Connaissance des nombres et calcul au cycle 3 : un détour par le collège Jean-François Chesné IUFM de Créteil 21 novembre 2006 jean-francois.chesne@creteil.iufm.fr.

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1 Connaissance des nombres et calcul au cycle 3 : un détour par le collège
Jean-François Chesné IUFM de Créteil 21 novembre 2006

2 Une question pour commencer
En admettant qu’une séance de mathématiques dure une heure et qu’il y a 36 semaines dans une année scolaire, combien de semaines de travail allons-nous gagner en une année scolaire en ne perdant pas 5 minutes à chaque séance?  (Il y a 4 séances de mathématiques par semaine)

3 Préambule « S’il y a une chose encore plus difficile que d’apprendre les mathématiques, c’est de les enseigner. » (Jean-Pierre Kahane) Technique et sens : amis ou ennemis?  Réussite immédiate ou apprentissage? «L’objectif prioritaire reste (…) que les connaissances numériques des élèves soient opératoires » (Documents d’application p6 )  

4 Quelques « erreurs » d’élèves de sixième…
J'ai un élève de 6e qui m'a dit qu'il traitait la partie entière à part de la partie décimale lors de la soustraction 27,17-13,2  Au premier cours de 6e, les élèves devaient compléter : 361 = ... × × ;  sur une dizaine d'élèves dont j'ai contrôlé les cahiers, au moins trois m'ont répondu : 361 = 300 × ×10 + 1  Je dis "sept demis", une élève comprend 7,5  1,2 × 100 = 100,200 ou encore: 3,5 ×10 = 30,50    Arrondis au centième : 1,234   

5 … et d’autres! Avec les 5es, j'ai commencé mercredi par un test de connaissances de 6e. Pour mettre 5,8 en fraction décimale, j'ai eu presque la moitié des élèves qui m'a écrit : 5/8    En début de 4e, plusieurs élèves me donnent encore : 4/9+4/9=8/18  2/3 : 5 = 3/2 × 5  Mes élèves font ce type d'erreur: 3a + 4x = 7ax      Plusieurs de mes élèves écrivent que : 3x × 5x = 15x  J'ai mis un peu de temps à comprendre pourquoi certains élèves répondaient 3 comme solution de l’équation de type 3x = 6 

6 Points d’appui et sommaire
Une relecture des documents d’application et d’accompagnement des programmes  Une exploitation des résultats de l’évaluation nationale à l’entrée en sixième     Une réorganisation par compétences Des distinctions école/collège Quelques messages personnels

7 L’évaluation à l’entrée en sixième
Ses finalités : Permettre, à partir d’un repérage des points forts et des points faibles, de décider les actions pédagogiques adaptées aux besoins de chacun pour poursuivre ses apprentissages.  Fournir des aides à la décision pédagogique pour chaque élève, dans la classe, dans l’école, dans le cadre de la liaison « école – collège ».

8 Présentation générale
Deuxième évaluation portant sur les programmes de 2002 Identique à celle de septembre 2005 Références très fortes aux documents d’application des programmes du cycle 3 Très grande part faite aux compétences attendues en fin de cycle 3 (construction/structuration, consolidation/utilisation) Items portant sur des compétences isolées

9 Les compétences évaluées
Pas d’exhaustivité, accent mis sur : Calcul mental automatisé Calcul mental réfléchi Calcul posé (techniques opératoires) Connaissance des fractions et des nombres décimaux

10 Un quiz 12,65 a pour partie entière 12 et pour partie décimale 65.
Dans 7,38 le nombre de centièmes est 8. L’écriture décimale a été inventée avant la découverte de l’Amérique par Christophe Colomb. Dans 2,4 le chiffre 4 vaut 2 fois le chiffre 2.   Au cycle 3 : 43/10 = 4,3 car « quand on divise par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche ».

11 Connaissance des nombres
27 items sur 101: 13 sur les nombres entiers 14 sur les fractions ou les décimaux

12 Connaissance des nombres entiers naturels
Les connaissances relatives à la désignation orale, littérale ou chiffrée des nombres naturels (…) doivent être bien maîtrisées à la fin de l’école primaire. Elles sont indispensables à la poursuite des apprentissages au collège. (Documents d’application p18)

13 L’écriture chiffrée des entiers

14 Mettre en oeuvre des relations
entre 25 et 100, 15, 45 et 60

15 Ce que disent les documents d’application (p20)
La structuration des nombres autour du nombre 100 fait l’objet d’une attention particulière. Exemples de relations : 100 = ; 100 = 4  25; 75 = 3  25. La diversité des écritures d’un même nombre est mise en évidence, par exemple pour le nombre 15 : ; 3  5; la moitié de 30 ; le quart de 60. 

16 Ce que disent les documents d’accompagnement (p90)
Articulation école/collège Les élèves ont eu l’occasion de s’assurer une première maîtrise de certaines relations arithmétiques entre les nombres : utilisation de relations du type double, moitié, triple, tiers, trois quarts, deux tiers…, relations entre nombres d’usage courant, par exemple entre 5, 10 , 25, 50, 75, 100 ou entre 5, 15, 30, 45, 60. Elle constitue un point d’appui pour le calcul mental. Cette première culture du nombre entier doit être enrichie et consolidée au collège.

17 Connaître et utiliser des expressions: double, moitié, tiers, quart

18 Une remarque personnelle
100 = 4  25 ou 100 = 25 4 ? On parle bien de: 100 = ? Ou encore de 4 fois 25?

19 Connaissance des fractions et des nombres décimaux (1)
Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider à la compréhension des nombres décimaux. (Documents d’application p21)

20 Connaissance des fractions et des nombres décimaux (2)
L’étude des fractions et des nombres décimaux sera poursuivie au collège. Il convient donc de distinguer les compétences qui doivent être maîtrisées avant l’entrée au collège, de celles qui sont encore en cours de construction à la fin du cycle 3 et de celles dont l’approche et la construction relèvent du collège. (Documents d’application p21)

21 Connaissance des fractions et des nombres décimaux (3)
Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une droite. (Documents d’application p21)

22 Fractions et mesures de longueurs
L’écriture à virgule est présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales, le lien avec le système métrique étant fait ensuite. La fraction est introduite en référence au partage d’une unité, le dénominateur indiquant la nature du partage et le numérateur le nombre de “ parts ” considérées ( 3/4 , lu « trois quarts », est compris comme « trois fois un quart »). (Articulation école/collège p91)

23 Utiliser des fractions pour coder le résultat
de mesurages de longueurs

24 Construire un segment dont la mesure de la longueur
est donnée sous la forme d'une fraction

25 Les compétences visées sur les fractions
Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes d’entiers et de fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs ou d’aires, une unité de mesure étant choisie explicitement. Une unité de longueur étant fixée explicitement, construire un segment ou une bande de papier dont la mesure de la longueur est donnée sous la forme d’une fraction.

26 Quelques exemples Au cycle 3, le quart de 12 (unités) se pense et s’écrit 12 : 4, mais ne s’écrit pas encore 12 × . Le quart de 12 ne s’écrit pas encore Le lien entre les deux conceptions, qui auront la même écriture, relève du collège .

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40 Quatre tiers sous toutes ses formes
Un tiers + un tiers + un tiers + un tiers 4 fois un tiers Une unité + un tiers Deux unités - deux tiers Et des représentations graphiques variées…

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42

43 + =

44 ?

45 Des fractions aux nombres décimaux
En dehors de la connaissance des fractions d’« usage courant », le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales ( fractions de dénominateurs 10, 100, …).  (Documents d’application p 21)

46 Associer les désignations orales
et l’écriture chiffrée d’un nombre décimal Exemples: 14,5 se lit 14 et demi ou 14 et 5 dixièmes ; 5,23 se lit 5 et 23 centièmes ou 5 et 2 dixièmes et 3 centièmes. La lecture courante (5 virgule 23) n’est pas exclue, mais il s’agit de ne pas la systématiser dans la mesure où son usage trop fréquent contribue à envisager le nombre décimal 5,23 comme deux entiers juxtaposés (5 d’un côté et 23 de l’autre). (Documents d’application p23)

47 Tout commence vraiment à l’école…
Dès l’école primaire, les nombres décimaux peuvent être utilisés dans des problèmes de division prolongée au-delà de la virgule (problèmes de partage de longueurs, par exemple), sans que pour autant l'écriture fractionnaire ne soit introduite pour désigner 1e quotient .  (Document d’accompagnement Articulation école/collège p92)

48 Les différentes écritures des décimaux

49 Ce qui fait dire … … à André Pressiat :
« Le thème des nombres décimaux fait l’objet depuis de nombreuses années d’items dans les évaluations nationales, et les résultats stagnent, au point que la situation du point de vue de l’apprentissage est sur le point de se naturaliser. » … et à Roland Charnay : « Du côté de l’école primaire, le travail sur la compréhension des écritures décimales (valeur des chiffres en fonction de leur position, relations entre unités de rangs différents) est insuffisant et laisse trop rapidement la place à la mise en place de techniques ou de questions formelles (repérage du chiffre des dizaines et de celui des unités, par exemple). »

50 En résumé « L’écriture à virgule » est une convention d’écriture
On mettra en avant la valeur d’un chiffre dans une écriture décimale en fonction de sa position Le passage fraction décimale/écriture décimale se fera avec précaution

51 L’écriture décimale Les fractions décimales sont très anciennes, mais ont longtemps coexisté avec d’autres fractions, comme les quantièmes égyptiens ou les fractions sexagésimales babyloniennes. Ce n’est qu’en 1585 que Simon Stevin, dans son célèbre ouvrage, La Disme, introduit une écriture qui libère les calculs de la manipulation des fractions décimales.

52 Quelques exemples Le type d’erreur 0,5 × 3 = 0,15 est typique de la perte de signification de l’écriture utilisée. Il est essentiel pour un élève de comprendre que dans l’écriture 2,4 c’est le 2 qui « vaut le plus » La partie décimale de 3, 72 n’est pas 72 mais 72 centièmes. 43 dixièmes ne se pensent pas comme 43 : 10, mais comme 4 fois dix dixièmes et 3 dixièmes

53 Quelques pistes d’enseignement
sur les fractions Une fraction n’est pas a priori un nombre Faire manipuler les élèves (grandeurs) Ne pas s’en tenir aux fractions inférieures à l’unité Soigner le moment du passage aux mesures Associer les désignations orales ou littérales (décompositions, comparaisons et opérations) Introduire avec vigilance la notation « a sur b »

54 Quelques pistes d’enseignement
sur les décimaux Le passage d’une écriture à une autre est fondamental Les désignations orales ou littérales ne doivent pas disparaître de façon prématurée L’écriture décimale est plus « économique », mais s’accompagne d’une perte de sens Les techniques opératoires donnent du sens à l’écriture décimale Certaines fractions ne sont pas des décimaux !

55 Le calcul 33 items : 10 en calcul mental automatisé
10 en calcul mental réfléchi 13 en calcul posé

56 Le calcul mental à l’école élémentaire
Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2.  Il convient de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser et ce qu’il faut être capable de reconstruire. (Documents d’application p6 )

57 Le calcul mental automatisé (1)

58 Un document d’accompagnement très détaillé
La capacité à fournir instantanément de tels résultats est évidemment essentielle. La stabilisation complète du répertoire additif est très rarement achevée avant l’entrée au cycle 3. Le travail doit donc être poursuivi pour permettre aux élèves de mémoriser de nouveaux résultats, de reconstruire très rapidement ceux qui ne sont pas mémorisés en s’appuyant sur ceux qui le sont, et cela aussi bien pour calculer des sommes, des différences, des compléments ou obtenir des décompositions. (p41)

59 Le calcul mental automatisé (2)

60 Connaître « les tables de multiplication »
La capacité à fournir instantanément de tels résultats est essentielle. La stabilisation complète du répertoire multiplicatif nécessite au moins deux années de travail au cycle 3 et doit être soutenue dans la dernière année, puis au collège. Il faut souligner que la récitation mécanique des tables constitue un obstacle à la mobilisation rapide d’un résultat quelconque. Le repérage de régularités ou de particularités sur la table de Pythagore peut constituer une aide à la mémorisation. Et ne pas oublier que connaître 8  6 = 48, c’est tout autant pouvoir donner rapidement ce résultat que répondre à « Combien de fois 8 dans 48 ? », à « Diviser 48 par 6 » ou décomposer 48 sous forme de produits de deux nombres inférieurs à dix. (p45)

61 Le calcul mental réfléchi
Le calcul réfléchi est d’une autre nature que le calcul automatisé.(…) D’autres représentations des nombres sont mobilisées, notamment celles qui sont liées à leur expression dans les deux systèmes de numération utilisés, numération chiffrée et numération orale. Ces deux numérations ne sont pas exactement superposables. La traduction chiffrée de « quatre-vingt douze » ne fait intervenir ni 4, ni 20, ni 12. C’est une première raison pour laquelle il n’est pas équivalent de proposer un calcul à faire mentalement sous la forme écrite “ = ? “ et sous la forme orale « quatre-vingt douze plus quinze ». Une autre raison relève de la mémorisation. (p45)

62 Ce qui a été évalué

63 Pierre à la boulangerie

64 Calcul mental et « petits problèmes »
Il n’est pas équivalent de poser la question « calculer » (oralement ou par écrit) et le problème « Arnaud avait 17 billes et en gagne 23 ; combien en a-t-il maintenant ? ». Chacun de ces énoncés active une représentation de la tâche à accomplir. Dans le premier cas elle porte sur des nombres “purs”, dans le second elle s’appuie sur l’évocation d’un certain champ de réalité. L’expérience montre surtout qu’il s’agit, dans le second cas, d’un moyen efficace d’aider les élèves à progresser dans la maîtrise du « sens des opérations ». (Document d’accompagnement p37/38)

65 Le calcul posé à l’école élémentaire (1)
Aujourd’hui l’apprentissage des techniques de calcul posé ne se justifie plus par leur utilisation effective dans la société, mais doit être centré sur deux objectifs essentiels :    - une maîtrise de ces techniques, dans des cas simples, permet aux individus de mieux apprécier l’efficacité des instruments qu’ils utilisent ;      - un travail visant à la construction, à l’analyse et à l’appropriation de ces techniques conduit à utiliser et combiner de nombreuses propriétés relatives au système d’écriture des nombres et aux opérations en jeu ; en retour, ce travail assure une meilleure maîtrise de ces propriétés.

66 Le calcul posé à l’école élémentaire (2)
En résumé, l’étude des techniques de calcul posé doit être résolument orientée vers la compréhension et la justification de leur fonctionnement. Elle ne peut donc, en aucun cas, se limiter à l’apprentissage de récitatifs.

67 Ce qui a été évalué

68 A propos des multiplications
En 2001, le calcul de 64 x 39 n’est réussi que par 54 % des élèves. En 2000, ceux de 45 x 19 et de 523 x 205 sont réussis par respectivement 67 % et 60 % des élèves. Et, contrairement à une idée répandue, l’analyse des réponses montre que les erreurs dues à une connaissance insuffisante des tables de multiplication sont nettement plus nombreuses que celles qui peuvent être attribuées à un manque de maîtrise de la technique. L’observation de la disposition des facteurs dans l’opération posée peut être un élément à prendre en compte dans le cadre d’une formation inter-cycle ou d’une liaison école-collège visant l’harmonisation des pratiques ou l’articulation des apprentissages, que ce soit ici sur la technique de la multiplication ou sur sa justification .

69 Les divisions

70 Division et numération
Comment faire pour partager 81 en 6? On commence par partager les 8 dizaines Chaque part vaut une dizaine … … 3 unités … … et 5 dixièmes

71 Multiplier et diviser par 10 ou 100

72 Comment faire? (1) Multiplier 23 par 10 revient à chercher une autre écriture de 23 dizaines . Diviser 630 par 10 revient à chercher combien il y a de dizaines dans 630.

73 Comment faire? (2) 35,2 c’est : 3 dizaines, 5 unités, 2 dixièmes .
10 fois 35,2 c’est : 30 dizaines 50 unités 20 dixièmes Soit 3 centaines 5 dizaines 2 unités Ce qui s’écrit 352

74 Pourquoi faire aussi compliqué?
En abandonnant le fameux décalage de la virgule : L’effet de la multiplication est rendu sur chaque chiffre La règle est la même pour les décimaux que pour les entiers

75 Quelques autres items…
En cours de séance

76 Ce qui relève clairement de l’école
Ecriture des nombres entiers « Tables » d’addition et de multiplication Techniques opératoires ( + et - ) Une première approche des fractions Un premier travail sur les durées

77 Ce qui est en phase de consolidation
La « culture » des nombres entiers La connaissance et l’écriture des décimaux Le partage d’un segment ou d’une surface La multiplication ou la division par 10,… Les « conversions » (longueurs, masses, contenances, et le début des aires)

78 Ce qui relève clairement du collège
La multiplication d’un entier par un décimal et la multiplication de deux décimaux La fraction quotient L’utilisation des décimaux pour l’approche du quotient de deux entiers Des écritures en ligne « expertes » Les volumes (unités et calculs)

79 quelques messages personnels…
En forme de conclusion, quelques messages personnels… Prendre son temps Respecter les étapes de construction des apprentissages Dégager des moments de synthèse afin d’établir des bilans courts et cohérents Favoriser la pérennisation des compétences visées par une mobilisation fréquente et régulière Consulter les programmes et les documents d’accompagnement de l’école et du collège

80 …deux grands principes…
C’est la diversité des situations et des représentations qui favorise l’évolution des concepts et leur mise en fonctionnement. « Il serait vain de penser faire progresser les élèves en leur fournissant des stratagèmes qui conduisent à la réalisation de tâches purement mécaniques. Ce serait même un contre-sens. »

81 …Une question d’actualité…
Entre fiches et pseudo-constructivisme, existe-t-il une autre voie?

82 …Des solutions envisageables…
Un travail collectif de réflexion et de conception dans les équipes d’enseignants, intra et inter cycles  Des liaisons locales 1er/2nd degré basées sur les pratiques des uns et des autres Des stages de formation continue sur les contenus mis en jeu Des formations à distance comme celles qui sont initiées par une plate-forme comme BSCW ou un site comme TFM(

83 …Et la réponse au problème initial
5 min  4 = 20 min 20 min  36 = …?  20 min = 1/3 h 1/3 h  36 = 12 h le temps « perdu » représente 1/12 de la durée totale de cours. 36 semaines  1/12 = 3 semaines Variante : les séances durent 55 minutes et l’année scolaire est composée de 33 semaines.

84 Les sites consultés : http://eduscol.education.fr/D0048/primacc.htm