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Quelques réflexions sur l'enseignement de la géométrie au collège Argumenter démontrer Utilisation du dessin Sylvie Coppé IUFM de Lyon.

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2 Quelques réflexions sur l'enseignement de la géométrie au collège Argumenter démontrer Utilisation du dessin Sylvie Coppé IUFM de Lyon

3 Évolution du contrat La plupart des objets géométriques sont construits dès lécole primaire Evolution du rapport institutionnel à la géométrie au cours du cycle de 6 ème, 5 ème et 4 ème ne porte pas sur les objets mais de nombreux changements portent sur le contrat

4 Evolution porte sur : Les types de tâches (reconnaître, construire, justifier, démontrer, décrire, etc) Lutilisation du dessin Les types dargumentation Les écrits

5 Programme du collège 6ème 5ème 4ème - expérience, intuition - construction, reconnaissance - dessin/objet matériel - raisonnement, déduction - démonstration - dessin/outil-représentant G Géométrie pratique Géométrie théorique Dualité

6 Cadre théorique dinterprétation Travaux de Houdement et Kuzniak sur le passage dune géométrie pratique à une géométrie théorique suite aux travaux de Gonseth –Intuition –Expérience –Déduction

7 Comparaison des Géométries Géométrie pratique Géométrie théorique IntuitionSensible et perceptive Liée aux figures ExpérienceLiée à lespace mesurable Schéma de la réalité DéductionProche du réel et liée à lexpérience par la vue Démonstration basée sur des axiomes

8 Liens entre Intuition, Expérience, Déduction ExpérienceIntuition nourrit structure « La déduction avance mais ne voit pas. Lintuition voit mais navance pas. » 1) 2) 3) Évidence renseignement issue de lintuition # issu de lexpérience Résultat dune expérience # conclusion dun raisonnement

9 Exemple dévolution du contrat Prouver que (AH) et (d) sont parallèles. Justifier la réponse. Exercice:

10 Dessin/ figure Dessin : trace matérielle sur une feuille représentant un objet géométrique Figure : objet théorique « La figure géométrique est lobjet géométrique décrit par le texte qui la définit, une idée, une création de lesprit tandis que le dessin en est une représentation. »(Parzysz 1988)

11 Statut du Dessin

12 Programmes « Les diverses activités de géométrie habitueront les élèves à expérimenter et à conjecturer, et permettront progressivement de s'entraîner à des justifications au moyen de courtes séquences déductives… » (programme de 5ème)

13 Argumentation/démonstration (Duval) Continuité ? Oui car activités de raisonnement, de preuve. démonstration forme particulière de raisonnement : convaincre l'autre en utilisant des arguments Rupture ? Oui sur le statut des arguments produits. Le statut des propositions ne dépend pas du contenu des propositions mais du statut théorique fixé. (hypothèse, théorème, définition, etc).

14 De lanalyse à la prescription Analyse proposée par Duval de la structure dun pas de déduction -permet de comprendre comment le savoir fonctionne -permet danalyser les productions des élèves Prescription sur la rédaction dune démonstration

15 Conséquences Travail sur la démonstration est devenu un travail sur une trace publique conforme à un schéma imposé Structure écrite figée des démonstrations –On sait que … –Si ….alors –Conclusion Tâche de lélève : suivre ce schéma et non plus chercher à résoudre des problèmes

16 Pour le professeur Évaluation porte trop sur la conformité à ce schéma et non sur le raisonnement de lélève. –Faut-il citer les théorèmes en entier ou non ? –Liste des propriétés –Car ? Comme ? –Problème du « on sait que » –Aspect recherche de problème en retrait –Rupture entre collège /lycée

17 Questions denseignement (1) Comment amener les élèves à passer dune géométrie pratique avec un contrat didactique basé sur lobservation, lutilisation des instruments, largumentation à partir du dessin à une géométrie théorique dont loutil essentiel est la démonstration ? Les professeurs sont-ils conscients de cette évolution du contrat ?

18 Questions denseignement (2) Quelles situations vont favoriser ce passage ? Quel travail est fait par les professeurs pour introduire la nécessité de démontrer ? Quels outils les professeurs ont -ils à leur disposition ? Comment signifier aux élèves le changement de contrat et comment leur faire accepter ?

19 Questions denseignement (3) Est-ce que le dessin est utilisé comme un outil par les élèves ? Et comment peut-il lêtre ? Est-ce quun travail est fait par les professeurs sur lutilisation du dessin ? En quelle classe ? Est ce que les professeurs sont conscients du statut et du rôle du dessin ? Rôle et statut des définitions et des théorèmes ?

20 Questions denseignement (4) Quelles exigences sur la démonstration –à différents niveaux ? – notamment sur la rédaction ? Quel usage et quelle distinction est fait des définitions et des propriétés ? Quelle distinction entre recherche et rédaction est montrée par les professeurs ? Quelle formation donner aux enseignants sur la démonstration ?

21 Des réponses Étude des manuels de 5ème Formulation des questions : –« Quelle règle du cours permet d'affirmer que ….? » – « Choisis parmi les propriétés du cours celle qui te permet de justifier que… »

22 Mais …. Toujours trop dexercices « fermés » Montrer que …. Plutôt que des questions ouvertes Souvent les résultats sont trop évidents Confusion avec le « on sait que »

23 Exercice ouvert : un exemple Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est celui qui a la plus grande aire ? Justifier la réponse. Exercice:

24 Entrée – Tâches - Sortie EntréeTâchesSortie dessinreproduction dessin description, justification texte constructiondessin textejustificationtexte

25 Classification des dessins dessin singulier 1- Dessins respectant la description faite et les mesures d'angles, de longueur ou les rapports de longueur ainsi que les codages et indications 2 -Dessins faits à la règle respectant le parallélisme ou l'orthogonalité, les rapports de longueur mais pas les mesures de longueur ou d'angle

26 Classification des dessins classe de dessins 3 -Dessin faits à la règle sans aucune mesure indiquée et sans aucune indication (souvent à compléter) 4 -Dessins faits à la règle avec indication de parallélisme ou perpendicularité ou sur quadrillage ou sur papier pointé sans aucune mesure

27 Classification des dessins 5- Dessins à main levée : les traits sont volontairement non droits pour accentuer l'aspect dessin sans instruments 6 -Dessins explicitement désignés comme faux: ces dessins, tracés à la règle, ne respectent aucune indication et aucune dimension.

28 Conclusions En entrée, variation dun manuel à lautre et parfois dans un même manuel –Soit toujours de type 1 soit 2 –Soit variable dans le manuel En sortie variation dans un même manuel –Quelquefois on demande de type 1, ou 2 ou 5, cela dépend de lexercice

29 Conclusions (suite) Pour le dessin outil, cest -à-dire qui sert à largumentation : –Soit dessin particulier avec les mesures données, propriété générale demandée –Soit figure décrite générale, propriété à démontrer générale, dessin à main levée demandé. – Soit pas demandé explicitement, laissé à la charge de lélève.

30 Dessin faux

31 Dessin à main levée Intérêt pour lélève : il peut reporter les données de lénoncé sans se soucier de lexactitude du tracé. Moins long à tracer, pas dinstruments Aide à la conjecture, permet de se représenter la situation

32 Dessin à main levée: intérêt pour le professeur Lélève ne peut effectuer de contrôle perceptif simple ou instrumenté: on pense que cela devrait le forcer à passer au raisonnement déductif. MAIS souvent cest cet aspect qui est privilégié et non laspect aide à la démonstration

33 En guise de conclusion Redonner une place au dessin à main levée en tant quoutil de recherche et de conjecture Ouvrir les questions des problèmes Favoriser la résolution de problèmes géométriques et les phases de recherche plutôt que les exigences de rédaction

34 Conclusion (suite) Mettre en place des activités qui permettent de travailler sur le statut des propositions ou sur le codage des dessins à côté des activités de démonstration Laisser se construire lapprentissage de la démonstration tout au long du collège Redonner une place à la démonstration en algèbre pour donner du sens à loutil algébrique


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