Des cubes à tous les étages Solutions de la semaine 2 et nouveaux défis    Préambule — Note à l’attention de l’enseignant Ce diaporama est destiné à proposer une démarche pour exploiter un problème mathématique mettant notamment en jeu: -la compréhension des énoncés (diversité des situations successives); -la capacité à situer des objets dans l’espace tout en mettant en jeu des petites collections d’objets; -la capacité à planifier une tâche pour répondre à une question posée (méthodologie). Les diapositives que vous projetterez à vos élèves ont pour principale fonction de proposer un support de réflexion évolutif et visible simultanément par chacun. L’ensemble est modulable à souhait et chaque diapositive peut ainsi être modifiée, déplacée, reproduite ou supprimée, par exemple. Des propositions de mise en œuvre vous sont faites dans l’espace "commentaires". Elles sont centrées ici sur des tâches individuelles avec un support de référence collectif (frontal). Ceci n’interdit pas de proposer des situations en petits groupes. Celles qui sont entre guillemets et en caractère gras constituent des suggestions pour s’adresser aux élèves (explications, consignes, étayages éventuels,…) Pour ce problème, les élèves ont besoin de leur ardoise et de la feuille avec les schémas des constructions proposée en pièce jointe. IMPORTANT: pour vous faciliter la lecture de ces commentaires lors de la projection en format PPT (Power-Point), il est possible de faire apparaître ces derniers en même temps que la diapositive à l’écran de l’ordinateur, alors que seule s’affichera la diapositive à la projection. Pour cela: - Connecter l’ordinateur à un vidéo projecteur et suivre le pas à pas ci-dessous - En haut du clavier, appuyer sur la touche F (touche fonction) dédiée au projecteur (souvent touche F7) - choisir "Etendre"  - Ouvrir le diaporama - Cliquer sur l’onglet "Diaporama" - A droite dans le menu, cocher "Utiliser le mode présentateur" - Lancer le diaporama Le texte des commentaires n’apparaît que sur l’écran de l’ordinateur. Attention, le curseur de la souris peut se déplacer sur les deux écrans

Combien y a-t-il de cubes dans cette construction? « Voici des cubes disposés un peu comme une pyramide. Cherchez de combien de cubes elle est composée. Pouvez-vous écrire sur votre ardoise le nombre trouvé? » Cliquer et l’ardoise apparaît. Après la recherche, cliquer pour passer à la diapo suivante. NB: l’emploi de l’ardoise, suggéré ici dans différentes situations, a plusieurs avantages. - La mobilisation de l’attention de tous - La participation intellectuelle active de chacun au sein d’une phase collective - La visualisation en direct des réussites et des obstacles, au profit de l’exploitation des réponses (prise en compte des erreurs, de la diversité des procédures, point de départ pour susciter des échanges entre pairs,…) - L’efficience du rythme de la séance L’image de l’ardoise dans un coin de la diapositive vous suggérera son utilisation.

Combien de cubes? Vérifions! « Maintenant, prenez votre feuille (Construction n°1, la même que celle qui est projetée), et trouvez un moyen pour vérifier s’il y a bien 10 cubes ». Il est par exemple possible pour cela de les numéroter (aucun ordre de numérotage n’est requis) ou de faire des groupements.

Et dans cet assemblage, combien de cubes ?  9 Même question avec ce nouvel assemblage de cubes. « Voici des cubes disposés d’une autre manière. Cherchez de combien de cubes elle est composée. Pouvez-vous écrire sur votre ardoise le nombre trouvé? » Une fois la réponse validée après analyse des réponses, cliquer ensuite pour faire apparaître la réponse à l’écran (9).

5+3+1=9 Combien d’étages (niveaux) ? 3 Et combien de cubes à chaque "étage" ? B C D E F G I H A 5+3+1=9 F 1 cube BDG 3 cubes « Maintenant, on sait qu’il y a 9 cubes au total dans cette construction. Regardez bien et inscrivez sur votre ardoise combien d’étages il y a. » Une fois la réponse validée après analyse des réponses, cliquer ensuite pour faire apparaître la réponse à l’écran. « Maintenant, nous allons chercher combien de cubes on peut dénombrer à chaque étage » Cliquer une deuxième fois pour faire apparaître la question. « Pour chercher ensemble la solution, vous pouvez d’abord indiquer sur votre ardoise les lettres des cubes: - Qui touchent la table; - Puis celles qui sont juste au dessus, au deuxième étage; - Enfin celle(s) au sommet » À chaque réponse validée et après analyse des réponses, cliquer ensuite pour faire apparaître la réponse à l’écran. Cliquer encore une fois pour la vérification: il y a bien 9 cubes (5+3+1) A C E H I 5 cubes

Puis coloriez en rouge les cubes du niveau 1. Prenez votre feuille. Puis coloriez en rouge les cubes du niveau 1. « Maintenant, prenez votre feuille (Construction n°2), nous allons vérifier ensemble que chacun peut maintenant répondre à ces questions. Vous y trouvez cette construction. Cliquer ensuite pour faire apparaître la question. Coloriez en rouge tous les cubes qui touchent le sol, ceux qui sont au niveau 1 (c’est la même disposition que sur la photo mais sous un angle un peu différent)» Après exploitation classique de ce travail sur feuille (éventuelles aides ciblées durant celui-ci, notamment relatives à la planification de la tâche), il est possible de demander aux élèves de montrer leur feuille à la manière de l’ardoise (dérivé du procédé Lamartinière) avant de passer aux questions suivantes, qui viennent après visualisation de la  "solution" dans la diapo suivante. NB: il est possible d’exploiter ce procédé en début d’exercice pour vérifier la compréhension de la consigne: demander alors aux élèves de colorier un cube du niveau 1 puis de lever leur feuille. La visualisation en direct d’un extrait de la tâche à accomplir est un bon indicateur.

Vérifiez votre réponse pour le niveau 1. Puis coloriez en bleu les cubes du niveau 2. Selon la même modalité: « Maintenant: -vérifiez si vous avez bien répondu, prenez votre temps. » Un retour sur les réponses erronées est possible à ce moment. Cliquer ensuite pour faire apparaître la question. « Reprenez votre feuille et coloriez en bleu tous les cubes du niveau 2, juste au dessus de ceux qui touchent le sol».

Vérifiez votre réponse pour le niveau 2. Combien en reste-t-il au niveau 3 (le sommet)? Selon la même modalité: « Maintenant: -vérifiez si vous avez bien répondu, prenez votre temps. » Un retour sur les réponses erronées est aussi possible à ce moment. Cliquer ensuite pour faire apparaître la question. « Avec vos doigts, indiquez-moi combien il y a de cubes au sommet (niveau 3)».

Et dans la première construction, combien de cubes à chaque "étage" ? 4+3+2+1=10 D 1 cube B C D E F G I H A C E 2 cubes B H F 3 cubes « Revenons sur la première construction ("pyramide"). Nous allons y ajouter des lettres comme tout à l’heure ». Cliquer pour faire apparaître les lettres. « Maintenant, nous allons chercher combien de cubes on peut dénombrer à chaque étage » « Pour chercher ensemble la solution, vous pouvez d’abord indiquer sur votre ardoise les lettres des cubes: - Qui touchent la table; - Puis celles qui sont juste au dessus, au deuxième étage; - Puis celles qui sont encore au dessus, au troisième étage; - Enfin celle(s) au sommet. » À chaque réponse validée et après analyse des réponses, cliquer ensuite pour faire apparaître la réponse à l’écran. Cliquer encore une fois pour la vérification: il y a bien 10 cubes (4+3+2+1). NB: avec la disposition en quinconce, on ajoute un cube à chaque étage. A G H I 4 cubes

Puis coloriez en rouge les cubes du niveau 1. Prenez votre feuille. Puis coloriez en rouge les cubes du niveau 1. Idem que diapo 6 et suivantes « Maintenant, prenez votre feuille (Construction n°1), nous allons vérifier ensemble que nos réponses sont correctes. Vous y trouvez cette construction. » Cliquer ensuite pour faire apparaître la question. « Coloriez en rouge tous les cubes qui touchent le sol, ceux qui sont au niveau 1» Après exploitation classique de ce travail sur feuille (éventuelles aides ciblées durant celui-ci, notamment relatives à la planification de la tâche), il est possible de demander aux élèves de montrer leur feuille à la manière de l’ardoise (dérivé du procédé Lamartinière) avant de passer aux questions suivantes, qui viennent après visualisation de la  "solution" dans la diapo suivante. NB: il est possible d’exploiter ce procédé en début d’exercice pour vérifier la compréhension de la consigne: demander alors aux élèves de colorier un cube du niveau 1 puis de lever leur feuille. La visualisation en direct d’un extrait de la tâche à accomplir est un bon indicateur.

Vérifiez votre réponse pour le niveau 1. Puis coloriez en bleu les cubes du niveau 2. Selon la même modalité: « Maintenant: -vérifiez si vous avez bien répondu, prenez votre temps. » Un retour sur les réponses erronées est possible à ce moment. Cliquer ensuite pour faire apparaître la question. « Reprenez votre feuille et coloriez en bleu tous les cubes du niveau 2, juste au dessus de ceux qui touchent le sol».

Vérifiez votre réponse pour le niveau 2. Puis coloriez en vert les cubes du niveau 3. Selon la même modalité: « Maintenant: -vérifiez si vous avez bien répondu, prenez votre temps. » Un retour sur les réponses erronées est possible à ce moment. « Reprenez votre feuille et coloriez en vert tous les cubes du niveau , juste au dessus de ceux du niveau 2».

Vérifiez votre réponse pour le niveau 3. Combien en reste-t-il au niveau 4 (le sommet)? Selon la même modalité: « Maintenant: -vérifiez si vous avez bien répondu, prenez votre temps. » Un retour sur les réponses erronées est aussi possible à ce moment. Cliquer ensuite pour faire apparaître la question. « Avec vos doigts, indiquez-moi combien il y a de cubes au sommet (niveau 4) Maintenant, rangez votre feuille et regardez bien la diapositive suivante».

Combien y a-t-il de cubes dans cette boîte? 30 « Regardez bien cette boîte de cubes Combien y en a-t-il?». Cliquer pour faire apparaître la seconde phrase: « Il y a au moins deux manières d’y parvenir » -Soit en dénombrant (1 par 1 ou de 2 en 2); -Soit en multipliant "longueur" par "largeur" (NB: classification Vergnaud: problème multiplicatif de configuration rectangulaire); -Ou encore en tentant de faire des regroupements de 5 (mais peu aisé à partir du cinquième). « Inscrivez votre réponse sur l’ardoise ». Cliquer pour faire apparaître la réponse. Il y a au moins deux manières d’y parvenir

Si on les empilait à la manière d’une "pyramide"? 30 cubes De cette manière là en ajoutant des "étages" tant qu’il reste suffisamment de cubes… Combien d’étages (niveaux) peut-on réaliser ? etc « Maintenant nous savons qu’il y a 30 cubes dans la boîte. Avec ces 30 cubes, combien d’étages peut-on réaliser en disposant les cubes de cette façon ?». Cliquer pour faire apparaître le modèle de disposition. « Vous pouvez faire un schéma » « Inscrivez votre réponse sur l’ardoise ». Analyse des diverses réponses et stratégies, puis cliquer pour vérification à la diapo suivante.

Vérification de la réponse Puis cliquer pour une autre question: « Combien de cubes n’ont pas été utilisés? » (NB; classification Vergnaud: problème additif de composition d’états)   Combien de cubes n’ont pas été utilisés?

Quelle est la hauteur de cette construction? Pour aller plus loin... Pour aller plus loin… Il est possible de poser ce problème du domaine « Grandeurs et mesures » dont les données sont à chercher. NB: la prochaine diapositive peut servir de vérification, mais aussi tenir lieu de différenciation pédagogique. Quelle est la hauteur de cette construction?

Vérification de la réponse NB: cette diapositive peut servir de vérification, mais aussi tenir lieu de différenciation pédagogique. Cliquer pour afficher la réponse (28 cm). La hauteur de cette construction est de 28 cm.

BRAVO!!! Des cubes à tous les étages Cliquer pour faire apparaître « Bravo !!! »