant de chacune des deux équipes qui doivent rester muettes pendant la partie. (Jeu 1) (jeu2) (Jeu 1) (jeu2) (Jeu 1) (jeu2) Entre les parties les équipes discutent de leurs stratégies. (situation de formulation) (durée 25 minutes) 4. Le Jeu de la découverte concours de théorèmes équipes contre équipes (situation de validation, de preuve) 4. Le Jeu de la découverte concours de théorèmes équipes contre équipes (situation de validation, de preuve)

8 ULYSSEqui dira vingt48 Vocabulaire des situations Les positions : [1; 2; … ; 19; 20] Les positions : [1; 2; … ; 19; 20] Les états de la situation : {A;B}X [0; 1; 2; … ; 20] Les états de la situation : {A;B}X [0; 1; 2; … ; 20] État initial : 0. État final : 20. État initial : 0. État final : 20. Une règle daction, des états permis Une règle daction, des états permis Des actants (ou agents) et leur répertoire de décisions Des actants (ou agents) et leur répertoire de décisions Un Enjeu : effectif ou rhétorique Un Enjeu : effectif ou rhétorique Une décision: « jouer 4 »; Une décision: « jouer 4 »; Une partie : une suite [An1, Bn2, …, X20], ou comme dans le tableau : (A, [n1, n2, …, 20]) 0 < ni+1 –ni <3 Une partie : une suite [An1, Bn2, …, X20], ou comme dans le tableau : (A, [n1, n2, …, 20]) 0 < ni+1 –ni <3 Toutes les parties possibles. Toutes les parties possibles. Une stratégie : mauvaise : « ajouter toujours 2 »; ou bonne : « commencer par 2 puis compléter à 3 » Une stratégie : mauvaise : « ajouter toujours 2 »; ou bonne : « commencer par 2 puis compléter à 3 » Une tactique : « jouer 17 si on peut » Une tactique : « jouer 17 si on peut »

9 ULYSSEqui dira vingt49 Schéma de la situation daction (jeu 1 contre 1) 14 3 Joueur, actant Information Décision, Action, Transformation du milieu Milieu Lactant na pas besoin de dire ce quil fait ni de le justifier… Il peut donc être incapable de le faire. Lobservateur ne le sait pas, il peut au plus créer un « modèle implicite daction »

10 ULYSSEqui dira vingt410 Études de la situation daction 1 Études a priori : choix des paramètres but, pas etc. Études a priori : choix des paramètres but, pas etc. Études expérimentales. Quelles sont les conditions dans lesquelles les élèves découvrent les tactiques et la stratégie de C20? Études expérimentales. Quelles sont les conditions dans lesquelles les élèves découvrent les tactiques et la stratégie de C20? « Qui dira 7 » (C7) : le disque moniteur (ne joue que la stratégie gagnante). La courbe dapprentissage peut être approchée par un « modèle Stimulus-réponse » (45 enfants). « Qui dira 7 » (C7) : le disque moniteur (ne joue que la stratégie gagnante). La courbe dapprentissage peut être approchée par un « modèle Stimulus-réponse » (45 enfants). « Qui dira 20 »: lanalyse des réponses de 60 classes montre que « Qui dira 20 »: lanalyse des réponses de 60 classes montre que 1. des « théorèmes en actes » apparaissent dans lordre : 20, 17, 14, 11, 8. Lélève qui apprend est celui qui perd et non celui qui gagne 1. des « théorèmes en actes » apparaissent dans lordre : 20, 17, 14, 11, 8. Lélève qui apprend est celui qui perd et non celui qui gagne 2. la vitesse dapparition des théorèmes décroît: la récurrence ne joue pas sauf vers la 15e partie pour une partie des élèves 2. la vitesse dapparition des théorèmes décroît: la récurrence ne joue pas sauf vers la 15e partie pour une partie des élèves 3. Seuls, les deux premiers sont explicitables, (20 et 17) les autres sont utilisés mais trop incertains pour être dits 3. Seuls, les deux premiers sont explicitables, (20 et 17) les autres sont utilisés mais trop incertains pour être dits 4. A partir de la 25 ième partie, sils ne sont pas formulés, les théorèmes en actes disparaissent, dans lordre inverse de leur apparition. 4. A partir de la 25 ième partie, sils ne sont pas formulés, les théorèmes en actes disparaissent, dans lordre inverse de leur apparition. 5. Le processus de découverte bute sur une idée des élèves : le jeu « devrait » laisser une certaine liberté au départ 5. Le processus de découverte bute sur une idée des élèves : le jeu « devrait » laisser une certaine liberté au départ Aucun modèle Stimulus Réponse semblable à C7 ne convient à C20 Aucun modèle Stimulus Réponse semblable à C7 ne convient à C20

11 ULYSSEqui dira vingt

12 ULYSSEqui dira vingt412 Lapparition des théorèmes (TIA) en situation daction Nombre ajouté Choix significatif de 1: o Choix significatif de 2 : Aucun choix significatif: Apparition des théorèmes : Nombres laissés par ladversaire 6. Comment les théorèmes apparaissent-ils? Le diagramme ci-dessous, montre les décisions significatives des élèves. Les ronds blancs correspondent à l'addition significative de 1, les points noirs à l'addition significative de 2. Exemple: dès la 3 ième partie, et dans toutes les parties suivantes (colonne) au « nombre laissé » 18, les élèves répondent en ajoutant 2 (points noirs). L'absence de signe indique des choix équilibrés (aucun nest significatif). Numéro de la partie jouée Le théorème 20 apparaît à la 3 ième partie, le 17 à la 7 ième, le 14 à la 13 ième. La zone dincertitude comprend 6 à 7 nombres et recule au fil de lapparition des théorèmes. Avant, les élèves ajoutent seulement 2 pour atteindre plus vite cette zone dincertitude

13 ULYSSEqui dira vingt413 Schéma de la situation de formulation de stratégies (équipe contre équipe) ÉmetteurRécepteur Milieu Informations3 41 Élève qui est au tableau Le Groupe ne pourra pas agir ni conseiller son champion pendant la partie Conseils, stratégies ÉmetteurRécepteur

14 ULYSSEqui dira vingt414 Études de la situation de formulation 2 Situation de formulation des stratégies: Les actants disposent déjà du vocabulaire nécessaire, Situation de formulation des stratégies: Les actants disposent déjà du vocabulaire nécessaire, Ici, cest aussi une situation de débats informels dans les groupes Ici, cest aussi une situation de débats informels dans les groupes Les positions sont très variées, joueurs potentiels ou effectifs, émetteurs didées ou contradicteurs, se réfèrent aux résultats ou aux anticipations etc. Les positions sont très variées, joueurs potentiels ou effectifs, émetteurs didées ou contradicteurs, se réfèrent aux résultats ou aux anticipations etc. Tous les élèves sont concernés. Les échanges sont nombreux et vifs : Les élèves investissent le jeu de façon plus forte. Tous les élèves sont concernés. Les échanges sont nombreux et vifs : Les élèves investissent le jeu de façon plus forte. Sauf 17 les théorèmes en actes némergent pas Sauf 17 les théorèmes en actes némergent pas Il nest observé aucun progrès individuel dans la résolution du problème à la fin de cette phase Il nest observé aucun progrès individuel dans la résolution du problème à la fin de cette phase Pourtant cette phase est essentielle pour que la suivante concerne tous les élèves. Pourtant cette phase est essentielle pour que la suivante concerne tous les élèves. Les élèves qui ont les meilleures idées ne sont pas compris et se désespèrent Les élèves qui ont les meilleures idées ne sont pas compris et se désespèrent

15 ULYSSEqui dira vingt415 La situation de Validation: « le jeu de la découverte » Les deux équipes saffrontent pour établir une stratégie sûre. Le professeur ne précise les règles quau fur et à mesure. Les deux équipes saffrontent pour établir une stratégie sûre. Le professeur ne précise les règles quau fur et à mesure. un groupe propose une déclaration qui selon lui « aide à gagner » (une conjecture). Exemple : Il faut jouer 17 si on peut. un groupe propose une déclaration qui selon lui « aide à gagner » (une conjecture). Exemple : Il faut jouer 17 si on peut. Lautre équipe, lopposant, soit « passe », soit ladopte (et paie le droit de lutiliser), soit la contredit et un débat souvre avec trois issues possibles : la déclaration est « vraie » ou « fausse » ou « indécise ». Lautre équipe, lopposant, soit « passe », soit ladopte (et paie le droit de lutiliser), soit la contredit et un débat souvre avec trois issues possibles : la déclaration est « vraie » ou « fausse » ou « indécise ». Lopposant doit mettre la proposition contestée en contradiction Lopposant doit mettre la proposition contestée en contradiction Par un contre exemple: lobservation des parties passées Par un contre exemple: lobservation des parties passées Par une explication (un raisonnement, une preuve) Par une explication (un raisonnement, une preuve) Par un défi (qui revient à produire un contre exemple) en obligeant le proposant à jouer ce quil dit et en gagnant la partie (Moyen de coercition contre lentêté, mais coûteux si on a tort, et de toute façon incertain) Par un défi (qui revient à produire un contre exemple) en obligeant le proposant à jouer ce quil dit et en gagnant la partie (Moyen de coercition contre lentêté, mais coûteux si on a tort, et de toute façon incertain) Dautres critères apparaîtront pour « valider » une déclaration. Les nombreuses règles sont « enseignées » au fur et à mesure et « apprises » par la pratique. Les nombreuses règles sont « enseignées » au fur et à mesure et « apprises » par la pratique.

16 ULYSSEqui dira vingt416 Déroulement de la situation de preuve Enseignant : Équipe A, pouvez-vous faire une déclaration vraie et utile pour gagner ? Enseignant : Équipe A, pouvez-vous faire une déclaration vraie et utile pour gagner ? vous serez les «proposants ». vous serez les «proposants ». Élève de A : « on est sûr de gagner si on peut dire 17 ». Élève de A : « on est sûr de gagner si on peut dire 17 ». Élève de B : oui c'est ce qu'on voulait dire ! Élève de B : oui c'est ce qu'on voulait dire ! Autre élève de B : Mais je ne suis pas d'accord, il y a des fois où on a joué 17 et on n'a pas gagné. Je peux jouer 17 et perdre si je veux. Autre élève de B : Mais je ne suis pas d'accord, il y a des fois où on a joué 17 et on n'a pas gagné. Je peux jouer 17 et perdre si je veux. … Élève b de B : Nous quatre, on n'est pas d'accord avec le reste de l'équipe B. On veut mettre en doute le théorème. Élève b de B : Nous quatre, on n'est pas d'accord avec le reste de l'équipe B. On veut mettre en doute le théorème. Enseignant : Vous voulez obliger les A à jouer en commençant par 17 ? Élève b de B : Euh.... non ! on veut demander une démonstration. Enseignant : Vous voulez obliger les A à jouer en commençant par 17 ? Élève b de B : Euh.... non ! on veut demander une démonstration. Les autres élèves de B : non ! non ! c'est sûr, il faut jouer Il faut accepter sinon ils vont marquer des points ! Les autres élèves de B : non ! non ! c'est sûr, il faut jouer Il faut accepter sinon ils vont marquer des points ! …

17 ULYSSEqui dira vingt417 Schéma de la situation de preuves 3 41 Milieu Mêmes informations Opinions Preuves Énoncé sur le milieu Proposant Opposant

18 ULYSSEqui dira vingt418 Études sur la situation de preuve 3 La leçon dure environ 1 heure. A la fin les élèves connaissent les nombres gagnants (à cause du jeu à deux équipes). La plupart connaissent le raisonnement réitéré pour établir tous les « théorèmes ». La leçon dure environ 1 heure. A la fin les élèves connaissent les nombres gagnants (à cause du jeu à deux équipes). La plupart connaissent le raisonnement réitéré pour établir tous les « théorèmes ». On a observé un engagement très vif des élèves dans chacune des phases. Un grand nombre de prises de parole, de contestations, dexemples et de contre-exemples, de défis et d retraits. On a observé un engagement très vif des élèves dans chacune des phases. Un grand nombre de prises de parole, de contestations, dexemples et de contre-exemples, de défis et d retraits. La principale difficulté pour le professeur est de distribuer la parole en fonction du déroulement du débat et non en fonction de la valeur des arguments ou des conclusions. La principale difficulté pour le professeur est de distribuer la parole en fonction du déroulement du débat et non en fonction de la valeur des arguments ou des conclusions. Les élèves apprennent les règles de largumentation: lécoute de lautre, la prise de parole régulée, la connaissance de létat de ce qui est discuté, larticulation des déclarations… Les élèves apprennent les règles de largumentation: lécoute de lautre, la prise de parole régulée, la connaissance de létat de ce qui est discuté, larticulation des déclarations… Ils apprennent aussi à déceler et à écarter les arguments rhétoriques non logiques Ils apprennent aussi à déceler et à écarter les arguments rhétoriques non logiques

19 ULYSSEqui dira vingt419 Conclusions et suites Les phases de cette leçon illustrent Les phases de cette leçon illustrent trois types de situations auxquelles correspondent trois types de situations auxquelles correspondent trois types de manifestations de la pensée et du langage mathématique, trois types de manifestations de la pensée et du langage mathématique, et trois types dapprentissages distincts (Bateson) et trois types dapprentissages distincts (Bateson) Réf. Tableaux SA (action), SF (com, form), SV (arg, preuv) Réf. Tableaux SA (action), SF (com, form), SV (arg, preuv) Voir : comment dériver une situation dun théorème ou dune définition Voir : comment dériver une situation dun théorème ou dune définition

20 ULYSSE qui dira vingt Comparaison de deux utilisations didactiques du problème « qui dira 20? »

21 ULYSSEqui dira vingt421 Études de deux utilisations didactiques du même problème mathématique Deux utilisations de ce problème par les professeurs ont été soigneusement définies, contrôlées et comparées. Deux utilisations de ce problème par les professeurs ont été soigneusement définies, contrôlées et comparées. Stratégie 1. « Ouverte » (5 classes 101 élèves), conforme à lexposé de la situation ci-dessus Stratégie 1. « Ouverte » (5 classes 101 élèves), conforme à lexposé de la situation ci-dessus Stratégie 2. « Fermée » (5 classes 106 élèves), pas de phase de formulation ni de validation. Après le jeu à 1 contre 1, la découverte est dirigée par le maître qui fait formuler ou formule lui- même les explications. Stratégie 2. « Fermée » (5 classes 106 élèves), pas de phase de formulation ni de validation. Après le jeu à 1 contre 1, la découverte est dirigée par le maître qui fait formuler ou formule lui- même les explications. Il sagit donc dun exposé classique dun problème et de sa solution Les observateurs ont interrogé les élèves de diverses manières et effectué de nombreuses comparaisons Les observateurs ont interrogé les élèves de diverses manières et effectué de nombreuses comparaisons sur leurs connaissances, sur leur conviction, …: sur leurs connaissances, sur leur conviction, …: le jour même, le lendemain et un mois après le jour même, le lendemain et un mois après Sur la situation C20-3 mais aussi sur C25-3, C24-3, C9-3, C33-5 Sur la situation C20-3 mais aussi sur C25-3, C24-3, C9-3, C33-5

22 ULYSSEqui dira vingt422 Extraits des Conclusions « la stratégie II (où les maîtres placent les élèves dans une situation de faible incertitude), offre le jour même de meilleurs résultats (que I). L'autorité du maître a une réelle efficacité pour une mémorisation et une conviction. « la stratégie II (où les maîtres placent les élèves dans une situation de faible incertitude), offre le jour même de meilleurs résultats (que I). L'autorité du maître a une réelle efficacité pour une mémorisation et une conviction. Mais déjà le lendemain les résultats chutent alors quils se maintiennent et saméliorent pour les élèves I. Mais déjà le lendemain les résultats chutent alors quils se maintiennent et saméliorent pour les élèves I. La conviction transmise par le professeur diminue avec le temps, peut être parce quelle n'engage pas l'adhésion des élèves. La conviction transmise par le professeur diminue avec le temps, peut être parce quelle n'engage pas l'adhésion des élèves. Au bout dun mois les élèves de la stratégie I ont amélioré leurs résultats, contrairement aux autres. Au bout dun mois les élèves de la stratégie I ont amélioré leurs résultats, contrairement aux autres. La situation pédagogique basée sur la transmission directe du savoir de l'initiateur à l'initié obtient dans un temps de leçon plus restreint, un meilleur apprentissage, mais aussi une perte rapide de mémorisation et une moindre faculté de transfert dans premiers jours. Elle ne s'améliorera qu'avec le temps. La situation pédagogique basée sur la transmission directe du savoir de l'initiateur à l'initié obtient dans un temps de leçon plus restreint, un meilleur apprentissage, mais aussi une perte rapide de mémorisation et une moindre faculté de transfert dans premiers jours. Elle ne s'améliorera qu'avec le temps. Le temps que l'on croit gagner, en réalité est perdu. Le temps que l'on croit gagner, en réalité est perdu.

23 ULYSSEqui dira vingt423 « A laide d'une échelle de la certitude, nous avons pu avancer certaines conjectures : « A laide d'une échelle de la certitude, nous avons pu avancer certaines conjectures : Les enfants de la stratégie I sont plus aptes à élaborer un raisonnement mathématique et ils acquièrent une certitude d'autant plus forte qu'ils se trouvent plus aptes à le traduire dans leur discours pour bâtir un raisonnement nouveau. Les enfants de la stratégie I sont plus aptes à élaborer un raisonnement mathématique et ils acquièrent une certitude d'autant plus forte qu'ils se trouvent plus aptes à le traduire dans leur discours pour bâtir un raisonnement nouveau. Les enfants de la stratégie II atteignent un niveau de certitude moins élevé, bien qu'en un premier temps au moment des acquisitions, leur certitude soit meilleure » Les enfants de la stratégie II atteignent un niveau de certitude moins élevé, bien qu'en un premier temps au moment des acquisitions, leur certitude soit meilleure » Les observateurs signalent limportance de ce qui se passe autour du théorème 8, résistance chez les élèves du groupe I, baisse sensible des résultats pour le groupe II. Les observateurs signalent limportance de ce qui se passe autour du théorème 8, résistance chez les élèves du groupe I, baisse sensible des résultats pour le groupe II. Il sagit en fait dun conflit entre deux modèles Il sagit en fait dun conflit entre deux modèles Mais la stratégie mise en place par les maîtres en situation fermée est aussi élaborée par une partie des enfants en situation ouverte, et pour ceux là, dès le théorème 11 acquis. Le théorème 8 acquis, le processus saccélère Mais la stratégie mise en place par les maîtres en situation fermée est aussi élaborée par une partie des enfants en situation ouverte, et pour ceux là, dès le théorème 11 acquis. Le théorème 8 acquis, le processus saccélère

24 ULYSSE qui dira vingt De « Qui dira 20? » à… la division Un Curriculum insolite dans lenseignement des mathématiques mais une bonne révision

25 ULYSSEqui dira vingt Qui dira 25 ? 29 ? 30 ? (sans changer le pas). 1. Qui dira 25 ? 29 ? 30 ? (sans changer le pas). a) Qui dira 25 ? a) Qui dira 25 ? Les enfants reprennent le jeu 2 par 2 (comme pour la course à 20) en notant chaque fois les nombres qu'ils énoncent. Les enfants reprennent le jeu 2 par 2 (comme pour la course à 20) en notant chaque fois les nombres qu'ils énoncent. Cinq minutes après le commencement de la partie à 2, la majorité des enfants a demandé que l'on arrête le jeu à 2 parce qu'ils avaient trouvé « le truc » Cinq minutes après le commencement de la partie à 2, la majorité des enfants a demandé que l'on arrête le jeu à 2 parce qu'ils avaient trouvé « le truc » Un élève a énoncé : Un élève a énoncé : « il suffit de mettre 1 et après, d'aller de 3 en 3 « il suffit de mettre 1 et après, d'aller de 3 en 3 Après une phase de vérification, toute la classe e accepté la proposition. Après une phase de vérification, toute la classe e accepté la proposition. b) Qui dira 29 ? b) Qui dira 29 ? On a procédé de la même manière que pour la course à 25. On a procédé de la même manière que pour la course à 25. Après deux parties de jeu à 2, un élève a énoncé : au lieu de commencer par 1, il faut commencer par 2 et aller de 3 en 3 Après deux parties de jeu à 2, un élève a énoncé : au lieu de commencer par 1, il faut commencer par 2 et aller de 3 en 3 Vérification par la classe. Proposition acceptée. Vérification par la classe. Proposition acceptée.

26 ULYSSEqui dira vingt426 c) Qui dira 30 ? Même déroulement que précédemment. c) Qui dira 30 ? Même déroulement que précédemment. Les enfants ont alors remarqué que la liste des nombres de la course à 20 était la même que celle de la course à 29. Ils ont déduit aussitôt que ce serait la même pour la course à 26, 23, 20, etc. Les enfants ont alors remarqué que la liste des nombres de la course à 20 était la même que celle de la course à 29. Ils ont déduit aussitôt que ce serait la même pour la course à 26, 23, 20, etc. 2 Même jeu en changeant le pas : qui dira 30?, 38, 40, etc. 2 Même jeu en changeant le pas : qui dira 30?, 38, 40, etc. II s'agit de trouver avant l'adversaire par quel nombre il faut commencer. Les enfants le cherchent par soustractions successives du « pas ». II s'agit de trouver avant l'adversaire par quel nombre il faut commencer. Les enfants le cherchent par soustractions successives du « pas ». Ainsi, le jeu " qui dira 428 ? avec un pas de 27 doit être commencé par 23 (on soustrait pour cela 15 fois 27 de 428). 15 est le quotient et 23 le reste de la division de 428 par 27. Ainsi, le jeu " qui dira 428 ? avec un pas de 27 doit être commencé par 23 (on soustrait pour cela 15 fois 27 de 428). 15 est le quotient et 23 le reste de la division de 428 par 27. Cest lancien « piquet à cheval » de nos ancêtres. Cest lancien « piquet à cheval » de nos ancêtres. C'est en raccourcissant cette longue suite de soustractions et grâce à diverses découvertes (en particulier la possibilité de soustraire d'un coup 10, 100, fois le pas) que les enfants réinventent la division. C'est en raccourcissant cette longue suite de soustractions et grâce à diverses découvertes (en particulier la possibilité de soustraire d'un coup 10, 100, fois le pas) que les enfants réinventent la division.

27 ULYSSEqui dira vingt427 La division - Disposition des calculs. Soit à effectuer la division :563. Le dividende est disposé d'abord comme l'indique la figure 1 (sous le poteau de rugby). Soit à effectuer la division :563. Le dividende est disposé d'abord comme l'indique la figure 1 (sous le poteau de rugby). Le quotient sera disposé au-dessus de la barre, Le quotient sera disposé au-dessus de la barre, les restes successifs sous le divi­dende ; les restes successifs sous le divi­dende ; les multiplications auxiliaires se feront à gauche des poteaux. les multiplications auxiliaires se feront à gauche des poteaux. La partie droite sera utilisée pour les décimales La partie droite sera utilisée pour les décimales QUOTIENT DIVISEUR DIVIDENDE Soustractions du diviseur

28 ULYSSEqui dira vingt428 CHIFFRES DU QUOTIENT… CALCULS EN LIGNE RESTE Place pour les décimales Ils peuvent resservir 0 Le chiffre du quotient (ici 1) est placé au-dessus du chiffre des unités du multiple (mille) que l'on soustrait (563), ici le 3.

29 ULYSSE qui dira vingt4 29 FIN de ID2 TSM2


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