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1 Raisonnement et démonstration au collège Académie de Toulouse Avril 2009.

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1 1 Raisonnement et démonstration au collège Académie de Toulouse Avril 2009

2 2 Dans le Petit Larousse Raisonnement: suite de propositions déduites les unes des autres, argumentation. Preuve: ce qui démontre, établit la vérité de quelque chose ; en mathématiques, opération par laquelle on contrôle lexactitude dun calcul ou la justesse de la solution dun problème. Démonstration: raisonnement établissant la vérité dune proposition à partir des axiomes que lon a posé.

3 3 Autre point de vue Raisonnement: démarche intellectuelle, rendue accessible à autrui par la trace, orale ou écrite, qui en est communiquée. La distance entre le raisonnement et la trace produite peut-être très grande. Preuve: acte social qui vise à convaincre dun résultat. Est construite à partir dun raisonnement et se communique par une trace orale ou écrite. Démonstration: un type de preuve spécifique. Propre aux mathématiques.

4 4 Que disent les textes? Programmes de collège publiés au BO spécial n°26 du 28 août 2008

5 5 Introduction commune aux disciplines scientifiques. I-4. Penser mathématiquement: «…Celle-ci (la pensée mathématique) repose sur un ensemble de connaissances solides et sur des méthodes de résolution de problèmes et des modes de preuve (raisonnement déductif et démonstrations spécifiques)… » II(Le socle commun…)-1. Les mathématiques: «... Le rôle de la preuve, établie par le raisonnement, est essentiel et lon ne saurait se limiter à vérifier sur des exemples la vérité des faits mathématiques. »

6 6 Introduction commune aux disciplines scientifiques. III- La démarche dinvestigation «(…) les programmes de collège privilégient, pour les disciplines scientifiques et la technologie, une démarche dinvestigation. » Proximité des démarches suivies en sciences expérimentales et en mathématiques : résolution de problèmes, formulation dhypothèses explicatives dun côté, de conjectures de lautre. Particularités concernant la validation, par lexpérimentation dun côté, par la démonstration de lautre.

7 7 Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 1.1: « les mathématiques contribuent (…) à entraîner les élèves à la pratique dune démarche scientifique. Lobjectif est de développer (…) les capacités dexpérimentation et de raisonnement, dimagination et danalyse critique.» «A travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et lapprentissage progressif de la démonstration, les élèves… »

8 8 Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 2 (Le socle commun): « dans le domaine géométrique, les élèves doivent apprendre à raisonner et argumenter mais lécriture formalisée dune démonstration de géométrie nest pas un exigible du socle »

9 9 Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.1 intitulé: Une place centrale pour la résolution de problèmes. Paragraphe 4.5 intitulé : Une initiation très progressive à la démonstration. « La pratique de largumentation (…)a commencé dès lécole primaire et se poursuit au collège pour faire accéder lélève à cette forme particulière de preuve quest la démonstration. »

10 10 Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.5 (suite): « Si (…)le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et démontrer ne doit pas sy cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique puis sur le calcul littéral offre également des occasions de démontrer.

11 11 Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.5 (suite): « Deux étapes doivent être clairement distinguées : la première et la plus importante est la recherche et le production dune preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré.(…) Des préoccupations et exigences trop importantes de rédaction risquent docculter le rôle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production dune preuve. (…) Il est important de ménager une grande progressivité dans lapprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. ».

12 12 Préambule des programmes de mathématiques. Paragraphe 4.5 (suite): « Dans le cadre du socle commun (…) cest la première étape, « recherche et production dune preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de largumentation orale »

13 13 Ce qui concerne le raisonnement et la démonstration dans les objectifs de la résolution de problèmes figurant en en-tête des différentes parties des programmes: Quelle progressivité?

14 14 Organisation et gestion des données, fonctions Les raisonnements permettant de traiter les situations de proportionnalité : Mise en place en 6 e, affermissement de leur maîtrise en 5 e, consolidation et enrichissement en 4 e.

15 15 Nombres et Calculs En 5 e : familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales. En 4 e : conduire les raisonnements permettant de traiter diverses situations (…) à laide de calculs numériques, déquations ou dexpressions littérales. En 3 e : familiariser les élèves aux raisonnements arithmétiques.

16 16 Géométrie En 6 e : initier à la déduction, conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale. En 5 e,4 e et 3 e : entretenir la pratique des constructions géométriques et des raisonnements sous jacents. De plus: En 5 e : sentrainer à des justifications mettant en œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en sixième ; conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples.

17 17 Géométrie En 4 e : conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples utilisant les propriétés des figures usuelles, les symétries, les relations métriques, les angles ou les aires; initier les élèves à la démonstration. En 3 e : développer les capacités de raisonnement et les capacités relatives à la formalisation dune démonstration; solliciter dans les raisonnements les propriétés géométriques et relations métriques vues antérieurement.

18 18 Grandeurs et mesures En 4 e : consolider les raisonnements permettant de calculer les grandeurs travaillées antérieurement (…). En 3 e : entretenir et compléter les raisonnements relatifs aux calculs daires et de volumes.

19 19 Pour conclure cette première partie Linitiation à la démonstration sappuie sur lapprentissage du raisonnement réalisé depuis lécole primaire et tout au long du collège. Elle y contribue également. Ce sont les compétences des élèves dans le domaine du raisonnement plutôt que dans le domaine de la démonstration que lon évalue au collège.

20 20 Comment développer et faire évoluer tout au long du collège les compétences des élèves relatives au raisonnement?

21 21 Du côté des élèves En leur donnant des occasions suffisamment fréquentes de développer une démarche dinvestigation : des situations qui sy prêtent, du temps, une problématique suffisamment ouverte… Dargumenter à loral… : présentation autonome au tableau de solutions dexercices, pratique du débat... …et à lécrit sans contrainte : questions posées de façon plus ouverte (en particulier privilégiant la forme interrogative), incitations spécifiques à communiquer la recherche même inaboutie, narration de recherche… Certains types dexercices suscitent plus facilement que dautres largumentation: V/F avec justification, QCM, questions ouvertes… Autres pistes?

22 22 Du côté des professeurs En distinguant systématiquement la conjecture et la preuve, les résultats admis et les résultats démontrés, En travaillant sur les implicites des énoncés, notamment dans le domaine littéral, En réalisant en quelques occasions des démonstrations devant la classe avec lobjectif de montrer comment on cherche, En nayant pas dexigences de formalisme prématurées, En valorisant les raisonnements partiels, les écrits Intermédiaires. Autres pistes?

23 23 Dans quels domaines? En sappuyant sur quels types de raisonnement? En géométrie et dans le domaine des nombres et du calcul essentiellement. Raisonnement inductif, Raisonnement déductif, Exploitation dexemples génériques, Utilisation réfléchie des règles de calcul littéral disponibles, Exploitation de lunicité figurant dans certaines définitions, Raisonnement par labsurde, Preuve par le contre exemple, Raisonnement par disjonction de cas.

24 24 Comment évaluer le raisonnement? Une proposition: utiliser les quatre compétences de la résolution de problèmes C1: lire, interpréter et organiser linformation, C2: sengager dans une démarche de recherche et dinvestigation, C3: mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve, C4 : communiquer par des moyens variés et adaptés (aptes à convaincre) la solution du problème.


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