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Les nombres non entiers Linvention du continu. Plan du cours 1. Quelques représentations et difficultés… 2. Linvention de nouveaux nombres – quels usages.

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1 Les nombres non entiers Linvention du continu

2 Plan du cours 1. Quelques représentations et difficultés… 2. Linvention de nouveaux nombres – quels usages en fait-on ? 3. Caractérisation mathématique des nombres non entiers 4. Analyse derreurs délèves 5. Démarches denseignement

3 1- Quelques représentations 2,5 est un décimal 5/2 est une fraction 3 nest pas décimal, cest un entier Un décimal, cest un nombre avec une virgule Une fraction cest deux nombres avec un trait entre les deux Pi est un nombre infini La partie décimale de 2,364 est 364

4 Erreurs délèves… 2,4 + 3,6 = 5,10 2,6 x 4 = 8, 24 Entre 1,5 et 1,6 il ny a pas de nombres 1,5 < 1,16 Le chiffre des centièmes de 2,145 est 1 1,9 = 1/9 = un neuvième 2,9 x 10 = 20,9 2,9 x 100 = 20,90

5 Taux de réussite - EVA6eme06 80% - 77 % - 77%

6 Taux de réussite - EVA6eme06 50%

7 Taux de réussite - EVA6eme06 34% - 20% - 22%

8 Taux de réussite - EVA6eme06 90% - 30%

9 Taux de réussite - EVA6eme06 26%

10 2- linvention de nouveaux nombres- approche historique Quels problèmes ? Problèmes de mesures Problèmes de partage (division) Rapport de proportions

11 Problèmes de mesure : u Entre 2 et 3 u

12 Problème de partage 5 : 4 = ? Soit 1 + un quart Soit 5 quarts 4 x …. = 5

13 Rapport de proportion Si 3 pommes coûtent 500 francs, combien coûtent 6 pommes ? 15 filles sur 24 élèves 3 est à 5 ce que 60 est à 100

14 Raccourci historique Les babyloniens : fractions de 60 Les égyptiens : fractions unitaires de puissances de 2 Les grecs : les proportions Les fractions décimales Linvention de la virgule - Simon STEVIN - La disme 1585 Le système décimal - les décimaux

15

16 Une idée géniale… Le prolongement du tableau de numération /101/100 3,29 3,29 = 3 + 2/10 + 9/100

17 3- Caractérisations mathématiques des nombres non entiers. Lensemble Q des rationnels. Un nombre rationnel est un nombre qui peut sécrire sous la forme dun rapport de deux entiers. Exemples : 1/3; 2=2/1; 0,1=1/10… Il faudrait distinguer fraction et rationnel…

18 Les décimaux Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut sécrire sous la forme dune fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur) Exemples : 2 = 20/10 ; 0,25 = 25/100… 1/3 nest pas décimal, 12/15 lest.

19 Autre caractérisation Un nombre décimal est un nombre dont lécriture fractionnaire irréductible est de la forme N/2 a 5 b. Exemples : 14/5 ; 18/25; 13/40.

20 Nombres à virgule Un nombre décimal possède une écriture à virgule dont la partie décimale a un nombre fini de chiffres Un nombre rationnel non décimal possède une écriture à virgule illimitée, avec une période dans la partie décimale. Attention : nombre à virgule ne veut pas dire nombre décimal !

21 Existe-t-il dautres nombres ? Quand on a rajouté tous les rationnels sur la droite numérique y a-t-il de la place pour dautres nombres ? Réponse : oui… Représentation par les coupures.

22 Les irrationnels, des nombres fantômes … Impossibles à écrire, à « voir », ils existent pourtant… Caractérisation : o Ils ne sécrivent pas sous la forme a/b o Leur écriture à virgule est illimitée et non périodique…

23 Avantages, inconvénients de lagrandissement de lensemble des nombres. Toute division a un résultat On peut tout mesurer On peut prolonger les opérations… On perd lidée dordre « naturel »… Linfiniment petit est difficile à imaginer…

24 Erreurs délèves - explications remédiations Un décimal est un couple de nombres entiers séparés par une virgule… La virgule « flotte » (on peut lenlever)

25 Démarches denseignement Introduction par la mesure. à éviter ! Obstacle didactique… Introduction par les problèmes de fractionnement Démarche type : pour comprendre les maths.

26 Exercices dapplication directe. Quelle est la nature du nombre 0, … ? Quelle est la nature du nombre 0,121212… Quelle est la nature des nombres 17/12, 12/60 ? Complétez le nombre 3_5_/45 pour quil soit décimal Rangez dans lordre : 2/3 - 8/11 - 1/2 - 0,66 - 0,7


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