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Année : 2011/2012 Delta-Hedging dune option digitale et approche par Bull Spread SEN Serdar AMADEL Mohcine ZALBA Juan.

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1 Année : 2011/2012 Delta-Hedging dune option digitale et approche par Bull Spread SEN Serdar AMADEL Mohcine ZALBA Juan

2 S OMMAIRE Introduction I-Calcul du Delta dune option digitale II-Option Bull Spread III- Méthode dapproximation de loption digitale 1) Approximation du prix de loption digitale 2) Approximation de delta de loption digitale IV- Comportements de loption digitale approché 1) Comportement du delta approché 2) Comportement temporel de loption digitale approché V- Simulations du portefeuille de duplication et de lerreur de couverture Conclusion

3 I NTRODUCTION Une option Call Digitale est une option qui donne le droit à un euro à une échéance T si le Strike K est dépassé par lactif à cette date T, et 0 sinon. Payoff du Call Digitale : Digitale européenne Digitale américaine

4 I NTRODUCTION Notre étude est basé sur les digitales européennes, dans le cadre du modèle de Black Scholes. But du projet : Utiliser les options vanilles simples pour approcher le payoff dune digitale Calculer le Delta approchée de la digitale grâce aux options vanille simples. Réaliser une couverture en Delta approchée de loption digitale.

5 I. C ALCUL DU DELTA D UNE OPTION DIGITALE Payoff du Call Digitale : Prix de loption : Delta : En en déduit le delta de la digitale : Le delta de la digitale diverge à lapproche de la maturité, cest la raison pour laquelle on va utiliser des options vanilles simple pour approximer le delta de la digitale.

6 II. O PTION B ULL S PREAD Un Bull Spread est défini par : - Achat dun Call C1 de Strike K1 - Vente dun Call C2 de Strike K2 > K1 Pour K 2 et K1 trés proche le payoff de la Bull Spread sapproche du payoff de loption Call Digitale Sous-jacent S T Payoff C1Payoff C2Payoff Bull Spread S T < K K 2 < S T < K 1 S T - K 1 0 S T > K 2 S T - K 1 - (S T - K 2 )K 2 - K 1

7 Pour on a On prend, dans ce cas Si jachète le payoff devient : Exemple : Si je doit acheter Bull Spreads pour que le payoff vaille 1 (valeur du payoff dune digitale). II. O PTION B ULL S PREAD Sous-jacent S T Payoff C1Payoff C2Payoff Bull Spread S T < K K 2 < S T < K 1 S T - K 1 0 S T > K 2 S T - K 1 - (S T - K 2 )K 2 - K 1

8 Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de : - achat Call C1 de Strike K - vente Call C2 de Strike 2.Calcul des prix sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread : 3.On obtient le prix du Bull Spread : Prix Bull Spread = C1 - C2 4.Calcul du prix de loption digitale approchée : III. M ÉTHODE D APPROXIMATION DE L OPTION DIGITALE 1) Approximation du prix de loption digitale

9 Dans la suite les différentes graphiques et résultats que nous obtiendront seront suivant ces paramètres : III. M ÉTHODE D APPROXIMATION DE L OPTION DIGITALEC 1) Approximation du prix de loption digitale

10 III. M ÉTHODE D APPROXIMATION DE L OPTION DIGITALE Prix Digital Approché pour є = 0,1 à 0,001 On remarque que plus є est petit plus le prix du digital approché tend vers le vrai prix de loption digital 1) Approximation du prix de loption digitale

11 Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de : - achat Call C1 de Strike K - vente Call C2 de Strike 2.Calcul le delta sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread : On a : 3.Le delta du Bull Spread sobtient par : 4.Finalement le Delta approché de loption digitale est : III. M ÉTHODE D APPROXIMATION DE L OPTION DIGITALE 2) Approximation de delta de loption digitale

12 IV. C OMPORTEMENTS DE L OPTION DIGITALE APPROCHÉ 1) Comportement du delta approché Delta du digitale en t=0

13 2) Comportement temporel de loption digitale approché IV. C OMPORTEMENTS DE L OPTION DIGITALE APPROCHÉ

14 2) Comportement temporel de loption digitale approché

15 IV. C OMPORTEMENTS DE L OPTION DIGITALE APPROCHÉ 2) Comportement temporel de loption digitale approché On remarque que à lapproche de la maturité le prix de la digitale approché diffère très légèrement du prix du digital original. Cette différence est moins important pour є très petit.

16 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE Portefeuille de couverture : Quantité de sous-jacent à acheter : Emprunt au taux sans risque : Etape de calcul : 1.Couverture sur une grille discrète : 2.On se place dans le cadre de Black Scholes 3.Calcul du delta approché : 4.Dynamique discrète du portefeuille : Avec : 5.Erreur de couverture :

17 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE

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20 Page 22 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE On remarque que lerreur de couverture est plus petit pour un rebalancement à haute fréquences

21 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE Page 23 Rebalancement trimestriel

22 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE Rebalancement mensuel

23 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE Rebalancement bi-mensuel

24 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE Rebalancement hebdomadaire

25 V- S IMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L ERREUR DE COUVERTURE Rebalancement bi-hebdomadaire

26 CONCLUSION


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