3g1 Trigonomètrie cours mathalecran d'après www.mathsenligne.com

I. Rappel B hypoténuse côté opposé à x y x A C côté adjacent à x ABC est un triangle rectangle en A. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Chaque côté de l'angle droit peut être nommé par rapport à l'angle aigu x. Remarque: Par rapport à l'angle aigu y, les côtés opposés et adjacents échangent leur roles.

Activité 1 C O D B A I- On considère la configuration ci-contre. a) Montrer que (AB) // (CD) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Puisque et , alors, (AB) // (CD). (AB)⊥(BD) (CD)⊥(BD) b) Appliquons le théorème de Thalès à cette situation: Dans le triangle OAB, C∈[OA] et D∈[OB] Puisque (AB) // (CD), Alors d’après le théorème de Thalès : OC OA = OD OB = CD AB

Activité 1 C O D B A II- Trigonométrie a) Extraire une égalité de OC OA = OD OB = CD AB II- Trigonométrie a) Extraire une égalité de rapport ne faisant intervenir que les hypoténuses et les côtés adjacents à l'angle x. x OC OA = OD OB Donc, pour un même angle x, côté adjacent hypoténuse le rapport est constant. Transformer cette égalité pour regrouper les côtés de chaque triangle rectangle de chaque côté du signe =. D'aprés le cours de 4°, on l'appelle cosinus de l'angle x OC×OB= OD×OA et on le note cos x. OB OA = OD OC

Activité 1 C O D B A II- Trigonométrie OC OA = OD OB = CD AB II- Trigonométrie b) Effectuer les mêmes calculs qu'au a) avec les hypoténuses et les côtés opposés à l'angle x. x OC OA = CD AB Donc, pour un même angle x, côté opposé hypoténuse le rapport est constant. OC×AB= CD×OA On l'appelle AB OA = CD OC sinus de l'angle x et on le note sin x.

Activité 1 C O D B A II- Trigonométrie OC OA = OD OB = CD AB II- Trigonométrie c) Effectuer les mêmes calculs qu'au a) avec les côtés opposés et les côtés adjacents à l'angle x. x OD OB = CD AB Donc, pour un même angle x, côté opposé côté adjacent le rapport est constant. OD×AB= CD×OB On l'appelle AB OB = CD OD tangente de l'angle x et on le note tan x.

Activité 1 Conclusion: Dans un triangle rectangle où on nomme x un des angles aigus, les rapports suivants ne dépendent que de x: côté adjacent hypoténuse côté opposé hypoténuse côté opposé côté adjacent cos x = ; sin x = ; tan x =

TRIGONOMÉTRIE cours II. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, on peut définir les relations suivantes entre les angles aigus et les différentes longueurs des côtés. côté adjacent hypoténuse côté opposé hypoténuse côté opposé côté adjacent cos x = ; sin x = ; tan x = Moyen mnémotechnique : Remarque : « CAH-SOH-TOA » est le mot magique: L'hypoténuse est toujours le plus grand côté donc côté Adjacent CAH  Cos x = Hypoténuse le sinus et le cosinus d’un angle sont toujours côté Opposé inférieurs à 1. SOH  Sin x = Hypoténuse côté Opposé TOA  Tan x = côté Adjacent

A l’aide de la machine, donner un arrondi au millième de : Activité 3.0  A l’aide de la machine, donner un arrondi au millième de : 0,821 0,25 3,852 0,75 0,75 1 0,957 0,638 12,162 0,019 0,117 0,062

Activité 3.1 : Soit IJK un triangle rectangle en K tel que IJ = 1. a) Ecrire la relation de Pythagore pour IJK. K J I 1 x ........² + ........² = ........² IK KJ IJ ........² + ........² = .....² 1 IK KJ = 1 b) Exprimer cos x et sin x en fonction de IK et JK: KJ KJ cos𝑥= …… …… = …… …… =…… KJ ; IJ 1 IK IK sin𝑥= …… …… = …… …… =…… IK . donc, pour tout angle x, IJ 1 sin²x cos²x ........... + ........... = ........ 1

Ecrivons la relation pour 60°: pour tout angle x, sin²x cos²x 1 ........... + ........... = ........ 1 2 Application: Sachant que cos 60° = , donner une valeur exacte de sin² 60° en écriture fractionnaire. Ecrivons la relation pour 60°: Sin² 60° + cos² 60° = 1 1 4 Sin² 60° = 1 - 1 2 2 Sin² 60° + = 1 4−1 4 Sin² 60° = 1 4 Sin² 60° + = 1 3 4 Sin² 60° =

Activité 3.2 : Soit ABC un triangle rectangle en A. 1 x Compléter avec AB, AC, BC. sin𝑥 cos𝑥 = …… …… …… …… = ……×…… ……×…… = …… …… AB BC AB BC AB AC BC AC AC BC tan𝑥= …… …… AB AC donc, pour tout angle x, …………= ………… ………… sin x tan x cos x

III. Formules trigonométriques. cours III. Formules trigonométriques. Pour tout angle x, les égalités suivantes sont toujours vraies : cos²x + sin²x = 1 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬𝐱 tan x =