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François Longin www.longin.frwww.longin.fr Formation ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire « Placements financiers » Pricing doptions.

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1 François Longin Formation ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire « Placements financiers » Pricing doptions

2 François Longin Plan Modèle en temps discret Le modèle binomial de Cox-Ross Modèle en temps continu La formule de Black Scholes Merton Utilisation dun pricer: Calcul du prix dune option Calcul de la volatilité implicite

3 François Longin Evaluation doptions standards (1) Le problème La valeur dune option est connue à maturité T. Elle est donnée par la fonction pay-off (contrat). Quelle est la valeur dune option à une date quelconque t (t T) ? En particulier, quelle est la valeur de loption à la date démission (t = 0) ? Quelle est la prime payée par lacheteur de loption au vendeur ? Lapproche classique Jusque dans les années 1970, la méthode consistait à valoriser une option en actualisant ses flux de trésorerie anticipés avec un taux dactualisation qui prenait en compte le risque de loption. Exercice: formaliser lapproche classique pour un call.

4 François Longin Evaluation doptions standards (2) Le raisonnement darbitrage Si deux produits financiers présentent les mêmes flux quelque soit lévolution du marché, alors ils ont le même prix. Hypothèse implicite : absence dopportunités darbitrage

5 François Longin Evaluation doptions standards (3) Lapproche par arbitrage (modèle de Black Scholes Merton) Sous certaines hypothèses, une position longue dans un call (achat) est équivalente à une position longue dans lactif sous-jacent (achat) et une position courte dans le titre sans risque (emprunt). Ce portefeuille (appelé portefeuille de couverture ou portefeuille darbitrage) permet de répliquer exactement le pay-off de loption à maturité. En labsence dopportunités darbitrage, la valeur de loption est alors égale à la somme des valeurs de ces positions (observables sur le marché).

6 François Longin Modélisation du prix de lactif sous-jacent Modèle en temps discret Exemple : modèle à une période (deux dates) Le prix de laction à la date 0 est égal à 50. Le prix de laction à la date 1 est égal à 25 avec une probabilité de 50% ou 100 avec une probabilité de 50%. Application : méthode binomiale (Cox Ross) Modèle en temps continu Exemple : un mouvement brownien Application : formule de Black Scholes Merton

7 François Longin La méthode binomiale – Exemple simple (1) Modèle à une période (deux dates : 0 et 1) Caractéristiques de lactif sous-jacent (laction) : Le prix de laction à la date 0 est égal à 50. Le prix de laction à la date 1 est égal à 25 ou à 100. Autres données de marché : Le taux dintérêt sans risque est égal à 25%. Taux prêteur ou emprunteur. Caractéristiques de loption : Call (option dachat) Prix dexercice : 50 Maturité : date 1 Exercice : déterminer le prix de loption à maturité.

8 François Longin La méthode binomiale – Exemple simple (2) Problème : quel est le prix de loption à la date 0 ? Etude du portefeuille suivant : Une position courte de 3 calls (vente de 3 calls) Une position longue de 2 actions (achat de 2 actions) Un prêt de 40 Exercice: calculer la valeur de ce portefeuille à la date 1 (dans chaque état). En déduire la valeur de ce portefeuille à la date 0. En déduire la valeur du call à la date 0.

9 François Longin La méthode binomiale – Formalisation (1) Modèle à une période (deux dates : 0 et 1) Notations Le prix de lactif sous-jacent (laction) à la date 0 est noté S. Le prix de lactif sous-jacent à la date 1 peut prendre deux valeurs : u·S avec une probabilité q (hausse du prix) et d·S avec une probabilité 1-q (baisse du prix). Le taux dintérêt sans risque (rentabilité brute ou gross return) est noté r (taux prêteur ou taux emprunteur). Hypothèse : d < r < u. Le marché est supposé parfait (ni taxes, ni coût de transaction, atomicité des agents économiques, etc.) Considérons une option sur lactif sous-jacent avec un prix dexercice K et une maturité égale à 1 (lunité de temps). Exercice: calculer la valeur de loption à la date 1.

10 François Longin La méthode binomiale – Formalisation (2) Portefeuille de couverture (hedge portfolio) Considérons le portefeuille suivant : Une position longue sur lactif sous-jacent : achat de actions Une position courte sur lobligation sans-risque : prêt de B Exercice: représenter sous la forme dun arbre lévolution du prix de lactif sous-jacent, de loption et du portefeuille de couverture. Calcul de la décomposition du portefeuille de couverture Par construction, le portefeuille de couverture doit avoir la même valeur que loption à la date 1 (quelque soit lévolution du prix de lactif sous- jacent) : Système de deux équations à deux inconnues : Δ et B.

11 François Longin La méthode binomiale – Formalisation (3) La résolution de ce système donne : La valeur du call est égale à :

12 François Longin La méthode binomiale – Formalisation (4) La valeur du call peut sécrire : avec Le paramètre p peut sinterpréter comme une probabilité : 0 p 1. Le paramètre p correspond au cas où les agents économiques sont neutres au risque :

13 François Longin La méthode binomiale – Formalisation (5) Analyse du prix de loption et du portefeuille de couverture La probabilité p (probabilité réelle ou historique) napparaît pas dans le prix du call. Deux investisseurs avec des anticipations différentes sur le prix futur de lactif sous-jacent seront tout de même daccord sur le prix du call. Le prix du call ne dépend pas de lattitude des investisseurs face au risque (aversion au risque). Deux investisseurs avec des niveaux daversion au risque différents seront tout de même daccord sur le prix du call. Le prix du call peut être calculé comme si les investisseurs étaient neutres au risque. Le prix du call ne dépend que du prix de lactif sous-jacent et pas dautres variables aléatoires. Le call est équivalent à un portefeuille contenant une position longue dans lactif sous-jacent (achat dactions) et dune positon courte sur lactif sans risque (emprunt). Lacheteur dun call a donc une position à effet de levier sur lactif sous-jacent.

14 François Longin La méthode binomiale Principal avantage : la flexibilité Possibilité de modéliser des processus de prix complexes pour lactif sous- jacent. Possibilité de prendre en compte les dividendes (discrets ou continus) Possibilité dévaluer des options européennes, bermudéennes et américaines Inconvénients Temps de calcul parfois long comparé aux formules fermées.

15 François Longin La formule de Black Scholes Merton Modèle en temps continu Première approche : limite du cas discret La formule de Black Scholes Merton peut être obtenue comme la limite de la formule de la méthode binomiale quand le nombre de périodes tend vers linfini (passage dun modèle à temps discret à un modèle à temps continu). Deuxième approche : résolution du cas continu Résolution dune équation aux dérivées partielles (EDP) similaire à léquation de diffusion de la chaleur.

16 François Longin La formule de Black Scholes Merton Formule pour un call Le prix dun call européen de prix dexercice K et de maturité T à la date t est donné par: où ln représente le logarithme népérien et N la distribution cumulée de la loi normale (loi de Gauss). Formule pour un put

17 François Longin Modèle de Black Scholes Merton: valeur du call

18 François Longin Modèle de Black Scholes Merton: valeur du put

19 François Longin Modèle de Black Scholes Merton : le portefeuille de couverture Décomposition du portefeuille de couverture A partir de la formule de Black-Scholes-Merton, le portefeuille de couverture peut sécrire comme suit: Interprétation Cette expression montre quun call peut être décomposé comme une position longue sur lactif sous-jacent (achat de actions) et une position courte dans lactif sans risque (emprunt dun montant B). Cette décomposition illustre le fait quun call est produit à effet de levier (utilisation dun emprunt pour acheter des actions) Exercice : mettre en évidence leffet de levier lié à un investissement en option. On considérera deux scénarios pour le prix de lactif sous- jacent : évolution à la hausse et à la baisse.

20 François Longin Définition des sensibilités (les Grecques) Sensibilité au prix de lactif sous-jacent : le delta et le gamma Le delta et le gamma représentent la première et la deuxième dérivée de la valeur du call par rapport au prix de lactif sous-jacent. Sensibilité au taux sans risque : le rho Sensibilité à la volatilité du prix de lactif sous-jacent : le vega Sensibilité au passage du temps : le theta Sensibilité au taux de dividende : lepsilon

21 François Longin Calcul des sensibilités (les grecques) Modèle de Black Scholes Merton (temps continu) Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et paramètres du modèle peuvent être calculées analytiquement. Méthode binomial et méthode de simulation de Monte Carlo (temps discret) Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et paramètres du modèle sont calculées par différence finie. La valeur de loption est recalculée en changeant la variable par rapport à la quelle on calcule la sensibilité. Exemple: calcul du delta: où correspond à une petite variation du prix de lactif sous-jacent.


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