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ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 1 De lart denseigner les mathématiques à la didactique et à létude des situations.

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1 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 1 De lart denseigner les mathématiques à la didactique et à létude des situations

2 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 2 Des pratiques anciennes… éduquer les enfants 2 à 5millions dannées ? Enseigner des techniques 0,5 Million dannées Mathématiques 6000 Ans

3 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 3 et létude de ces pratiques Pédagogie Art d éduquer les enfants Didactique Art denseigner tout à tous Étude des Mathématiques Lenseignement, lapprentissage et léducation mathématique 18 ième -21 ième siècles Comenius 1632 Papyrus Rhind - 18 ième siècle Av.JC

4 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 4 Au début du 20 ième siècle, léducation nest toujours pas lobjet dune Science Didactique Art denseigner Pédagogie Art d éduquer Léducation mathématique Lenseignement et lapprentissage Mathématiques Philosophie

5 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 5 Elle est un champ (scientifique ?) pour les sciences constituées Léducation mathématique Lenseignement et lapprentissage Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Logique Statistique Sociologie Psychologie Linguistique Neurosciences Histoire de lÉducation Médecine Droit, déontologie de léducation Anthropologie Economie Didactique Art denseigner

6 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 6 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription de méthodes Denseignement Didactique Art denseigner Certains proposent de fonder les méthodes denseignement sur la connaissance scientifique des processus psychologiques généraux et notamment sur le behaviorisme. Mais en labsence dune analyse systématique de stimuli spécifiques, ce domaine ne peut proposer que des prescriptions générales

7 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 7 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription de méthodes Denseignement Epistémologie Didactique Art denseigner De leur côté les mathématiques se développent, mais aussi elles se renouvèlent : De leur côté les mathématiques se développent, mais aussi elles se renouvèlent : Leur objet, leurs méthodes, leurs fondements, leur structure et la conception de leur mode de fonctionnement et de leur rôle social se modifient profondément… Leur objet, leurs méthodes, leurs fondements, leur structure et la conception de leur mode de fonctionnement et de leur rôle social se modifient profondément… Leurs rapports avec la logique, avec les autres sciences, avec lhistoire des concepts mathématiques - et donc avec leur lenseignement - se renouvellent au sein dun domaine nouveau de la philosophie : lépistémologie, la théorie des sciences. Leurs rapports avec la logique, avec les autres sciences, avec lhistoire des concepts mathématiques - et donc avec leur lenseignement - se renouvellent au sein dun domaine nouveau de la philosophie : lépistémologie, la théorie des sciences.

8 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 8 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Didactique Art denseigner Confrontation à la contingence ? Histoire des Maths Limitée à létude philosophique fondée sur des évènements historiques passés, donc non reproductibles, par définition, lépistémologie nest pas une science expérimentale.

9 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 9 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Didactique Art denseigner Nouveaux résultats Nouvelle organisation Histoire des Maths Lépistémologie pourrait proposer de nouvelles conceptions et de nouvelles organisations de lenseignement des mathématiques mais la méthodologie ne peut pas les étudier de façon expérimentale et scientifique

10 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 10 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Didactique Art denseigner Nouveaux résultats Nouvelle organisation Histoire des Maths Psychologie cognitive Épistémologie génétique De plus, les conceptions pédagogiques et méthodologiques classiques sont lobjet de critiques de la part des sciences psychologiques

11 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 11 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie élargie Didactique Art denseigner Nouveaux résultats Nouvelle organisation Histoire des Maths Psychologie cognitive Épistémologie génétique Ainsi dabord prolongée par lépistémologie génétique (étude du développement des connaissances chez lenfant) puis par la psychologie génétique et cognitive. lépistémologie élargie peut tendre à devenir une science expérimentale. Confrontation à la contingence

12 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 12 Ainsi, en tant que théorie de la connaissance et de sa genèse, lépistémologie peut se soumettre à des expériences par lintermédiaire de la psychologie cognitive et génétique, puis par les neurosciences. Ainsi, en tant que théorie de la connaissance et de sa genèse, lépistémologie peut se soumettre à des expériences par lintermédiaire de la psychologie cognitive et génétique, puis par les neurosciences. Or les processus neurologiques ne déterminent pas seuls les phénomènes culturels. Ces sciences ne peuvent donc pas prévoir ou diriger les processus individuels et collectifs de la création dun concept précis. Or les processus neurologiques ne déterminent pas seuls les phénomènes culturels. Ces sciences ne peuvent donc pas prévoir ou diriger les processus individuels et collectifs de la création dun concept précis. Dautre part les apports de ces deux domaines semblent contredire fortement de nombreux principes de la méthodologie classique Dautre part les apports de ces deux domaines semblent contredire fortement de nombreux principes de la méthodologie classique Or létude de la re-création des connaissances spécifiques au cours de processus didactiques peut fournir à lépistémologie une confrontation expérimentale plus directe de ses thèses avec la contingence. Or létude de la re-création des connaissances spécifiques au cours de processus didactiques peut fournir à lépistémologie une confrontation expérimentale plus directe de ses thèses avec la contingence. Cette étude est à la fois plus visible et plus nécessaire lorsque le développement rapide des mathématiques conduit à essayer de modifier la méthodologie de leur enseignement Cette étude est à la fois plus visible et plus nécessaire lorsque le développement rapide des mathématiques conduit à essayer de modifier la méthodologie de leur enseignement

13 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 13 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie élargie Didactique Art denseigner Confrontation à la contingence ? Lépistémologie élargie ne peut toujours pas étudier scientifiquement les conditions sociales et culturelles de lapparition des connaissances spécifiques, ni en concevoir de nouvelles à partir des observations Elle ne peut donc pas être la théorie de la méthodologie

14 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 14 avait énoncé une série de principes et de règles fondamentales pour « enseigner toutes les matières – y compris la morale - avec une méthode unique »avec seulement quelques compléments particuliers. Comenius avait énoncé une série de principes et de règles fondamentales pour « enseigner toutes les matières – y compris la morale - avec une méthode unique »avec seulement quelques compléments particuliers. « Un seul maître suffit à nimporte quel nombre délèves, ceux dune même classe font la même chose simultanément,avec le même livre,…« Un seul maître suffit à nimporte quel nombre délèves, ceux dune même classe font la même chose simultanément,avec le même livre,… « Tout ce qui doit être su doit être enseigné, comme actuel et utile, directement et sans détour »« Tout ce qui doit être su doit être enseigné, comme actuel et utile, directement et sans détour » « Lenseignement direct fait voir les causes, il commence par les généralités et va ensuite aux détails. Les connaissances doivent être présentées une à une et une seule à la fois« Lenseignement direct fait voir les causes, il commence par les généralités et va ensuite aux détails. Les connaissances doivent être présentées une à une et une seule à la fois Il faut insister jusquà parfaite compréhension… »Il faut insister jusquà parfaite compréhension… » Au début du 20 ième siècle la discussion des principes de léducation appartient à la Pédagogie, Létude des méthodes préconisées par les grands éducateurs et/ou pratiquées par les professeurs fait lobjet de la Méthodologie. Au début du 20 ième siècle la discussion des principes de léducation appartient à la Pédagogie, Létude des méthodes préconisées par les grands éducateurs et/ou pratiquées par les professeurs fait lobjet de la Méthodologie. Pratiques et savoirs didactiques

15 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 15 Les situations mathématiques En comparant la résolution des problèmes à lhistoire des concepts mathématiques, il apparaît que certaines conditions, qui disparaissent de lénoncé final, jouent un rôle essentiel. En comparant la résolution des problèmes à lhistoire des concepts mathématiques, il apparaît que certaines conditions, qui disparaissent de lénoncé final, jouent un rôle essentiel. Ces conditions peuvent être considérées comme un milieu dans lequel le sujet poursuit un but. Ce jeu peut être modélisé par une « situation ». Ces conditions peuvent être considérées comme un milieu dans lequel le sujet poursuit un but. Ce jeu peut être modélisé par une « situation ». Ainsi chaque concept mathématique peut être associé à des conditions dans lesquelles un être humain est amené à produire, comme réponse, un comportement spécifique témoignant dune certaine connaissance dun concept mathématique Ainsi chaque concept mathématique peut être associé à des conditions dans lesquelles un être humain est amené à produire, comme réponse, un comportement spécifique témoignant dune certaine connaissance dun concept mathématique La notion de « situation » que nous définirons et étudierons dabord, élargit donc la notion de « problème » et permet dintroduire dautres paramètres que la validité logique (Ex. : efficacité). La notion de « situation » que nous définirons et étudierons dabord, élargit donc la notion de « problème » et permet dintroduire dautres paramètres que la validité logique (Ex. : efficacité). Cf. énoncés théorèmes problèmes situations

16 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 16 Connais- sances Sujetapprenant Milieu matériel, social etc Milieu matériel, social etc. adaptation Invention apprentissage Figure 1 Schéma dune Situation mathématique

17 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 17 Connaissances et savoirs mathématiques Nos connaissances mathématiques sont le résultat dactivités complexes, individuelles et collectives très diverses. Une partie dentre elles peut sexprimer par des termes, des définitions, des théorèmes…, et sont des références culturelles, ce sont les « connaissances - savoir ». Appelons les « savoirs » Nos connaissances mathématiques sont le résultat dactivités complexes, individuelles et collectives très diverses. Une partie dentre elles peut sexprimer par des termes, des définitions, des théorèmes…, et sont des références culturelles, ce sont les « connaissances - savoir ». Appelons les « savoirs » Dautres interviennent dans les décisions mais elles sont instables, incertaines ou même fausses ou inexprimables, elles naissent et disparaissent selon les circonstances mais elles sont indispensables à la pensée et à lapprentissage. Appelons les « connaissances » Dautres interviennent dans les décisions mais elles sont instables, incertaines ou même fausses ou inexprimables, elles naissent et disparaissent selon les circonstances mais elles sont indispensables à la pensée et à lapprentissage. Appelons les « connaissances » Enseigner les mathématiques consiste à enseigner les savoirs et lusage des connaissances. Il ny a donc pas dautre moyen que de susciter chez les élèves des activités similaires à celles des mathématiciens qui les produisent. Enseigner les mathématiques consiste à enseigner les savoirs et lusage des connaissances. Il ny a donc pas dautre moyen que de susciter chez les élèves des activités similaires à celles des mathématiciens qui les produisent. Tout apprentissage est un phénomène épistémologique Tout apprentissage est un phénomène épistémologique

18 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 18 De façon classique lactivité mathématique est provoquée par des problèmes et des exercices obtenus en transformant le texte de certains théorèmes. Cette méthode présente linconvénient dinstaurer lorganisation standard des textes mathématiques comme le modèle de la pensée mathématique naturelle et vivante et ainsi de réduire cette pensée créative à sa fonction de démonstration. De façon classique lactivité mathématique est provoquée par des problèmes et des exercices obtenus en transformant le texte de certains théorèmes. Cette méthode présente linconvénient dinstaurer lorganisation standard des textes mathématiques comme le modèle de la pensée mathématique naturelle et vivante et ainsi de réduire cette pensée créative à sa fonction de démonstration. La responsabilité de cette représentation de la pensée mathématique repose entièrement sur le professeur qui est conduit à réprimer tout écart à ce modèle. La responsabilité de cette représentation de la pensée mathématique repose entièrement sur le professeur qui est conduit à réprimer tout écart à ce modèle. Les connaissances éventuellement provoquées par le problème doivent être immédiatement traduites en savoirs ou réprimées Les connaissances éventuellement provoquées par le problème doivent être immédiatement traduites en savoirs ou réprimées Toute manifestation dune connaissance que le professeur sait être une erreur ou une digression, devient une faute quil doit réprimer. Toute manifestation dune connaissance que le professeur sait être une erreur ou une digression, devient une faute quil doit réprimer. Il en résulte une tension qui est difficile à supporter pour la plupart des élèves et des professeurs. Les connaissances deviennent sulfureuses et lactivité mathématique devient individuelle et solitaire. Il en résulte une tension qui est difficile à supporter pour la plupart des élèves et des professeurs. Les connaissances deviennent sulfureuses et lactivité mathématique devient individuelle et solitaire.

19 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 19 Remplacer certains problèmes par des situations permet de déférer une part cette responsabilité à un milieu chargé de laisser libre cours à la pensée de lélève, et de lui en montrer les conséquences, indépendamment du professeur… qui devient alors disponible pour une attitude positive. Remplacer certains problèmes par des situations permet de déférer une part cette responsabilité à un milieu chargé de laisser libre cours à la pensée de lélève, et de lui en montrer les conséquences, indépendamment du professeur… qui devient alors disponible pour une attitude positive. Toute la difficulté de lingénierie didactique consiste alors à faire que les réactions du milieu soient instructives, cest-à- dire conduisent assez rapidement à résoudre le problème (souvent caché) en comprenant sa résolution. Autrement dit quil produise des réactions non seulement correctes mais suggestives et pertinentes, cest-à-dire spécifiques de la connaissance à produire et adaptées à la démarche de lélève. Toute la difficulté de lingénierie didactique consiste alors à faire que les réactions du milieu soient instructives, cest-à- dire conduisent assez rapidement à résoudre le problème (souvent caché) en comprenant sa résolution. Autrement dit quil produise des réactions non seulement correctes mais suggestives et pertinentes, cest-à-dire spécifiques de la connaissance à produire et adaptées à la démarche de lélève. Un milieu faiblement significatif, qui se borne par exemple à indiquer « réussite/échec » sans que chaque expérience apporte dautre information que lélimination dune issue possible est un milieu très dispendieux et inefficace Un milieu faiblement significatif, qui se borne par exemple à indiquer « réussite/échec » sans que chaque expérience apporte dautre information que lélimination dune issue possible est un milieu très dispendieux et inefficace La relation didactique peut être modélisée par un système composé dun élève et dun milieu dont le professeur nest quune partie. Ce modèle permet de mieux analyser les observations des épisodes de classe La relation didactique peut être modélisée par un système composé dun élève et dun milieu dont le professeur nest quune partie. Ce modèle permet de mieux analyser les observations des épisodes de classe

20 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 20 Lépistémologie expérimentale Lépistémologie expérimentale Les situations retiennent des ensembles de conditions cohérents et limités à volonté. Ce qui rend possible leur reproduction et leur analyse à laide de leurs effets sur les décisions des élèves. Les situations retiennent des ensembles de conditions cohérents et limités à volonté. Ce qui rend possible leur reproduction et leur analyse à laide de leurs effets sur les décisions des élèves. Noter bien quil sagit dune étude des situations et non pas dune étude des élèves. Noter bien quil sagit dune étude des situations et non pas dune étude des élèves. Ainsi les situations permettent, Ainsi les situations permettent, - de reproduire à volonté des phénomènes pour les étudier, ce qui fonde lépistémologie expérimentale des mathématiques - déprouver et daméliorer des dispositifs pour lenseignement dune connaissance, ce qui fonde lingénierie didactique - détudier les dispositifs pour la psychologie du développement des connaissances des élèves

21 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 21 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Expérimentale Didactique Art denseigner Ingénierie des dispositifs Observation Méthodes dobservation des situations mathématiques Confrontation à la contingence ? Étude des Situations mathématiques

22 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 22 Les situations didactiques Les situations mathématiques sont utilisées pour faire produire et apprendre aux élèves des connaissances mathématiques. Ces connaissances apparaissent comme nécessaires dans un rôle qui leur est spécifique et qui permet à lélève de les reconnaître, de les comprendre, de les apprendre et de les utiliser. Les situations mathématiques sont utilisées pour faire produire et apprendre aux élèves des connaissances mathématiques. Ces connaissances apparaissent comme nécessaires dans un rôle qui leur est spécifique et qui permet à lélève de les reconnaître, de les comprendre, de les apprendre et de les utiliser. Aucune intervention extérieure nest nécessaire pour la construction historique des mathématiques. Elle est lente et aléatoire. Par contre, dans les processus dapprentissage, lintervention du professeur et de la société sont indispensables et le sens des mathématiques enseignées peut en être changé. Aucune intervention extérieure nest nécessaire pour la construction historique des mathématiques. Elle est lente et aléatoire. Par contre, dans les processus dapprentissage, lintervention du professeur et de la société sont indispensables et le sens des mathématiques enseignées peut en être changé. Il faut donc reprendre létude des situations mathématiques en considérant chacune comme une partie dune situation didactique. Celle-ci sera définie comme « un système de conditions qui permet à un professeur et à un groupe délèves de sacculturer à une partie déterminée des mathématiques ». Il faut donc reprendre létude des situations mathématiques en considérant chacune comme une partie dune situation didactique. Celle-ci sera définie comme « un système de conditions qui permet à un professeur et à un groupe délèves de sacculturer à une partie déterminée des mathématiques ».

23 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 23 Savoir scolaire Elève Système Educatif communication apprentissage Transposition didactique Figure 2 Le « triangle didactique »

24 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 24 Savoir scolaire Elève Système Educatif Connais- sances Sujet apprenant Milieu matériel, social etc. organisation Figure 3 La situation didactique utilise des situations mathématiques Ce schéma évite la confusion des fonctions Et léviction du milieu

25 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 25 Note sur le milieu, les situations et les problèmes. Note sur le milieu, les situations et les problèmes. La situation est composée de règles (dun jeu) proposées par le professeur et dun milieu composé de contingences matérielles et des savoirs de lélève La situation est composée de règles (dun jeu) proposées par le professeur et dun milieu composé de contingences matérielles et des savoirs de lélève Le milieu et les règles déterminent ensemble la trouvaille probable de la réponse et de la solution. Le milieu et les règles déterminent ensemble la trouvaille probable de la réponse et de la solution. Mais la validité des « informations » qui apparaissant dans les rapports de lélève avec le milieu ne sont plus de la responsabilité du professeur. Mais la validité des « informations » qui apparaissant dans les rapports de lélève avec le milieu ne sont plus de la responsabilité du professeur. Celui nétant donc plus obligé de dénoncer et de rectifier immédiatement celles quil sait fausses, comme il est obligé de le faire dans le cas de la résolution dun problème, peut laisser se développer une activité mathématique authentique et publique de la part de lélève, sans déroger à sa mission de professeur, garant de la vérité de qui apparaît Celui nétant donc plus obligé de dénoncer et de rectifier immédiatement celles quil sait fausses, comme il est obligé de le faire dans le cas de la résolution dun problème, peut laisser se développer une activité mathématique authentique et publique de la part de lélève, sans déroger à sa mission de professeur, garant de la vérité de qui apparaît Sans reconnaissance du milieu ni utilisation de son rôle, une situation devient un simple problème, cest-à-dire une reconstitution de texte suivant la logique de lexposé dun texte. Ce qui ne simule et ne développe quune des composantes de lactivité mathématique et qui en modifie la signification et lusage Sans reconnaissance du milieu ni utilisation de son rôle, une situation devient un simple problème, cest-à-dire une reconstitution de texte suivant la logique de lexposé dun texte. Ce qui ne simule et ne développe quune des composantes de lactivité mathématique et qui en modifie la signification et lusage

26 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 26 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Expérimentale Didactique Art denseigner Situations didactiques en mathématiques Ingénierie didactique Observation Méthodes dobservation des situations didactiques Situations mathématiques Etudes des situations didactiques en mathématiques

27 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 27 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Expérimentale Didactique Art denseigner Etudes des situations didactiques et des curriculums en mathématiques Domaines de la Didactique des Mathématiques abordés dans ce cours Macrodidactique Microdidactique

28 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 28 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Expérimentale Didactique Art denseigner Approches théoriques et expérimentales de la Didactique des Mathématiques Théorie anthropo logique Théories des situations Champs conceptuels Registres Approches globales Approches locales

29 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 29 Pédagogie Art d éduquer Mathématiques Méthodologie ConceptionDescription Epistémologie Expérimentale Didactique Art denseigner Didactique empirique des mathématiques Didactique théorique et expérimentale des Mathématiques

30 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 30 Létude des situations Programme du cours

31 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 31 1 ère Partie Ingénierie mathématique et didactique Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations mathématiques Théorie des situations mathématiques à usages didactiques Observation Méthodes dobservation des situations mathématiques Méthodologie de lobservation Situations mathématiques Observations longitudinales Méthodes dobservation des curriculums didactiques Méthodologie de la recherche expérimentale Ingénierie Mathématique et didactique Modélisation et Eléments Fondamentaux des curriculums Théorie des curriculums didactiques en mathématiques Curriculums mathématiques 2 ème Partie

32 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 32 Observation dépisodes didactiques Méthodes dobservation des situations didactiques Méthodologie de la recherche expérimentale en didactique Ingénierie didactique Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations didactiques Théorie des situations didactiques en mathématiques Situations didactiques en mathématiques 3 ème Partie 4 ème Partie Macrodidactique des mathématiques Observations macrodidactiques -Théories behavioristes et économiques -Théories Anthropologiques du Didactique - Ethno mathématiques cadres conceptuels Modélisation des phénomènes systèmes à agents didactiques

33 ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 33 4 ième Partie : Phénomènes de Macro didactique La microdidactique étudie comment les connaissances humaines sont diffusées, reproduites et utilisées par les individus et par les sociétés. En ce sens elle a pu être comparée à la microéconomie. La microdidactique étudie comment les connaissances humaines sont diffusées, reproduites et utilisées par les individus et par les sociétés. En ce sens elle a pu être comparée à la microéconomie. La théorie des situations didactiques appartient à la microdidactique. Elle étudie la relation didactique La théorie des situations didactiques appartient à la microdidactique. Elle étudie la relation didactique Par analogie, existe-t-il une Macrodidactique, cest-à-dire létude scientifique de tous les phénomènes en rapport avec la diffusion des connaissances mathématiques dans les différentes sociétés humaines? Par analogie, existe-t-il une Macrodidactique, cest-à-dire létude scientifique de tous les phénomènes en rapport avec la diffusion des connaissances mathématiques dans les différentes sociétés humaines? Dans ce cas, lethnomathématique serait la partie anthropologique de la macrodidactique des mathématiques Dans ce cas, lethnomathématique serait la partie anthropologique de la macrodidactique des mathématiques - -- La Théorie Anthropologique du Didactique (Anthropologie des savoirs) fera lobjet dun chapitre introductif à part


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