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Des problèmes géométriques pour le cycle 3 1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3 1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie.

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1 Des problèmes géométriques pour le cycle 3 1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3 1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3 a) IO b) Adresses Internet 2°) Exemples de problèmes de reproduction, de construction et de description de figures 3°) Exemples de problèmes concernant un thème donné 3°) Exemples de problèmes concernant un thème donné a) Quadrillages b) Pavages 4°) Exemples de problèmes proposés par léquipe ERMEL 5°) Problèmes de géométrie et TICE 6°) 20 problèmes "pour chercher » (avec solutions) 6°) 20 problèmes "pour chercher » (avec solutions) (les quatre derniers concernent les grandeurs géométriques aire et/ou périmètre)

2 1°) IO et adresses Internet concernant la géométrie au cycle 3 a) IO Dans la proposition de progression pour le cycle 3 (tableau à trois colonnes), on trouve trois paragraphes consacrés à la géométrie : - Un paragraphe intitulé « dans le plan » où sont listées les notions à aborder en géométrie plane - Un paragraphe intitulé « dans lespace» où sont listées les notions à aborder en géométrie dans lespace - Un paragraphe intitulé « problèmes de reproduction, de construction » CE2 CM1 CM2 Retour au sommaire

3 Remarque : retour sur quelques définitions Reproduction Réalisation dune « copie » dune figure plane ou dun objet à trois dimensions dont on dispose et sur lequel on peut donc agir (remarque : il est souvent nécessaire de préciser le degré de conformité souhaité). On a donc un « modèle ». Construction Réalisation dune figure plane ou dun objet à trois dimensions qui nest pas présent et dont on dispose seulement dune description ou dune représentation. Description Informations orales et/ou écrites sur une figure plane ou un objet à trois dimensions permettant à une personne - de le reconnaître parmi dautres - ou bien de de le construire (on parle alors de programme de construction : il faut repérer dans la figure des figures de base, repérer les liens entre ces figures puis se mettre à la place de lautre et chercher à établir une chronologie des actions ce qui suppose de construire au moins mentalement une partie de la figure ; cest difficile …) Retour au sommaire

4 Remarque : La description de la figure ou de lobjet à trois dimensions peut utiliser des procédés conventionnels. On parle alors souvent de représentation. Exemple de représentations dun même objet (« polycube ») Représentation cavalière Vue de dessus avec indications chiffrées On peut bien évidemment amener lélève à effectuer et à utiliser des représentations différentes dun même objet. Retour au sommaire

5 b) Adresses Internet concernant, de façon générale, lenseignement de la géométrie au cycle 3 Voir : 2°) Exemples de problèmes de reproduction, construction et description de figures a) Exemples de problèmes (daprès des propositions de Jean-Luc Brégeon : - Constructions de figures soit à main levée soit à laide dinstruments à partir de descriptions soit orales soit écrites données aux élèves par lenseignant (constructions soit sur papier quadrillé soit sur papier uni) : La figure est formée de deux carrés : un grand et un petit. Les sommets du petit carré sont les milieux des côtés du grand carré. Pour dautres ressources concernant lécole primaire, voir ce mini-portail : Retour au sommaire

6 La figure est formée dun cercle et dun carré. Le cercle passe par les 4 sommets du carré. Tracer un cercle, puis un diamètre de ce cercle. Tracer un carré qui a pour côté ce diamètre. Tracer un cercle. Tracer deux diamètres perpendiculaires. Tracer un carré. Tracer un cercle qui a pour centre un sommet du carré et qui passe par deux autres sommets. Retour au sommaire Source de ces propositions :

7 La figure est formée dun carré et dun triangle. Le triangle a un côté commun avec le carré et se trouve à lextérieur du carré. Trace un carré. Trace un demi-cercle de diamètre un côté du carré, situé à lextérieur du carré. Cette figure est formée dun carré, de ses deux diagonales et des segments qui relient les milieux des côtés opposés Cette figure est formée dun rectangle et dun cercle. Le cercle passe par les 4 sommets du rectangle. Retour au sommaire Source de ces propositions :

8 - Ecriture par les élèves dun texte décrivant les étapes de la construction dune figure (élèves par groupes deux). « Il faut écrire un message expliquant les différentes étapes qui permettent de construire la figure que vous avez, exactement à lidentique. Les dessins sont interdits dans le message. Un autre groupe devra lire votre message et refaire la figure. » Exemples de figures : Message : Retour au sommaireSource de ces propositions :

9 « Chaque groupe doit lire le message reçu et, en suivant les indications, construire une figure géométrique. Si vous ne comprenez pas ce qui est demandé ou si vous narrivez pas à faire la construction, lécrire sur la feuille de message. » Lorsque les constructions ont été réalisées, les faire comparer aux figures initiales puis faire une mise en commun... Remarque : en géométrie, lorientation de la figure na pas dimportance ; il suffit que les deux figures se superposent, même si elles nont pas des orientations semblables. b) Jeu du portrait Les élèves doivent poser des questions permettant didentifier parmi plusieurs figures celle que le maître (ou un autre élève) a choisie. Le maître (ou lélève) ne répond que par oui ou par non. Retour au sommaire

10 Figures pour le jeu du portrait : Auteur de ce document : Jacques Muller, formateur à lIUFM dAlsace Retour au sommaire

11 c) Autres propositions en vrac... - Reproduction de la même figure en changeant déchelle. Un élément de la figure agrandie (par exemple, un segment représentant le côté du carré à obtenir) est fourni, ceci pour amener les élèves à mieux prendre en compte les propriétés de la figure. - Deux programmes écrits sont donnés ainsi quune figure, lélève doit déterminer à quel programme correspond la figure. - Un programme est donné ainsi que plusieurs figures. Lélève doit déterminer à quelle figure correspond le programme. - A partir de la description orale dune figure, les élèves doivent lidentifier parmi plusieurs figures. - Construction de figures avec des élastiques sur un planche à clous Remarque : Vous pouvez télécharger une planche à clous virtuelle à cette adresse : Des propositions dactivités pour le cycle 2 et le cycle 3 sont disponibles ici : rennes.fr/maths/geometrie/progression%20geoplan/Utilisation%20du%20geoplan%20cycles%202%20et%203.ht m rennes.fr/maths/geometrie/progression%20geoplan/Utilisation%20du%20geoplan%20cycles%202%20et%203.ht m Retour au sommaire

12 - Pour les solides, une liste dactivités possibles par niveaux est disponible sur le site de la circonscription de Landivisiau : Exemple de « belle figure » : d) Remarques : - en géométrie plane, il est souhaitable de faire construire « de belles figures » (exposition ou mise en ligne sur un site web envisageables) - on peut construire des solides quon pourra exposer dans un « musée des formes » - le matériel clixi est un matériel intéressantle matériel clixi On pourra, bien sûr, adapter la tâche au niveau des élèves. Exemples : Facile : Difficile : Programme de construction sans modèle : Tracer un triangle isocèle. Les deux côtés qui ont la même longueur mesurent 10 cm. Sur un des côtés, marque tous les centimètres, un point que tu relieras ensuite au sommet opposé. Tu obtiendras un quadrillage. Retour au sommaire

13 Autres exemples : Retour au sommaire

14 3°) Exemples de problèmes concernant un thème donné a) Quadrillages - Reproductions de figures sur des quadrillages déformés (Auteur des documents : Jacques Muller, formateur à lIUFM dAlsace) Retour au sommaire

15 A adapter au niveau des élèves

16 Retour au sommaire A adapter au niveau des élèves

17 Retour au sommaire A adapter au niveau des élèves

18 - Transformations de figures (à adapter au niveau) Voir : b) Pavages (deux exemples de problèmes) - Peut-on paver le plan en utilisant un triangle quelconque (ou « Peut-on réaliser un parquet en utilisant des plaques triangulaires identiques ayant la forme dun triangle quelconque ? ») Exemple de solution : Retour au sommaire

19 - Peut-on paver le plan en utilisant un quadrilatère quelconque (ou « Peut-on réaliser un parquet en utilisant des plaques identiques ayant la forme dun quadrilatère quelconque ? ») Solution : Retour au sommaire

20 4°) Exemples de problèmes proposés par léquipe ERMEL Alignement (CM1) : Retour au sommaire Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006 (il y a aussi des fiches photocopiables et un matériel collectif) (page web 1) (page web 2) (page web 3)page web 1page web 2page web 3 Remarques : - sur le site du département mathématiques de l'IUFM de la Réunion, on peut consulter une présentation Powerpoint résumant uniquement la partie théorique de cet ouvrage) - les quelques exemples donnés ci-après ne sauraient rendre compte de la qualité dun ouvrage (de 600 pages) dont je recommande la lecture.une présentation Powerpoint

21 Retour au sommaire CE2 Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006

22 Retour au sommaire Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006

23 Retour au sommaire Source : Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes ERMEL Hatier 2006

24 Combien de carrés ? Retour au sommaire 5°) Problèmes de géométrie et TICE Exemple dutilisation dun diaporama Powerpoint pour montrer la solution dun problème a) Utilisation par lenseignant

25 Retour au sommaire

26 Retour au sommaire

27 21 Retour au sommaire

28 22 Retour au sommaire

29 23 Retour au sommaire

30 24 Retour au sommaire

31 25 Retour au sommaire

32 26 Retour au sommaire

33 27 Retour au sommaire

34 28 Retour au sommaire

35 29 Retour au sommaire

36 30 Retour au sommaire

37 b) Exemple de problème résolu par les élèves en utilisant un logiciel de géométrie dynamique Voir par exemple : (ce problème est un des problèmes proposés par léquipe ERMEL vus précédemment)http://dpernoux.chez-alice.fr/Construction/distance__ermel.html Retour au sommaire

38 Problème n° 1 Comment trouver la longueur du tuyau ? Solution : 6°) Exemples de problèmes "pour chercher" Ces problèmes (du style « rallye maths », « défi maths »,...) ne sont pas classés par ordre de difficulté. Ils sont de difficulté très variables et devront bien évidemment être adaptés au niveau des élèves. Retour au sommaire Remarques préalables : - Ces énoncés de problèmes proviennent de sources diverses (énoncés que jai créés ; énoncés issus de défi- maths, rallyes-maths, etc. que jai éventuellement modifiés,...). Si vous êtes lauteur dun de ces énoncés merci de me contacter en utilisant ce lien.ce lien - Trois des énoncés proviennent du fichier « Evariste Ecole » de lAPMEP (brochures proposant 60 problèmes de niveau cycle 2 et 120 problèmes de niveau cycle 3) Adresse de la page du site de lAPMEP permettant de commander ce fichier :

39 Problème n° 2 Il existe cinq tétraminos (figures composées de quatre carrés identiques qui se touchent au moins selon un côté) différents : Mais combien existe-t-il de pentaminos (figures composés de cinq carrés identiques qui se touchent au moins selon un côté) différents ? Solution : Il y a 12 pentaminos : Retour au sommaire

40 Remarque : avec chacun des pentaminos pris isolément on peut réaliser un pavage du plan. Document Jean-Louis Sigrist Retour au sommaire

41 Problème n° 3 (puzzle « de la croix » ou « de Sam Loyd ») Choisir, bien sûr, des items adaptés aux connaissances des élèves Remarque : on peut aussi fabriquer un pentagone « quelconque », une figure ayant la forme de la lettre T,.... Solution : Retour au sommaire

42 Problème n° 4 Les cubes ne peuvent pas rester tout seuls en lair. Combien y a-t-il de petits cubes ? Réponse : Il y a 12 petits cubes. Problème n° 5 Quelle que soit la façon de regarder cet objet on le voit toujours ainsi : Combien y a-t-il de petits cubes ? Exemple de solution Nombre de petits cubes composant cet objet (on découpe lobjet en tranches horizontales) : = 61 Retour au sommaire

43 Problème n° 6 Partage cette figure en 4 parties identiques (même forme et même aire) : Solution : Retour au sommaire

44 Problème n° 7 Arlette découpe cette tarte en quatre parts identiques (même forme et même aire) avec seulement deux coups de couteau. Dessine le découpage sur la tarte. Solution : Retour au sommaire

45 Problème n° 8 Trouver la région dans laquelle peut se promener le chien (la laisse ne peut pas passer en travers de la maison) Retour au sommaire

46 Solution : Retour au sommaire

47 Problème n° 9 Solution : Amandine voit la façade n° 3 et Jean-Paul la façade n° 2. La vue n° 5 correspond à la façade opposée à celle vue par Amandine. Source : Fichier « Evariste » de lAPMEP Retour au sommaire

48 Problème n° 10 Source : Fichier « Evariste » de lAPMEP Solution : Lintrus est la figure n° 6 Elle a six côtés alors que toutes ls autres figures en ont cinq. Retour au sommaire

49 Problème n° 11 Source : Fichier « Evariste » de lAPMEP Solution : Retour au sommaire

50 Problème n° 12 Source : Solution : Nombre total de cubes : 6 x 6 × 6 = 216 Nombre de cubes ayant un seule face peinte : 6 × 16 = 96 Nombre de cubes ayant deux faces peintes : 12 × 4 = 48 Nombre de cubes ayant trois faces peintes : 8 Nombre de cubes ayant plus de trois faces peintes : 0 Nombre de cubes nayant aucune face peinte : 4×4×4 = 64 Retour au sommaire

51 Problème n° 13 Exemple de solution : Retour au sommaire

52 Problème n° 14 Solution : Retour au sommaire

53 Problème n° 15 Solution : Retour au sommaire

54 Problème n° 16 Réponse : Je peux ainsi former trois carrés différents : Retour au sommaire

55 Problème n° 17 (problème concernant les aires et les périmètres) 1°) Si on les colorie, lesquelles useront le plus votre feutre ? laquelle usera le moins votre feutre ? 2°) Et pour les écrire, lesquelles useront le plus votre stylo ? lesquelles useront le moins votre stylo ? Voici 6 voyelles : Retour au sommaire

56 Solution : 1°) En prenant laire dun « carreau » comme unité daire on trouve : Aire de A = 12 Aire de E = 10 Aire de I = 9 Aire de O = 12 Aire de U = 11 Aire de Y = 11 Si on colorie les voyelles, cest le A et la O qui useront le plus le feutre et cest le I qui usera le moins le feutre. 2°) En prenant la longueur du côté dun « carreau » comme unité de longueur trouve : Longueur des traits composant le A = 24 Longueur des traits composant le E = 22 Longueur des traits composant le I = 20 Longueur des traits composant le O = 24 Longueur des traits composant le U = 24 Longueur des traits composant le Y = 20 Si on écrit les voyelles, cest le A, le U et le O qui useront le plus le stylo et cest le I et le Y qui useront le moins le stylo. Retour au sommaire

57 Si on prend comme unité daire laire dun carreau, quelle est laire de la partie hachurée de la figure ci-dessous ? Solution : 1°) Aire totale de la figure = 10 2°) Aire totale de la partie non hachurée : 4 + 1,5 + 1 = 6,5 3°) Aire de la partie hachurée : ,5 = 3,5 Problème n° 18 (problème concernant les aires) Retour au sommaire

58 Trouver de nombreuses façons différentes et originales de partager un rectangle en quatre régions de même aire. Quelques réponses possibles : Problème n° 19 (problèmes concernant les aires) Retour au sommaire

59 Problèmes n° 20 (problème concernant les aires et la proportionnalité) Un peintre a peint ces quatre figures A, B, C et D sur un mur, chacune avec une couche de peinture de la même épaisseur et dune couleur différente : Il a utilisé des pots de peinture de même grandeur : 18 pots de rouge pour une des figures, 21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. À la fin de son travail, tous les pots étaient vides. 1. Indiquer la couleur de chaque figure. 2. Combien de pots de peinture noire a-t-il utilisés ? Retour au sommaire Source : Rallye Mathématique Transalpin 9e RMT, épreuve II, Problème 12 (avec laccord des auteurs que je remercie)

60 Solution : Si on prend laire dun carreau comme unité daire : Aire de A = 8 Aire de B = 7 Aire de C = 9 Aire de D = 6 18 pots de rouge pour une des figures, 21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. Remarque : Aire de D < Aire de B < Aire de A < Aire de C On teste les différentes possibilités et on garde celle qui convient (le nombre de pots de peintures utilisés pour peindre une surface doit être proportionnel à laire de cette surface) : Retour au sommaire

61 FiguresDBAC Aire en unité d'aire6789 Nombre de pots182127? Nombre de pots par carreau33pas 3? Aire en unité d'aire6789 Nombre de pots1821?27 Nombre de pots par carreau33?3 Aire en unité d'aire6789 Nombre de pots18?2127 Nombre de pots par carreau3?pas 33 Aire en unité d'aire6789 Nombre de pots? Nombre de pots par carreau?pas 3 3 1°) On a donc peint D en rouge, B en bleu et A en jaune. 18 pots de rouge pour une des figures, 21 pots de bleu pour une autre figure, 27 pots de jaune pour une autre figure, des pots de noir pour la figure qui reste. 2°) On a utilisé 3 pots par carreau. Pour peindre A en noir on a donc utilisé 8 × 3 soit 24 pots. D. Pernoux Retour au sommaire


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