Les nombres complexes (2) Forme trigonométrique - Forme exponentielle – Applications à la géométrie. Cliquer ici pour commencer H. Abderrahim

Question 1 Soit le nombre complexe 𝑧=−3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 +𝑖 Question 1 Soit le nombre complexe  𝑧=−3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 +𝑖.𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 Pour chacune des propositions ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse (justification exigée). 1. arg 𝑧 ≡ 𝜋 6 (𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 2𝜋) 2. Une forme trigonométrique de −𝑧 est : −𝑧=3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 +𝑖.𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 3. 𝑧 =3 4. 𝑧=3 𝑐𝑜𝑠 7𝜋 6 +𝑖.𝑠𝑖𝑛 7𝜋 6 5. 1 𝑧 = 1 3 𝑐𝑜𝑠 5𝜋 6 +𝑖.𝑠𝑖𝑛 5𝜋 6 Voir le corrigé H. Abderrahim

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1. −3<0⟹𝑧 n’est pas sous sa forme trigonométrique Corrigé de la question 1 1. −3<0⟹𝑧 n’est pas sous sa forme trigonométrique donc 1. est fausse 2. 𝑧=−3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 +𝑖.𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 ⟹−𝑧=3 𝑐𝑜𝑠 𝜋 6 +𝑖.𝑠𝑖𝑛 𝜋 6 donc 2. est correcte 3. On a 𝑧 = −𝑧 =3 ( d ′ après 2.) donc 3. est correcte 4. On a 𝑧 = −𝑧 =3 et 𝑎𝑟𝑔 𝑧 ≡𝑎𝑟𝑔 −𝑧 +𝜋 (𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 2𝜋)≡ 7𝜋 6 donc 4. est correcte 5. On a 1 𝑧 = 1 𝑧 = −𝑧 = 1 3 et 𝑎𝑟𝑔 1 𝑧 ≡−𝑎𝑟𝑔 𝑧 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 2𝜋 ≡− 7𝜋 6 ≡ 5𝜋 6 ⟹ 1 𝑧 = 1 3 𝑐𝑜𝑠 5𝜋 6 +𝑖.𝑠𝑖𝑛 5𝜋 6 donc 5. est correcte Revenir à la question en cours Passer à la question suivante H. Abderrahim

Question 2 𝑧 1 = 𝑒 𝑖 𝜋 3 , 𝑧 2 =2 𝑒 −𝑖 𝜋 6 et 𝑧 3 = 3 𝑒 −𝑖 7𝜋 6 Parmi les propositions ci-dessous, choisir celles qui vous semblent correctes en fournissant la justification. 1. 𝑧 1 𝑧 2 =2 𝑒 𝑖 𝜋 6 2. 𝑧 1 𝑧 2 = 1 2 𝑒 𝑖 𝜋 6 3. (𝑧 1 ) 3 =1 4. ( 𝑧 3 )= 3 𝑒 −𝑖 5𝜋 6 5. 𝑧 1 𝑧 2 𝑧 3 = 3 𝑒 −𝑖 7𝜋 6 Voir le corrigé H. Abderrahim

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Corrigé de la question 2 Rappels du cours 𝑧𝑧′ = 𝑧 × 𝑧′ et 𝑎𝑟𝑔 𝑧𝑧′ ≡𝑎𝑟𝑔 𝑧 +arg 𝑧′ 2𝜋 𝑧 𝑧′ = 𝑧 𝑧′ et 𝑎𝑟𝑔 𝑧 𝑧′ ≡𝑎𝑟𝑔 𝑧 −arg 𝑧′ 2𝜋 donc 1. est correcte 2. est fausse 3. est fausse 4. est correcte 5. est fausse Revenir à la question en cours Passer à la question suivante H. Abderrahim

Question 3 Soit les points 𝐴 1 et 𝐵 −1 et l’application 𝑓:𝑀 𝑧≠1 ↦𝑀′ 𝑧 ′ = 𝑧−1 1− 𝑧 Parmi les propositions ci-dessous, choisir celles qui vous semblent correctes en fournissant la justification. 1. Le point 𝑸 𝟐−𝒊 e𝐬𝐭 𝐥𝐞 𝐬𝐞𝐮𝐥 𝐚𝐧𝐭é𝐜é𝐝𝐞𝐧𝐭 𝐝𝐮 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭 𝑸′ 𝒊 2. Le point 𝑩 a 𝐩𝐨𝐮𝐫 𝐬𝐞𝐮𝐥 𝐚𝐧𝐭é𝐜é𝐝𝐞𝐧𝐭 𝟎 3. Tous les points de la droite d’équation 𝒙=𝟏 et distincts de A ont la même image par 𝒇 4. 𝑴′ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 5. Si 𝑴≠𝑨 et 𝑴′≠𝑩 alors on a: 𝑨𝑴 ⊥ 𝑩𝑴′ Voir le corrigé H. Abderrahim

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Corrigé de la question 3 1. 𝑧 ′ = 𝑧−1 1− 𝑧 =i⇔𝑧−1=𝑖−𝑖 𝑧 ⇔z+i 𝑧 =1+i⇔𝑥+𝑦=1 donc 𝑄 ′ est un antécédent de 𝑄 (2-1=1) mais pas le seul donc 1. est fausse 2. 𝑧 ′ = 𝑧−1 1− 𝑧 =−1⇔𝑧−1=−1+ 𝑧 ⇔z= 𝑧 ⇔𝑧 est réel donc 0 est un antécédent de 𝐵 mais pas le seul donc 2. est fausse 3. On a: 𝑧=1+𝑖𝑦⟹𝑧 ′ = 1+𝑖𝑦−1 1−1+𝑖𝑦 = 𝑖𝑦 𝑖𝑦 =1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑦≠0;𝑠𝑎𝑢𝑓 𝐴 donc 3. est correcte 4. On a: 𝑧′ = 𝑧−1 1− 𝑧 = 𝑧−1 𝑧 −1 = 𝑧−1 𝑧−1 =1 donc 𝑂𝑀′=1 donc 4. est correcte 5. On a, 𝑧 ′ +1 𝑧−1 = 𝑧−1 1− 𝑧 𝑧−1 = 1 1− 𝑧 n’est pas nécessairement imaginaire pur donc 5. est fausse Revenir à la question en cours Passer à la question suivante H. Abderrahim

Question 4 L’ensemble de points 𝑀 𝑧 tels que : 1. 𝑧−2−𝑖 = 5 est le cercle de centre A et de rayon OA 2. 𝑧−2−𝑖 = 𝑧+1+𝑖 est la médiatrice de segment 𝐴𝐵 3. arg 𝑧−2−𝑖 = 𝜋 2 2𝜋 est la droite d’équation: 𝑥=2 4. arg 𝑧−2−𝑖 𝑧+1+𝑖 = 𝜋 2 2𝜋 est le cercle de diamètre 𝐴𝐵 \ 𝐴,𝐵 5. 𝑧−2−𝑖 𝑧+1+𝑖 est réel est la droite 𝐴𝐵 \ 𝐵 Voir le corrigé H. Abderrahim

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Corrigé de la question 4 1. 𝒛−𝟐−𝒊 = 𝟓 ⟺𝑨𝑴=𝐎𝐀 donc l’ensemble de points M est le cercle de centre A et de rayon OA donc 1. est correcte 2. 𝒛−𝟐−𝒊 = 𝒛+𝟏+𝒊 ⟺𝑨𝑴=𝐁𝐌 donc l’ensemble de points M est la médiatrice de segment 𝑨𝑩 donc 2. est correcte 3. 𝒛=𝟓−𝟑𝒊⟺ 𝒖 , 𝑨𝑴 ≡ 𝝅 𝟐 𝟐𝝅 donc l’ensemble de points 𝑴 𝒙,𝒚 vérifie : 𝒙=𝟐 𝒚>𝟏 c’est l’une des demi-droites d’origine A et portées par la droite : 𝒙=𝟐 𝒑𝒓𝒊𝒗é 𝒅𝒆 𝑨 donc 3. est fausse 4. arg 𝐳−𝟐−𝒊 𝐳+𝟏+𝒊 = 𝝅 𝟐 𝟐𝝅 ⟺ 𝑩𝑴 , 𝑨𝑴 ≡ 𝝅 𝟐 𝟐𝝅 donc l’ensemble de points M est l’arc 𝑨𝑩 du cercle de diamètre 𝑨𝑩 situé au dessus de 𝑨𝑩 et privé de A et B. donc 4. est fausse 5. 𝐳−𝟐−𝒊 𝐳+𝟏+𝒊 est réel ⟺ 𝑨𝑴 et 𝑩𝑴 sont colinéaires et 𝑴≠𝑩 donc donc l’ensemble de points M est la droite 𝑨𝑩 et privée de B. donc 5. est correcte Revenir à la question en cours Passer à la question suivante H. Abderrahim

Question 5 Les points A,B,C,D et E  d’affixes respectives a, b, c, d et e sont situés sur le cercle de diamètre [AB] centré en F.      Pour chacune des propositions ci-dessous, dire si elle est vraie ou fausse (justification exigée).                                            1. 𝑎+𝑏=0 2. 𝑏−𝑐 𝑎−𝑐 est imaginaire pur 3. arg 𝑏−𝑎 𝑒−𝑎 ≡arg 𝑒−𝑐 𝑏−𝑐 2𝜋 4. 𝑐−𝑒= 𝑑 − 𝑒 5. 𝑎+𝑒+𝑐+𝑑=2 Voir le corrigé H. Abderrahim

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Corrigé de la question 5 donc 5. est fausse 1. 𝒂+𝒃=𝟎 ⇔ 𝒂+𝒃 𝟐 =𝟎⇔𝑨∗𝑩=𝑶 : ce qui est faux donc 1. est fausse 2. 𝒃−𝒄 𝒂−𝒄 est imaginaire pur ⟹ 𝑪𝑨 ⊥ 𝑪𝑩 et 𝑨≠𝑪 : ce qui est vrai car 𝑨𝑩 est un diamètre donc 2. est correcte 3. 𝐚𝐫𝐠 𝒃−𝒂 𝒆−𝒂 ≡𝐚𝐫𝐠 𝒆−𝒄 𝒃−𝒄 𝟐𝝅 ⟺ 𝑨𝑬 , 𝑨𝑩 ≡ 𝑪𝑩 , 𝑪𝑬 𝟐𝝅 ⟺ 𝑪𝑬 , 𝑪𝑩 ≡ 𝑪𝑩 , 𝑪𝑬 𝟐𝝅 : ce qui est faux donc 3. est fausse 4. 𝒄−𝒆= 𝒅 − 𝒆 : on a 𝑪 et 𝑫 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses donc 𝒄= 𝒅 mais 𝒆≠ 𝒆 car 𝑬 n’est pas sur (xx’) donc 4. est fausse 5. 𝒂+𝒆+𝒄+𝒅= 𝒂+𝒆 + 𝒄+𝒅 =𝟐rel 𝑨 +2rel 𝑪 =𝟐×𝟎+𝟐×𝟏=𝟐 donc 5. est fausse Revenir à la question en cours Quitter Revenir à la question1 H. Abderrahim