Problème d'ordonnancement

Présentation au sujet: "Problème d'ordonnancement"— Transcription de la présentation:

1 Problème d'ordonnancement
Recherche du plus long chemin dans un réseau. Outil de gestion de projet : algorithme de Ford pour la recherche d’un chemin critique et le calcul de la durée minimale d’un projet. Méthodes permettant de comprimer la durée d’un projet au moindre coût. La méthode PERT : durée aléatoire des tâches. Le contrôle des coûts vs le respect des délais imposés. Exemples.

2 Introduction L’instinct et le geste impulsif ont fréquemment cédé le pas à l’action réfléchie et au geste planifié. La planification ne date pas de la vie moderne : la construction de l’Arche de Noé : réussite. l’édification de la tour de Babel : non menée à terme. Pour les projets complexes exigeant de grands moyens, faisant intervenir un grand nombre de personnes, et dont le caractère est non répétitif, on doit penser à : - préciser l'objectif; - déterminer les opérations ou les tâches nécessaires à réaliser; - estimer la durée et les ressources exigées par chaque tâche; - estimer les risques et prévoir les marges nécessaires pour les pallier; - calculer la durée totale et le coût total du projet; - dresser un calendrier d'échelonnement des tâches.

3 1er problème Dans la planification d’un projet impliquant plusieurs tâches, exigeant chacune un temps d’exécution et reliées entre elles selon un ordre de précédence, on cherche le temps minimum d’achèvement du projet. On s’intéresse à la recherche du plus long chemin dans un réseau. Voici un exemple d’application : chemin critique Une compagnie désire mettre en exploitation un nouveau gisement minier. Les opérations suivantes doivent être réalisées : Durée (jours) a. Obtention d’un permis d’exploitation 180 Construction d’une piste entre route et site 120 Installation de deux sondeuses Érection de baraques provisoires Asphaltage de la piste Adduction d’eau

4 Durée (jours) g. Campagne de sondages h. Fonçage et équipement des puits 120 i. Installation au fond du matériel d’exploitation 42 j. Construction de logements pour le personnel 150 k. Traçage et aménagement du fond l. Construction d’une laverie Relations d’antériorité : b doit être précédée de a et suivie des opérations c, d, e, f. c et d précèdent g. e, f et g précèdent h et j. h et j précèdent i, k et l.

5 Construction d’un graphe simple appelé diagramme PERT
Les arcs seront les opérations et les sommets seront des événements (l’achèvement de certaines tâches) liés à ces opérations. c, 7 g, 210 i, 42 d, 21 a, 180 b, 120 e, 30 h, 120 k, 330 D F j, 150 l, 210 f, 60 D  début des opérations F  fin des opérations Ce diagramme n’est pas un graphe simple à cause des opérations parallèles c, d et e,f et i, k, l resp. Note : Graphe simple : graphe tel qu’il n’y a jamais plus d’un arc allant d’un sommet à un autre.

6 Pourquoi un graphe simple ?
Les algorithmes connus pour trouver un chemin critique nécessitent un graphe simple. Comment convertir ce graphe en un graphe simple ? Prenons par exemple les opérations parallèles c et d. Le moyen le plus simple est de créer un événement fictif et une opération fictive de durée nulle comme ceci : c g d e f n opérations parallèles nécessitent n - 1 sommets fictifs et n-1 opérations fictives de durée nulle.

7 On obtient donc pour le graphe au complet le diagramme PERT
suivant : 5 c, 7 10 4 g, 210 i, 42 d, 21 a, 180 b, 120 h, 120 k, 330 1 2 3 7 9 12 f, 60 e, 30 l, 210 j, 150 6 8 11

8 Prise en compte de différents types d’opérations :
Opérations composées Soit une opération a, constituée des 3 opérations élémentaires successives a1, a2 et a3 de telle sorte que l’opération c suive a1, d suive a2 et b suive a3. Sous forme graphique, on obtient : a1 a2 a3 b c d Cela peut arriver lorsqu’on demande que c ne commence qu’une fois le premier tiers de a effectué et que d ne commence qu’une fois les deux premiers tiers de a effectués. De plus, a précède b. L’opération a est divisée en 3 sous-opérations de durée égale au tiers de celle de a.

9 Opérations dépendantes et indépendantes
Soit, c a d b c et d sont des opérations dépendantes de a et de b. Effectuons le changement suivant : c doit succéder à a, d est dépendante de a et b. Il faut créer un état fictif et une opération fictive de durée nulle : a c b d

10 Limites de démarrage : 1er cas
b Soit le graphe partiel suivant, a c D Suite à des imprévus, l’opération c ne pourra commencer avant t0 unités de temps écoulées depuis le début des travaux. Il faudra donc créer une opération fictive de durée t0 allant du début des travaux au début de c. Puisque b n’est pas astreinte à cette contrainte de démarrage, on doit introduire un sommet fictif libérant b de cette limite de démarrage tout en tenant compte du fait que b et c suivent a. Finalement, on doit prévoir une opération fictive de durée nulle indiquant la dépendance de c envers a.

11 b a c D t0 Limites de démarrage : 2ième cas Pour qu’une tâche i puisse débuter, il est nécessaire que la durée écoulée depuis le début d’une autre tâche k soit au moins égale à une durée donnée tki. On doit ajouter l’arc (k, i) représentant une opération fictive de durée tki.

12 Problème de la recherche du chemin critique
(les tâches qui s’y trouvent sont critiques pour la durée du projet) Il s’agit de trouver la date de réalisation de la fin des travaux i.e. la date la plus proche qui permette que toutes les opérations soient réalisées et la séquence de tâches qui réalise cette durée. Cela consiste à déterminer le chemin le plus défavorable du début à la fin des travaux i.e. le chemin de longueur maximale. 2 Exemple : 3 1 6 7 3 La fin des travaux aura lieu à la date 9. L’opération (1, 3) aura 2 unités de temps supplémentaires pour être réalisée. Convention : Le temps de début des travaux sera toujours le temps 0.

13 Résolution du problème de la recherche du chemin critique
Un diagramme PERT est connexe et sans circuit. Une opération ne peut se succéder à elle-même. Autrement, nous serions en présence de plusieurs projets. Considérons une légère adaptation de l’algorithme de Bellman-Kalaba sur le diagramme précédent. Soit ti,j la durée de l’opération qui va du sommet i à j, ti le temps de réalisation au plus tôt ou temps attendu, (par convention, t1 = 0)

14 5 c, 7 10 4 g, 210 i, 42 d, 21 a, 180 b, 120 h, 120 k, 330 1 2 3 7 9 12 f, 60 e, 30 l, 210 j, 150 6 8 11 t2 = t1 + t1,2 = 180 t3 = t2 + t2,3 = 300 t4 = t3 + t3,4 = 300 Pour le sommet 5, il y a 2 possibilités : t3 + t3,5 = 321 ou t4 + t4,5 = 307. Vu qu’on cherche le chemin le plus long, on prendra : t5 = 321.

15 Et ainsi de suite, jusqu’à t12 = 1011.
t6 = t3 + t3,6 = 300 t7 = max {t3 + t3,7 , t6 + t6,7 , t5 + t5,7} = 531. Et ainsi de suite, jusqu’à t12 = 1011. temps de réalisation au plus tôt 321 5 681 c, 7 300 10 4 g, 210 i, 42 d, 21 531 681 a, 180 b, 120 h, 120 k, 330 1 2 3 7 9 12 f, 60 180 300 1011 e, 30 l, 210 j, 150 6 8 11 300 531 681

16 Notion de chemin critique
Un ensemble d’opérations dites critiques en ce sens qu’on ne peut tolérer aucun retard dans leur mise en exécution et dans leur exécution sans retarder le temps tn de la fin des travaux (ici t12 = 1011). 321 Ex. : (1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 12) 5 681 c, 7 300 10 4 g, 210 i, 42 d, 21 531 681 a, 180 b, 120 h, 120 k, 330 1 2 3 7 9 12 f, 60 180 300 1011 e, 30 l, 210 j, 150 Le chemin critique est indiqué en traits doubles. 6 8 11 300 531 681

17 Temps de réalisation au plus tard ou temps limite
Les opérations non critiques peuvent sans doute être retardées dans leur mise à exécution sans retarder le temps final des travaux. Soit ti le temps limite de réalisation à laquelle peut se faire l’événement i sans retarder le temps tn de la fin des travaux. Note : tn = tn et ti = ti  i dans le chemin critique. Comment obtenir les temps de réalisation au plus tard : ti = tn - le temps minimal nécessaire pour réaliser les opérations entre i et n ti = tn - somme des temps opératoires sur le chemin le plus long de i à n. Cependant, il est possible de les obtenir très rapidement.

18 temps de réalisation au plus tard 321 5 969 c, 7 314 10 4 g, 210 i, 42
d, 21 531 681 a, 180 b, 120 h, 120 k, 330 1 2 3 7 9 12 f, 60 180 300 1011 e, 30 l, 210 j, 150 6 8 11 501 531 801 t10 = t12 – t10,12 = 969 t11 = t12 – t11,12 = 801 t9 = temps minimal nécessaire = min{ t12 – t9,12, t11 – t9,11, t10 – t9,10} = min{681,801,969} = 681 etc.

19 Traçons maintenant le chemin critique à partir des ti et des ti:
Le sommet i fait partie du chemin critique si ti = ti. Si les sommets i et j font partie du chemin critique, l’opération de i à j sera critique si tj - ti,j = ti.

20 Intervalle de flottement d’un événement i
[ti, ti] est l’intervalle de temps où peut se réaliser l’événement i sans retarder le temps de fin des travaux. Note : Les événements du chemin critique auront un intervalle de flottement réduit à un seul point. Si l’intervalle de flottement de l’événement k est réduit à un seul point, l’événement k appartiendra à un des chemins critiques (s’il y en a plusieurs). Exemple : 1 2 180 3 300 4 [300, 314] 5 321 6 [300, 501] 7 531 8 531 9 681 10 [681, 962] 11 [681, 801] 12 1011

21 Marge libre d’une opération de i à j
Le délai qui peut être apporté à la mise à exécution de l’opération (i, j) sans pour autant retarder le temps de réalisation au plus tôt de l’événement j. Il s’agit de : tj - ti,j - ti. Exemple : (1,2) (2,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,5) (5,7) (6,7) (7,8) 171 14 201 (7,9) (9,10) (9,11) (9,12) (10,12) (11,12) 30 281 120 Note : Une opération critique entraîne une marge libre nulle. L’inverse n’est pas vrai. Ex. : l’arc (3,4) n’est pas une opération critique.

22 Marge totale d’une opération de i à j
La marge libre est un concept local qui ne tient pas compte d’une suite d’opérations non critiques. Or, ce qui nous importe le plus en général est de ne pas retarder la fin des travaux même si on doit faire des réaménagements sur quelques opérations non critiques. Exemple : On peut retarder le début de l’opération (3, 4) de 14 unités sans retarder la fin des travaux. La marge totale indique le délai maximal qui peut s’écouler avant le début de l’opération (i, j) sans retarder la fin des travaux mais en retardant peut-être celui de j sans dépasser son temps de réalisation au plus tard : tj - ti,j - ti.

23 Exemple : (1,2) (2,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,5) (5,7) (6,7) (7,8) 14 201 171 14 201 (7,9) (9,10) (9,11) (9,12) (10,12) (11,12) 30 288 120 288 120

24 Diagramme à barres de de Gantt
Construit à l’aide de la marge totale et du diagramme PERT, il nous indique les opérations critiques en 1ière rangée avec l’échéancier à respecter. Sous les opérations critiques se placent les opérations non critiques dans les cases où elles peuvent varier librement. Exemple : L’opération c précède l’opération d, toutes 2 non critiques; c peut varier de 10 à 20 étant d’une durée de 3; d peut varier de 17 à 24 étant d’une durée de 4. 10 17 20 24 c 3 d 4

25 Diagramme de Gantt tiré de notre exemple :
180 300 321 531 681 1011 a b d g j k c 7 h 120 i 42 f 60 l 210 e 30 Cela indique bien visuellement ce qu’on peut faire sans toucher au temps de fin des travaux. Note : Le diagramme devrait être tracé à l’échelle.

26 Algorithme de Ford pour calculer les temps au plus tôt ti.
Étape 0. Poser ti = 0 i = 1, 2, …, n. Poser i = 1, j = 2. Étape 1. Si l’arc (i, j) n’existe pas dans le diagramme alors aller à l’étape 4. Étape 2. Si tij > tj - ti, faire tj = tij + ti et aller à l’étape 3. sinon aller à l’étape 4. Étape 3. Si i > j, faire i = j, j = 2 et aller à l’étape 5 sinon aller à l’étape 4. Étape 4. Faire j = j + 1. Étape 5. Si j  n aller à l’étape 1 sinon faire j = 2, i = i +1 et aller à l’étape 6. Étape 6. Si i  n aller à l’étape 1 sinon Fin.

27 Algorithme de Ford pour calculer les temps au plus tard ti.
Il s’agit d’utiliser l’algorithme de Ford précédent où chaque sommet i a été remplacé par n – i + 1, chaque arc (i, j) du diagramme est remplacé par (j, i). Les résultats obtenus sont placés sur le diagramme original après avoir effectué le calcul suivant : ti = tn - somme des temps opératoires sur le chemin le plus long de i à n.

28 BREF Les notions précédentes ont une grande importance : L’établissement du diagramme PERT permet de préciser le déroulement des opérations avec les interactions des différentes tâches. La mise en évidence d’un chemin critique détermine les opérations conditionnant la réalisation du projet. Elles devront être surveillées attentivement par le gestionnaire du projet. Les opérations non critiques sont moins rigides et peuvent tolérer certains retards quant à leur temps de mise en œuvre (intervalles de flottement, marges libre et totale).

29 En pratique, les durées tij des opérations sont mal connues et incertaines.
Deux cas se présentent : A On connaît les distributions des temps d’opérations à partir de données statistiques obtenues dans la réalisation de projets semblables. Déterminer le temps moyen et la variance de chaque opération : tij et 2ij. Ce temps moyen de chaque opération servira comme durée de l’opération. La variance interviendra plus tard dans l’estimation du temps de fin des travaux.

30 B On suppose que les temps d’opération sont distribués selon une loi Bêta pour des raisons de commodité de calculs. T ~ Bêta(a, b) T est une v.a. comprise dans l’intervalle [a, b] où a et b sont des constantes positives. L’aspect de la distribution Bêta en fonction des paramètres a, b et M est le suivant : a M b M désigne la valeur de T où sa fonction de densité est maximale.

31 Les paramètres de cette fonction de densité sont choisis de telle façon
tij = (aij + 4Mij + bij) / 6 2ij = (bij - aij)2 / 36. Pour déterminer les valeurs de tij et 2ij, il suffit de poser les questions suivantes aux spécialistes responsables de chaque opération : À combien estimez-vous la durée minimale de l’opération (i, j) ? À combien estimez-vous la durée maximale de l’opération (i, j) ? Quelle est la durée la plus probable de l’opération (i, j) ? Note : Ces informations fort subjectives doivent être utilisées avec prudence.

32 Exemple : Les opérations fictives demeurent avec des durées nulles.

33 est indiqué en traits doubles. 6 8 11 315 512 540 560 700 800
Le chemin critique est 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12 et son espérance mathématique est égale à la somme des espérances des opérations qui le composent i.e. E(t12) = 1015. 335 700 965 315 329 5 c, 6 10 4 g, 205 i, 50 d, 20 540 700 a, 180 b, 135 h, 160 k, 315 1 2 3 7 9 12 f, 61 180 315 1015 e, 28 l, 215 j, 140 Le chemin critique est indiqué en traits doubles. 6 8 11 315 512 540 560 700 800

34 Si les opérations sont en nombre suffisant et les temps opératoires sont
indépendants, le théorème central-limite s’applique.

35 Sous ces hypothèses, on obtient que :
Calcul de la variance des dates au plus tôt des autres événements : Ex. : E(t8) = 540 = somme des temps moyens sur le chemin le plus long de 1 à 8. Il s’agit de considérer le chemin le plus long de 1 à 8 et, 2t8 = 21,2 + 22,3 + 23,5 + 25,7 + 27,8 = Calcul de la variance des dates au plus tard des autres événements : Ex. : E(t4) = 329 = somme des temps moyens sur le chemin le plus long de 4 à 12. Il s’agit de considérer le chemin le plus long de 4 à 12 et, 2t4 = 24,5 + 25,7 + 27,9 + 29,12 =

36 Importance du calcul des variances pour la réalisation d’un projet
Supposons que le contracteur qui réalise les travaux s’est engagé à les terminer avant 1100 jours et qu’après, il ait à payer des pénalités par jour de retard. Le contracteur est intéressé à connaître la probabilité qu’il respecte son engagement. t12 – 1015  N(0, 1) 36.057 Par conséquent, P(t12 ≤ 1100) = P( t12 – ≤ 2.36) ≥ 99% 36.057 ce qui laisse une marge de manœuvre suffisante au contracteur. Note : Si le contracteur s’était engagé à terminer les travaux avant 1040 jours, on aurait trouvé P(t12 ≤ 1040) ≥ 75,8% Risque élevé. Le contracteur augmenterait alors le prix de sa soumission.

37 Analyse des coûts de réalisation des tâches d’un projet
L’accélération du temps de réalisation d’une tâche se traduit par une augmentation de son coût. Dorénavant, chaque temps opératoire tij peut varier entre deux bornes dij et Dij. Limite supérieure ou durée normale (temps opérationnel normal) Limite inférieure ou durée accélérée (temps minimal nécessaire pour réaliser l’opération Pij) Terminologie : En optant pour la durée normale (accélérée) de chaque opération, le problème à résoudre est dit le programme normal (accéléré). Note : Habituellement, le programme accéléré est trop coûteux et le programme normal trop long.

38 Coût de réalisation cij de l’opération Pij
La fonction de coût a généralement la forme suivante : cij **** tij dij Dij Le coût de l’opération est minimal si sa durée est normale et croît lorsqu’on s’en éloigne. Si tij > Dij on ne peut effectuer le travail qu’à des coûts beaucoup plus élevés ce qui correspond habituellement à des moyens insuffisants en main d’œuvre et matériel.

39 Comment trouver des durées qui représentent un juste milieu entre nos
possibilités temporelles et financières ? 1ière approche : Diminution du coût total d’un programme en augmentant la durée des opérations non critiques. On suppose ici qu’il nous est impossible de modifier la durée des opérations critiques et donc la date de fin des travaux. Par contre, on peut modifier la durée des opérations non critiques. La durée tij de chaque opération Pij est contrainte comme suit : dij ≤ tij ≤ Dij Considérons un exemple où les durées tij sont indiquées sur les arcs dans le diagramme PERT suivant :

40 Exemple :

41 Exemple (suite) : L’augmentation des coûts est proportionnelle à la diminution des temps opératoires, i.e. les fonctions de coût sont linéaires et décroissantes. Posons cij  coût marginal de l’opération Pij ou encore, l’augmentation d’une unité dans la durée de l’opération Pij implique une diminution de cij dans le coût de cette opération. Dans le tableau suivant, on retrouve : - les durées normales, - les durées accélérées, - les temps opératoires, - les marges libres, - les marges totales, - les couts marginaux, - les coûts opératoires, - le coût total (la somme des coûts de toutes les opérations).

42 Exemple (suite) : Coût total : 214,000$ cij

43 Exemple (suite) : La durée du programme étant inchangée, il suffit de diminuer la marge libre des opérations non critiques pour diminuer le coût total. Les nouvelles durées des opérations non critiques ne pourront être supérieures à : t'ij = tij + min(mlij, Dij - tij) = min(Dij, tij + mlij). Dans cet exemple, choisissons comme durées ces bornes supérieures.

44 Exemple (suite) : On obtient le nouveau diagramme PERT suivant : 4 Cela crée un nouveau chemin critique (1, 2, 5, 3, 6, 8, 9).

45 Exemple (suite) : Pour chaque opération non critique, la diminution du coût sera égale à : cij (t'ij - tij). On obtient alors pour les opérations non critiques indiquées, la diminution de coût suivante : Cela donne une diminution totale de 39, 400$ et le coût total s’établit maintenant à 214, 000 – 39,400 = 174, 600$. diminution de 18.6% env.

46 Il ne faut pas croire que l’on soit parvenu pour une date de fin des
travaux égale à 31 à un programme de coût minimal. 4 12 2 On pourrait tenir compte de la marge totale de P24.

47 On peut augmenter la durée de P24 de 2 unités (économie de 4600$) et
laisser la durée de P45 à 2 unités au lieu de 4. Nous aurions réalisé une économie supplémentaire de 2,700$.

48 2ième approche : Accélération d’un programme au moindre coût. Pour réduire le temps total d’exécution d’un programme, il faut réduire la durée d’une ou de plusieurs opérations critiques. Si nous choisissons l’opération critique qui, pour une même diminution de temps, propose la plus faible augmentation des coûts, nous dirons que nous avons accéléré le programme au moindre coût.

49 Les fonctions de coût des opérations sont de la forme ****.
Exemple : Les fonctions de coût des opérations sont de la forme ****. c f b a e g h i d Ce diagramme PERT représente un programme normal admettant un coût total de 350 millions (voir tableau suivant). Nous avons aussi un programme accéléré dans ce tableau.

50 durées(mois) et coûts de chaque opération durées(mois) et coûts de chaque opération Coût total: x 106$ 523 x 106$

51 Il n’est pas nécessaire d’augmenter la durée des opérations critiques :
on dépenserait alors de l’argent inutilement. Attaquons-nous aux opérations critiques a, b, f et i. Puisque le coût d’accélération par mois est : a : 5 millions b : 19 millions f : 13 millions i : 3 millions, pour accélérer le programme au moindre coût, il s’agit de réduire le temps opératoire de 1 mois sur i ce qui va coûter le moins cher.

52 Le diagramme PERT devient :
c f b 35 35 a 2 e g h i d En gagnant 1 mois sur i, nous n’avons pas créé de nouveaux chemins critiques car, autrement, il aurait fallu tenir compte des nouvelles opérations critiques.

53 Essayons de gagner un autre mois.
On ne peut le faire sur i puisqu’elle a déjà atteint sa durée accélérée. Parmi les autres opérations critiques (a, b et f), a coûte le moins cher à accélérer et puisqu’on peut l’accélérer, gagnons un autre mois sur l’opération a. 9 9 c f b 34 34 a 3 2 3 3 e g h i 32 32 d 19 22

54 Essayons de gagner un autre mois sur la tâche a, ce qui est possible.
8 8 c f b 33 33 a 2 2 2 2 e g h i 31 31 d 18 21 Il n’est maintenant plus possible d’accélérer la tâche i ou la tâche a. Entre b et f, il faut choisir f.

55 On peut gagner 3 autres mois sans difficulté.
8 8 c f b 20 30 30 a 2 2 2 2 e g i h 28 28 d 10 18 18 ce qui fait apparaître un nouveau chemin critique.

56 Pour réduire la durée totale d’exécution, 3 possibilités s’offrent à nous :
gagner 1 mois sur b : coût de 19 millions, gagner 1 mois sur f : coût de 13 millions, et 1 mois sur e : coût de 5 millions, d’où un coût de 18. gagner 1 mois sur f : coût de 13 millions, et 1 mois sur h : coût de 7 millions, d’où un coût de 20. On choisit donc la 2ième option.

57 On ne peut plus accélérer la tâche e. Il nous reste 2 alternatives :
8 8 c f b 19 29 29 a 2 2 2 2 9 e g i h 27 27 d 10 17 17 On ne peut plus accélérer la tâche e. Il nous reste 2 alternatives : gagner 1 mois sur b : coût de 19 millions, gagner 1 mois sur f : coût de 13 millions, et 1 mois sur h : coût de 7 millions, d’où un coût de 20.

58 Finalement, il nous reste une possibilité :
Gagnons un mois sur b. 7 7 c f b 28 28 5 19 a 2 2 2 2 e 9 g i h 26 26 d 10 16 16 Finalement, il nous reste une possibilité : gagner 1 mois sur f : coût de 13 millions, et 1 mois sur h : coût de 7 millions, d’où un coût de 20.

59 Il n’est maintenant plus possible d’accélérer la date des travaux
7 7 c f b 5 18 27 27 a 2 2 2 2 9 e g i h 25 25 d 9 16 16 Il n’est maintenant plus possible d’accélérer la date des travaux dans cet exemple.

60 Durée du programme (mois)
En résumé, Durée du programme (mois) Coût (millions $) a b c d e f g h i 36 350 4 6 12 10 23 7 3 35 353 2 34 358 33 363 32 376 22 31 389 21 30 402 20 29 420 9 19 28 439 5 27 459 18 Durée des opérations (mois) C’est au gestionnaire de choisir l’alternative la plus appropriée.

61 Généralisations possibles du problème :
La fonction de coût avait jusqu’à maintenant la forme suivante : cij **** tij dij Dij cij cij Voici des alternatives où le problème devient plus difficile : tij tij dij Dij dij t* Dij

62 Généralisation au programme à coût minimal si les coûts sont des
fonctions quelconques des durées : Posons cij(tij)  le coût en fonction de la durée de la tâche Pij, dij  la durée accélérée de la tâche Pij, Dij  la durée normale de la tâche Pij, dn et Dn  les durées accélérée et normale d’exécution, tij  la durée de la tâche Pij, t  la durée totale d’exécution, U  l’ensemble des arcs du programme, on cherche à minimiser le coût total de ce programme.  cij(tij) MIN (i,j)  U Sujet à tij ≤ t  chemin  allant du sommet 1 au sommet n. (i,j)   dij ≤ tij ≤ Dij  tâche Pij dn ≤ t ≤ Dn