Les situations mathématiques

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1 Les situations mathématiques
Propriétés et composantes ULYSSE 8 Cours G-B 2010

2 1 Pourquoi étudier les situations
alors qu’il s’agit de faire acquérir le savoir ? ULYSSE 8 Cours G-B 2010

3 Les deux fonctions didactiques des connaissances
Le professeur doit enseigner à ses élèves des connaissances et des comportements qu’ils ignorent, et principalement ceux qui servent de référence pour la production de connaissances et de comportements originaux dans des situations nouvelles… Il doit donc accepter et même susciter des comportements spontanés et la manifestation de connaissances personnelles incertaines et même éventuellement fausses de la part de ses élèves, ce qui implique l’utilisation de situations originales par rapport à l’exposé des références. Les autres connaissances, celles qui sont « spontanées », sont relatives aux situations, suscitées et justifiées (ou non) par elles. Les connaissances de référence font partie du savoir qu’il est convenu d’enseigner. Les connaissances, qu’elles fassent ou non partie du savoir et qu’elles soient ou non considérées comme vraies, ont la même forme et relèvent du même fonctionnement cérébral. Leur différenciation n’est le résultat que de l’éducation dont les principaux instruments sont des exercices mentaux. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

4 Savoirs et connaissances
Le savoir est constitué, par définition, des connaissances de référence qui viennent de la Science, de la Culture ou de la coutume par l’intermédiaire et sous la garantie du professeur Les connaissances qui ne sont pas appuyées sur le savoir ne se réfèrent qu’à des situations. Elles se manifestent de diverses manières dans diverses fonctions (décision, langage, preuve,…) et elles sont indispensables au fonctionnement de la pensée et notamment du savoir. Ainsi le professeur doit susciter et gérer des situations pour faire apparaître des connaissances, de référence ou non. Les connaissances de référence impliquées dans une situation didactique seront appelées « un savoir » les autres : une connaissance. Ce qui explique l’usage insolite du mot « savoir » au pluriel. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

5 L’étude des situations est indispensable et fondamentale
Le professeur ne peut pas se limiter à faire apprendre le savoir : il doit mobiliser les connaissances et leur faire jouer leur rôle spécifique dans l’apprentissage des savoirs. Pour cela même les problèmes sont insuffisants en particulier pour permettre le jeu du non dit et de l’implicite. Il faut organiser des situations Et suivant que les productions de ses élèves ont la fonction de savoirs ou de connaissances, ses réactions seront radicalement différentes. Ainsi l’objet central d’une étude de l’enseignement est celui des rapports entre les savoirs et les connaissances établis par les situations. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

6 Savoir et croire Le savoir et les croyances se distinguent du double point de vue de leur mode de construction et de leur définition sociale. Les croyances et les coutumes ne sont une référence que pour une partie de la communauté et éventuellement que pour un seul individu. Le savoir est révisable par des processus historiques et logiques qui ont pour objet de le modifier de façon à ce qu’il ne soit en contradiction avec aucun fait connu. Il a donc vocation à réunir les connaissances qui peuvent être acceptées comme références par la communauté de citoyens la plus large possible. L’éducation commune à la plus large communauté de citoyens doit donc distinguer l’enseignement du savoir et l’information sur les croyances et sur les coutumes. Ces deux modalités du rapport éducatif sont essentiellement différentes. La distinction entre « savoir » et « croire » est essentielle ; elle n’est pas spontanée. Elle est un des objets principaux de l’éducation mathématique. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

7 En TSM1 « Situation » est-il synonyme de « tâche »?
Toutes les deux ont la même structure : Elles sont issues d’un énoncé de mathématiques décomposé en question/réponse. Toute tâche peut être modélisée par une situation. Les conditions d’une tâche – son énoncé ou sa description – sont essentiellement des références : des savoirs ou des savoirs faire, explicites ou supposés tels, mais acquis. Son exécution est un savoir ou un savoir faire Il existe des situations qui ne sont pas des tâches: certaines conditions y sont des savoirs mais d’autres peuvent être aussi seulement des connaissances, être implicites, indicibles, vraies ou fausses… Les productions des actants Une situation s’articule avec d’autres, - par les connaissances nouvelles qu’elle produit - mais aussi par les questions qu’elle fait poser ou même par les échecs qu’elle provoque. Les situations ont pour objet de mobiliser des connaissances - de référence ou non – et de les faire évoluer. 1 Théorie des Situations Mathématiques ULYSSE 8 Cours G-B 2010

8 Le modèle : Exposé ou genèse ?
Par essence, les tâches sont structurées comme des textes de mathématiques, selon une réorganisation après coup du savoir En amont des textes, les situations tendent, à modéliser une genèse du savoir mathématique. Cette genèse peut faire jouer publiquement, non seulement des savoirs mais aussi des connaissances, mathématiques ou non, et des processus rhétoriques spontanés afin que les apprentissages résultent d’une simulation de l’activité mathématique elle-même et non pas, seulement, d’une reproduction des textes par des formes d’apprentissage totalement indépendantes de leur objet. La TSM est indispensable pour étudier expérimentalement ces différents procédés didactiques. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

9 Une tâche, objet d’un contrat social ou individuel
Ces différences de structures répondent à des fonctions sociales différentes Une situation est un ensemble de conditions et de règles, associées à un objectif, qui peut évoluer. L’actant peut savoir - ou ignorer - si et comment il peut l’atteindre. Une situation peut être organisée par un tiers et/ou engagée par l’actant lui-même. Mais elle peut survenir spontanément sans être formulée ni même identifiée par celui qui doit y répondre. « Une tâche est un ouvrage qu’on donne ou qu’on se donne à faire à certaines conditions et dans un certain espace de temps » (Littré) Elle est donc conçue, déterminée et définie avant d’être entreprise. Elle peut ainsi faire l’objet d’un contrat de travail, entre un mandant et un mandataire. Elle est déterminée dans ses résultats par le mandant et dans les détails de son exécution par le mandataire. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

10 Une situation, objet de dévolution
Si le mandant impose et si le mandataire accepte une tâche qu’à l’avance il ne sait pas comment accomplir, celle-ci devient un défi pour le mandataire. Les risques doivent être connus et partagés avec le mandant. Une tâche peut acceptée par nécessité ou par devoir. Elle ne peut pas, de droit, être imposée sans une contrepartie qui exige un savoir partagé. Or, par définition, si l’élève « sait » les savoirs qui sont nécessaires pour exposer ce qui est attendu de lui, il ignore l’essentiel des moyens de les agencer pour le réaliser… sauf peut-être dans le cas des exercices. Créer une situation ouvrirait « officiellement » un espace de négociation avec un milieu - matériel ou technique – (entre autres avec le professeur). Mais alors, si une situation ne peut pas être un contrat de travail, il s’ouvre une question au sujet de l’entrée de l’élèves dans la situation par la volonté du professeur : la dévolution. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

11 TSDM et/ou TAD ? Si les tâches de mandant à mandataire (celles accomplies par l’actant) peuvent être négociées lorsque les conditions du contrat sont remplies et connues à l’avance, les situations ne le peuvent pas. La dévolution d’une situation présente des paradoxes qui seront étudiés dans la théorie des situations didactiques en Mathématiques (TSDM). Puisque les taches sont (s’insèrent dans…) des situations, l’ingénierie des tâches est une partie de l’ingénierie des situations, mais la restriction des processus à des savoirs permet une approche propre issue d’une théorie autonome1 Il est utile en ingénierie didactique de bien distinguer dans les situations la part qui relève des tâches et celle qui relèvent d’une situations pour mieux les conjuguer éventuellement. La TSDM est un moyen de savoir, par des moyens scientifiques expérimentaux, ce qu’il est raisonnable d’espérer des suites de tâches ou des suites de situations et probablement celui de les conjuguer de façon optimale. 1. la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD) ULYSSE 8 Cours G-B 2010

12 Abus de l’usage du mot « tâche »
Un contrat de travail implique une obligation de résultat ou de moyens pour le mandataire et l’ obligation d’honorer la contrepartie convenue pour le mandant. L’emploi du mot « tâche » pour désigner un défi tend à reporter systématiquement la responsabilité d’un échec sur le mandataire et tend à exonérer le mandant de sa part d’obligations. Ce procédé, très répandu dans la rhétorique « sociale » du libéralisme, a progressivement envahi l’univers éducatif, depuis une trentaine d’années. Fondé sur des indicateurs insuffisants et mal lus il a permis d’écraser l’usage des précautions lentement améliorées par des sociétés cultivées et d’imposer une idéologie behavioriste sommaire et un traitement brutal des « échecs » scolaires avec des conséquences très négatives que nous étudierons plus loin dans ce cours. D’abord les élèves puis les professeurs ont été attaqués, sans mesure, systématiquement, afin de conduire les citoyens à renoncer à tout projet commun d’éducation, à faire entrer l’enseignement sous la loi des marchés privés et ainsi de leur livrer leurs enfants. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

13 Organisations théoriques
La théorie des situations d’enseignement des mathématiques doit par conséquent se scinder en deux parties: 1. La théorie des situations mathématiques, ou s’étudie comment se construisent et se justifient les savoirs dans les sociétés et chez les individus 2. La théorie des situations didactiques en mathématiques proprement dites, ou comment acculturer les élèves aux pratiques de la communauté mathématique et de la culture. Historiquement la théorie des situations mathématiques s’est surtout développée à ses débuts comme « étude des situations mathématiques à usage didactique » ULYSSE 8 Cours G-B 2010

14 2 Les connaissances et les savoirs
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15 Deux fonctions didactiques : le « savoir »…
La fonction sociale du professeur lui fait obligation de distinguer, parmi les déclarations qui apparaissent dans sa classe, - celles qu’il peut ou pourrait cautionner en tant que références parce qu’elles sont reconnues pour vraies et comme faisant partie de la culture qu’il est chargé de transmettre. - et celles qui ne le sont pas ou pas encore ou qui ne le seront jamais. o Parmi ces dernières évidemment : les erreurs, o Mais aussi les exercices et leurs solutions qui sont supposés être le bagage personnel de l’élève; ils ne font pas partie des références explicitement enseignées. o et les « connaissances » de service : métalangage, conventions didactiques, coutumes, etc. plus ou moins explicitement convenues. En principe le professeur pourrait ne dire et n’accepter publiquement que les connaissances de références. Elles constituent le « savoir » qu’il est chargé de transmettre ULYSSE 8 Cours G-B 2010

16 … et les « connaissances »
Pourtant, parfois un énoncé reconnaissable formellement comme partie du savoir – que nous appellerons abusivement « un savoir » - peut ne pas devoir être considéré comme tel dans la classe. En particulier s’il n’y est pas solidement adossé au savoir, sa référence. Il a alors le statut de simple connaissance C’est le cas… - des savoirs légitimes, bien connus, mais hasardés dans des circonstances où leur pertinence ou leur utilité est douteuse. Ils sont susceptibles de jouer un rôle, mais il n’est pas sûr qu’on doive s’y référer. Le professeur sait que ce sont des savoirs mais il doit les considérer seulement comme des connaissances, - des déclarations qui surgissent comme une évidence, dans des conditions particulières qui lui donnent une certaine légitimité et une certaine utilité mais dont la validité et même le lien avec le savoir ne sont pas établis ULYSSE 8 Cours G-B 2010

17 Les convictions fonctionnent comme des connaissances
C’est le cas aussi des convictions avérées mais inexprimées ou même inexprimables, mais qui se manifestent par des décisions régulières comme le ferait une référence. En enseignement nous le verrons, le non dit et l’indicible jouent un rôle fondamental Les convictions jouent pour le sujet le rôle de références personnelles et donc de « savoirs », même si elles sont fausses. Vraies ou fausses elles peuvent être partagées avec une communauté plus ou moins étendue. Nous ne pouvons donc pas exclure de la liste des « connaissances » les énoncés que le professeur sait être faux. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

18 les convictions fausses aussi…
Avant d’être reconnues comme fausses, en particulier par les élèves, les connaissances fausses fonctionnent comme les vraies et elles jouent un rôle dans le déroulement de la pensée et dans les apprentissages. Dans une situation où se trouve l’élève, un énoncé peut lui paraître vrai. S’il l’explicite le professeur a le devoir de rectifier aussitôt cette erreur, c’est-à-dire d’invalider l’ensemble de la démarche de l’élève alors que rien, du point de vue de ce denier, ne lui permettait de le faire. Cette décision est parfois la meilleure, mais si elle est systématique elle tend à évacuer rapidement le raisonnement personnel de l’élève* *L’étude de ce dilemme sera un des objets de la théorie des situations didactiques en mathématiques que nous aborderons dans la 3ième partie de ce cours ULYSSE 8 Cours G-B 2010

19 … et même les erreurs L’erreur peut être la manifestation d’une connaissance inadéquate ou erronée. Elle est soumise aux mêmes conditions que les connaissances qui se révèleront exactes. Ce sont les accidents qu’elle provoque qui la font évincer. Les élèves peuvent avoir des comportements téléologiques (ils tiennent pour acquis ou ils prennent comme guide ce qu’ils ont à démontrer) Mais nous ne pouvons pas entériner la connaissance préalable des résultats cherchés (les réminiscences de Socrate), ni l’organisation culturelle des savoirs (le rationalisme de Comenius), comme « le » modèle de l’activité mathématique qui les produit, en particulier pour les élèves. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

20 Connaissances et savoir
Le savoir est le moyen standard de reconnaître de formuler de justifier et d’organiser les connaissances. Son organisation est prise comme modèle pour l’organisation de leur apprentissage scolaire. Cette organisation facilite la construction et la mise à l’épreuve de nouveaux savoirs. mais elle ne suffit pas à la provoquer ni à lui assurer une bonne fécondité d’ensemble. Ainsi pour faire acquérir des savoirs, l’apprentissage scolaire doit susciter développer et soutenir la production et la mise à l’ épreuve des connaissances qui les accompagnent Les savoirs viennent avec la culture, ils permettent de reconnaître, de formuler et les connaissances Mais celles-ci, par définition, apparaissent essentiellement avec les situations Alors, organiser des situations est le principal moyen de susciter l’apparition et l’exercice des connaissances et de leur faire jouer leur rôle dans l’acquisition et la mise en œuvre des savoirs ULYSSE 8 Cours G-B 2010

21 3 Caractéristiques et Propriétés des situations
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22 Avertissement sur le terme « situation »
Le terme situation est utilisé ordinairement pour désigner de façon globale les systèmes des conditions indéterminées qui accompagnent un fait, ici un épisode d’enseignement en observation, sans qu’on sache toujours si ces conditions jouent un rôle ou non. Les conditions effectivement observées et relevées pour décrire un fait forment sa « contingence » En théorie des situations, le terme situation désigne : soit un modèle théorique de ce système : description formelle comportant un nombre réduit mais suffisant d’objets et de relations. Il sert - à vérifier la définition et la non contradiction du choix des objets et de leurs effets présumés - et à prévoir les comportements du système soit un modèle empirique, intermédiaire entre la contingence et le modèle théorique ULYSSE 8 Cours G-B 2010

23 La situation, modèle général
Les modèles théoriques généraux des situations mathématiques sont des « jeux » ou encore des « modèles à agents ». Le jeu met en présence un « milieu », matériel ou non , des « agents », qui modifient l’état du milieu par leurs décisions, conformes à des règles convenues, en vue de mettre ce milieu dans un état final déterminé. Ce modèle général sera précisé et diversifié suivant les cas : Le mathématicien construit des connaissances dans son rapport avec un milieu mathématique, ses règles relèvent de la logique et de l’épistémologie. Chaque connaissance mathématique s’inscrit dans un modèle de situation qui lui est spécifique Notons que le modèle général servira aussi à interpréter la situation de l’enseignant: le milieu sur lequel il agit est une situation mathématique dans laquelle le ou les élèves sont engagés Il servira enfin pour interpréter la situation de l’observateur face à un milieu qui sera soit une situation mathématique a-didactique soit une situation d’enseignement. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

24 Incertitude, savoir et connaissance
Dans chaque état d’un système, un éventail de réponses possibles s’ouvre entre lesquelles l’agent hésite si ses connaissances le laissent dans une certaine incertitude. Il opte pour une d’entre elles qui révèle en partie ses connaissances Règle ou réponse convenue Le jeu de carte « la bataille » ne laisse aucune initiative aux joueurs. Son déroulement est inscrit dans la disposition de départ de même que pour le calcul du résultat d’un algorithme déterminé, supposé connu. Ces situations ne révèlent pas d’autres connaissances que le savoir des règles du jeu et leur acceptation. Décision, initiative Au contraire un problème où le choix de l’opération à effectuer ou bien celui des valeurs à utiliser est à l’initiative de l’élève, mobilise de sa part une invention, une connaissance ou un savoir que le résultat peut invalider Connaissance, savoir, Un savoir est une connaissance sûre pour le sujet, partagée et approuvée par la culture et son environnement, le risque de réponse inadéquate est minimum Une « connaissance » manifeste un rapport préalable mais incertain et personnel à la situation. La décision est risquée. Une invention est une production actuelle d’un rapport adéquat ULYSSE 8 Cours G-B 2010

25 soit par les apprentissages qu’elle provoque
Le milieu révèle par suite les effets des actions de l’agent, et à travers eux, éventuellement, l’inadéquation des connaissances que ce dernier a engagées. Ce qui ouvre un processus d’adaptation et d’apprentissage. Le choix des situations est donc critique pour provoquer et accompagner un processus d’apprentissage En fait il est rare qu’une seule situation amène la connaissance complète d’un savoir. Les situations mathématiques s’articulent en processus, (ou curriculums) une situation permettant l’entrée dans une autre soit par les apprentissages qu’elle provoque Soit/et en en appelant une autre par les questions qu’elle soulève. Il existe une grande variété de situations, spécifiques ou non, qui conduisent à l’apprentissage d’une connaissance donnée. Le rôle de la modélisation est savoir les reproduire et de comparer leurs propriétés ULYSSE 8 Cours G-B 2010

26 La situation, modèle mathématique
Le modèle mathématique (MM) d’une situation formalise les états du système (des éléments en présence et de leurs relations) et leurs transitions suivant les décisions des agents Un modèle de comportement (MC) des agents décrit leurs décisions en fonction des informations dont ils disposent (ou que l’observateur leur prête) sur les états du système, (Un MM formalise les dispositifs utilisés en psychologie cognitive, MC(MM) les comportements des sujets. Ils sont trop souvent interprétés à tort comme une caractéristique (MS) des sujets, qui serait indépendante des situations) L’association d’un MM et d’un MC forme donc un « automate mathématique » (déterministe ou probabiliste) qui décrit l’évolution du système, et qui peut être confronté à la contingence (observée) L’objet principal des modèles théoriques est de déceler les contradictions logiques et les incohérences indépendamment des résultats des observations ULYSSE 8 Cours G-B 2010

27 La situation, modèle empirique
L’observation directe des actions des agents et de leurs effets ou résultats, permet d’inférer des régularités, des caractères… et de les organiser en modèles empiriques, sans les intégrer immédiatement dans un modèle théorique de la situation. Ces modèles empiriques sont souvent une étape très utile dans la conception des situations et dans leur mise en œuvre. Mais intégrer des observations comme régularités dans un modèle empirique de situations revient à lui associer un domaine et des conditions de validité que l’on peut alors confronter à une contingence élargie Établir ainsi la valeur empirique d’un modèle ne suffit évidemment pas à l’« expliquer ». La confrontation avec d’autres modèles empiriques s’accompagne d’un confrontation avec des modèles théoriques qui sont l’objet principal de l’activité scientifique de la Didactique. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

28 - Une situation mathématique impliquant une ou plusieurs personnes,
l’observateur construit des connaissances (de didactique) dans son interaction avec son objet d’étude, par exemple : - Une situation mathématique impliquant une ou plusieurs personnes, - Une situation didactique. … Les décisions des actants sont influencées - par l’état du « milieu objectif », - et par leurs « savoirs » Par ses décisions, l’actant modifie l’état du milieu dans un sens prévu ou imprévu. En retour… il interprète ces modifications avec ses connaissances antérieures : assimilation (au sens de Piaget)… ou il modifie ces connaissances : accommodation ULYSSE 8 Cours G-B 2010

29 - certaines sont impossibles,
Ainsi parmi les décisions qui peuvent être envisagées par l’actant pour modifier le milieu, - certaines sont impossibles, - certaines ne sont pas envisagées par l’actant, - certaines sont envisageables mais elles sont, soit interdites par les règles, soit inopérantes, soit inadéquates (elles diminuent les possibilités de gain), - certaines sont malheureuses, - d’autres optimales… Dans un modèle plus fin les savoirs et les connaissances du sujet qu’il tient pour objectivement valides, qu’elles le soient ou non (savoirs et croyances…) forment un « milieu subjectif » qui joue le même rôle que le milieu objectif. Le milieu est alors en partie objectif, en partie subjectif. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

30 Le milieu Le milieu délimite les possibilités de décisions des actants, Il est composé d’objets matériels ou de contraintes immatérielles comme des savoirs Le milieu peut lui-même changer d’état en réponse aux décisions des actants suivant des règles qui lui sont propres mais non intentionnelles Un ou plusieurs actants peuvent modifier les états d’un système (dénué d’intention) suivant des règles convenues, afin d’atteindre en coopération ou en concurrence, un état final déterminé, muni d’un enjeu. Ce système constitue le milieu sur lequel s’exerce l’action de l’actant. Le milieu se manifeste à lui par des changements d’états non décidés par l’actant et par certaines limitations de son action non pas interdites, mais impossibles. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

31 Les actions, les connaissances
Chaque état du milieu offre à l’actant des possibilités d’actions. Un actant totalement ignorant distribue ses choix de façon uniforme sur les issues qu’il envisage (incertitude maximale) ce qui lui assure une certaine probabilité d’atteindre le but. Les connaissances et les savoirs du sujet se manifestent par ses décisions et par la réduction complète ou relative de cette incertitude qu’elles révèlent. A priori, l’incertitude n’est observable que sur des cohortes de situations ou/et d’élèves et ces valeurs sont attribuées à un élève ou a une situation hypothétique ULYSSE 8 Cours G-B 2010

32 Propriétés générales d’un modèle par rapport à un système observé
La consistance : Les relations du modèle sont non contradictoires, valides et compatibles avec la théorie, La pertinence :Tous les objets et les relations figurant dans le modèle sont bien réalisés dans le phénomène observé (l’épisode), La constructibilité: Le modèle est explicite et concrètement significatif, L’adéquation : Le modèle permet de « prévoir » l’évolution ou les conséquences du phénomène observé, Le caractère minimal, Tous les éléments du modèles contribuent à la détermination des résultats attendus, L’économie: la syntaxe du modèle est la plus simple de celles qui sont adéquates, La fiabilité: les intervalles de confiance du résultat dans le cas d’un modèle stochastique, Le champ de validité d’un modèle est composé du champ des systèmes où il est reconnu valide et des observateurs qui reconnaissent cette validité. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

33 Propriétés d’une connaissance par rapport à une situation
La validité La connaissance est vraie La pertinence Les objets et les relations figurant dans la l’expression de la connaissance sont bien réalisés dans la situation L’adéquation La connaissance résout la situation. rq.: adéquate  pertinente La constructibilité La connaissance est déductible du répertoire mathématique de l’actant L’adaptation La connaissance est adéquate et elle est la plus ‘économique’ parmi les solutions ULYSSE 8 Cours G-B 2010

34 Composants généraux des situations
Les interactions d’un actant avec son milieu peuvent être classées: en actions, gestes qui modifient le milieu et qui expriment une décision, elle-même justifiée par une « connaissance », explicitable et justifiée ou non. en expressions à l’intention de soi-même ou d’un tiers comprenant : -les formulations auxquelles on peut associer un objet de pensée -les déclarations de validation, justifications, argumentations pour appuyer ou contredire des énoncés ou des opinions déjà émises Chaque type de situation correspond à des modes d’apprentissages (selon Bateson) distincts L’ingénierie didactique consiste à construire des situations spécifiques de la connaissance voulue ULYSSE 8 Cours G-B 2010

35 Types de composantes, situations et effets
Type de situations mathématiques Manifestation Performance Forme de connaissance Fonction répertoire Apprentissage Modification des Répertoires Action : la connaissance mathématique est implicite Décision, Modèle implicite d’action schèmes Connaissance implicite… Moyen de prendre des décisions Acquisition de schèmes et de connaissances implicites Formulation Communication En langage naturel ou formel Métalangage Expression Message verbale, écrite, gestuelle Iconique Grammaire, vocabulaire Moyen de communiquer prise de conscience Acquisition d’expressions et de vocabulaire Validation Preuves mathématiques et méta- (logique) déclaration conjecture, argument Axiome théorème rhétorique opinions savoirs Moyen de convaincre de prouver Acquisition de connaissances candidates à la référence ULYSSE 8 Cours G-B 2010

36 Les propriétés des situations
La définition des situations permet d’introduire et d’étudier des caractères d’activités qui n’apparaissent pas dans les textes de mathématiques : Caractères du milieu : états permis ou non, incompatibilités, Caractères des activités concevables : inventaire et évaluation des stratégies et des tactiques Caractères des actants et de leurs enjeux L’objet de la modélisation n’est pas de décrire finement des élèves ni même « l’élève » à l’aide d’une liste de questions Au contraire, ce sont les cohortes d’élèves qui révèlent les propriétés didactiques d’une situation, des questions, et des savoirs qui s’y rapportent. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

37 Les variables didactiques
Un modèle de situation présente des paramètres, par nature fixes ou variables, et contrôlés ou libres dans le modèle ou dans l’expérience Une variable peut être active lorsqu’elle présente des variations observables dans le corpus des comportements des élèves « de commande » si ses variations peuvent être décidées arbitrairement par le professeur (ou par l’expérimentateur) Une variable est de nature didactique si elle est « de commande » et si elle est active. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

38 L’observation des expériences
Les valeurs des variables observées… durée du déroulement, résultats, … …accompagnées des valeurs fixées (et contrôlées) ou estimées, pour toutes les variables didactiques d’une situation permettent… d’inférer la valeur de certaines autres variables : dispersion ou homogénéité des résultats fiabilité, pénibilité etc. Et éventuellement d’en déduire un domaine des conditions didactiques optimales de cette situation (ingénierie didactique). Ou des conclusions sur les hypothèses de la recherche Ces performances peuvent être comparées à celles d’autres modèles de situations. (exemples dans le prochain diaporama) ULYSSE 8 Cours G-B 2010

39 La recherche de situations correspondant à un énoncé mathématique déterminé
Cet énoncé doit être le seul moyen d’établir une conclusion L’élève doit pouvoir constater la réussite lui-même Il doit alors pouvoir reprendre sa démarche en la corrigeant Il doit pouvoir recueillir des informations pertinentes de ses tentatives La recherche par essai-erreur-reprise (tâtonnement) ne doit pas donner la solution complète, l’invention du moyen doit être nécessaire. Au nom de quoi la recherche par exhaustivité est ordinairement rejetée par les enseignants… elle ne devrait pas être stigmatisée si elle est raisonnable. L’essentiel n’est pas toujours que l’élève trouve personnellement la solution mais qu’il éprouve personnellement sa nécessité, sa validité … ULYSSE 8 Cours G-B 2010

40 La TSM est-elle une partie des mathématiques ?
Nous avons montré la possibilité théorique de faire correspondre au moins une situation à tout énoncé mathématique. Les conditions de l’apparition de cet énoncé dans la culture attestent de la validité empirique de cette assertion. La construction de situations effectives différentes de celles présentées par l’histoire et choisies par les mathématiciens pour les besoins de leurs recherches peut mobiliser des ressources mathématiques dont l’inventaire n’est pas arrêté. Entre celles-ci, le choix de situations optimales, et leur adaptation aux caractéristiques d’actants ou d’apprenants réels est un nouveau champ de problèmes… de nature mathématique (appliquées) ULYSSE 8 Cours G-B 2010

41 L’essentiel des travaux de TSD ont porté sur des connaissances de base
L’essentiel des travaux de TSD ont porté sur des connaissances de base. Leur origine, très ancienne, leurs usages par des populations entières dans des activités variées et l’apparente simplicité des concepts mathématiques étudiés a pu laisser penser que la TSD deviendrait inefficace ou sans intérêt si les concepts mathématiques concernés devenaient plus complexes… Certes, les raisons d’être d’une formule mathématique quelle qu’elle soit ne doivent pas être cherchées dans des rapports imaginaires avec des objets courants mais dans l’analyse historique, épistémologique, mathématique et prospective de sa place, de sa constitution et de son rôle dans un champ de connaissances, de problèmes et de questions (son milieu). Décortiquer la syntaxe d’une formule comme nous l’avons fait pour l’égalité n’est qu’une des possibilités. Le curriculum sur les statistiques en montre une autre (diaporama 15) . ULYSSE 8 Cours G-B 2010

42 Observations… à compléter et à organiser
La présence des alternatives à la solution cherchée joue un rôle important, la mise en évidence des façons ou des raisons d’écarter les moins favorables peut conduire plus rapidement à une meilleure connaissance que la construction de la solution par une chaîne d’inférences vraies Les variables ergonomiques sont rarement maximales sur les frontières de leur domaine de meilleure efficacité A chaque formule peut correspondre un grand nombre de situations aux propriétés différentes. La recherche procède par l’analyse et l’amélioration des solutions connues ULYSSE 8 Cours G-B 2010

43 Un grand nombre de conditions permettent d’améliorer la qualité des situations. Exemples :
Il est important que chaque élève puisse produire et éprouver sa solution par son effet sur une situation particulière, la sienne. Il est important qu’il puisse aussi la confronter à celles produites par d’autres élèves dans « la même situation » et donc qu’elle soit proposée à un groupe d’élèves Mais la comparaison doit porter sur la résolution et non pas seulement sur le résultat. Il faut donc que les élèves aient des situations similaires à celle de leurs voisins mais non pas identiques (par exemple les mêmes calculs mais avec des données différentes) Différents aspects d’un même concept doivent souvent être mis en évidence par des situations présentant plusieurs postes. Les situations de coopération représentent mieux le fonctionnement des connaissances dans une société. Dans une même situation, les élèves doivent occuper les différents postes qui peuvent éclairer différemment un même concept etc. ULYSSE 8 Cours G-B 2010

44 Conditions optimales pour la mise en œuvre d’une connaissance
Les conditions optimales pour une situation et pour « une » connaissance donnée peuvent être déterminées par des études ergonomiques comme celles évoquées dans le diaporama suivant: Économie et Ergonomie (ex. du calcul humain) de nombreux autres exemples peuvent être tirés des travaux passés et actuels Leur choix est un chantier auquel vous pouvez participer Référence : voir l’observation des activités didactiques 78 sur ce site ULYSSE 8 Cours G-B 2010