Réflexions didactiques sur une expérience d'enseignement en analyse mathématique Jacques BAIR HEC-Ecole de Gestion

Plan sommaire Projet FNRS Evolution historique en mathématiques Besoins en économie Analyse non standard Narration de recherche

1.Projet FNRS (FRFC – Pédagogie) « Etude de l’évolution entre compétences langagières et compétences mathématiques dans le cadre des activités d’apprentissage lors de la transition secondaire-université dans les cours de mathématiques »

Centres associés (CREM) UMH (Chr. Michaux) FUNDPN (M. Schneider) HERS (A. Pétry) ULg (J. Bair – V. Henry)

2. Evolution historique et schématique du concept d’ip Fermat : f(a+e) ~ f(a) Huygens : infiniment petit Newton – Leibniz : naissance de l’analyse 18ème siècle : développement de l’analyse de base et abandon progressif du concept d’ip

Un exemple : définition d’une limite

3. Besoins en économie Cournot : introduction de l’analyse mathématique en économie Théories marginalistes en microéconomie

4. Avènement de l’ANS Théorie constructiviste de Robinson (les hyperréels : une extension des réels) Autres approches : Nelson (plongement dans les réels), Tall (superréels), Henle- Kleinberg (langage logique), Keisler (approche pédagogique et axiomatique),…

« Questions de didactique soulevées par un enseignement de l’analyse non- standard à de futurs économistes » V. Henry Retour aux sources historiques Approche intuitive (droite numérique hyperréelle, microscopes et télescopes virtuels) Approche conforme aux raisonnements des utilisateurs Contexte nouveau, avec moins de formalisme

5. Narrations de Recherche IREM en France Expériences à Liège et à Luxembourg Publication de la SBPMef par J. Bair, V. Henry et J.C. Delagardelle

Définitions Narration : exposé écrit et détaillé d’une suite de faits, dans une forme littéraire (Petit Robert) Travail scolaire consistant en un exposé détaillé, écrit par un élève, d’une suite d’actions, qu’il a réalisées au cours de la recherche d’un problème de mathématiques (L.C. Paès)

Difficultés potentielles Choix du sujet Investissement temporel (apprenants, enseignant) Nouveau type de contrat didactique Institutionnalisation Evaluation (formative, qualitative)

Quelques avantages pour les apprenants Historique des recherches Effort personnel pris en compte (pas de « feuille blanche »), d’où motivation et volition, … Travail (individuel ou collectif) à son propre rythme, avec ses propres cadres et registres Démarche socio-constructiviste interactive Développement de compétences telles que communiquer à l’aide du langage mathématique, rédiger, argumenter, …