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Programme Point institutionnel (1h) Tri de problèmes (1h) Point sur les types de raisonnements (30min) Problème ouvert et tâche complexe (30min) Repas.

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1 Programme Point institutionnel (1h) Tri de problèmes (1h) Point sur les types de raisonnements (30min) Problème ouvert et tâche complexe (30min) Repas Point sur le calcul algébrique (30min) Analyse de travaux délèves (1h30) Evaluation du socle (30min) Bilan et perspectives (15min)

2 Introduction 1 Ce que « disent » les textes officiels

3 lacquisition du socle commun par tous les élèves est une obligation du service public déducation inscrite dans la loi : « La scolarité obligatoire doit au moins garantir à chaque élève les moyens nécessaires à lacquisition dun socle commun constitué dun ensemble de connaissances et de compétences quil est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité, poursuivre sa formation, construire son avenir personnel et professionnel et réussir sa vie en société »[1].[1] [1] Loi dorientation et de programme pour lavenir de lÉcole, n° du 23 avril 2005, article 9. [1]

4 le socle constitue le cœur du programme et, comme tel, sa maîtrise est indispensable à toutes les poursuites détudes comme à la vie en société. Le document dapplication « Document ressource pour le socle commun dans lenseignement des mathématiques au collège » a pour ambition de montrer, à la fois par des indications générales et par des exemples, comment lenseignant de mathématiques peut gérer, en termes de formation et en termes dévaluation, cette double exigence de lacquisition du socle par tous les élèves et de lavancement dans le programme.

5 Introduction 2 Les finalités de la formation en mathématiques

6 Le socle et le programme Permettre aux élèves dacquérir les mathématiques nécessaires à une poursuite détudes (autrement dit, le programme), objectif qui doit rester lambition pour tous. Donner à tous la culture mathématique nécessaire au citoyen (autrement dit, permettre aux élèves dacquérir les connaissances et compétences du socle commun), objectif que lon peut qualifier de nécessaire pour tous.

7 Les priorités en termes de formation Incontestablement, la maîtrise du calcul réfléchi inséparable du sens des nombres et des opérations. Lacquisition dautomatismes qui favorisent lautonomie et linitiative des élèves dans la résolution de problèmes et les mettent en confiance. La mise en place permanente de lactivité de raisonnement qui est lessence même des mathématiques.

8 I les points clés de lenseignement des mathématiques au collège

9 1 La résolution de problème Compétences: lire, interpréter et organiser linformation ; sengager dans une démarche de recherche et dinvestigation ; mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve ; communiquer par des moyens variés et adaptés – aptes à convaincre – la solution du problème Attestation de maîtrise du socle commun 2 grands types de raisonnement : Induction et présomption déduction 2 étapes : rechercher et produire la preuve Mettre en forme et communiquer

10 2 Des exemples de raisonnement La somme de deux multiples de 7 est-elle un multiple de 7 ? ( Quelques productions délèves en réponse à la question posée)

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13 3 Le raisonnement déductif Raisonner en mathématiques, ce nest pas seulement pratiquer le raisonnement déductif Un raisonnement déductif peut être considéré comme complet même sil na pas une mise en forme canonique La mise en forme écrite dune preuve ne fait pas partie des exigibles du socle Le travail sur loral à loccasion de « débats mathématiques » constitue un pas essentiel dans lapprentissage de largumentation

14 4 Ouvrir les problèmes Favoriser lengagement des élèves dans la résolution et permettre la mise en activité de chacun Laisser vivre différentes stratégies de résolution Développer la prise dinitiative Ne pas sabstenir de confronter les élèves à des tâches complexes

15 Exemple 1 Voici un programme de calcul qui peut sappliquer à nimporte quel nombre Tripler Ajouter 4 Doubler Retirer 4 1)Appliquer le programme au nombre 5. 2)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 809,2 ? 3)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 14?

16 Exemple 2 Voici un programme de calcul qui peut sappliquer à nimporte quel nombre. Doubler Ajouter 3 Multiplier par 3 Ajouter le nombre de départ 1)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 25,1 ? 2)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 34 ?

17 Exemple 3 Brevet

18 5 La démarche dinvestigation chaque fois quune question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles Déroulement: Réflexion sur le problème posé appropriation du problème, vocabulaire, contexte confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), recherche éventuelle dinformations sur le thème. Élaboration dune conjecture recherche, avec mise en place éventuelle dune première expérimentation, émission de la conjecture, confirmation, avec mise en place éventuelle dune seconde expérimentation. Mise en place dune preuve argumentée.

19 II Raisonner… Une compétence transversale ?

20 II-1… socialement Un raisonnement est un type particulier dargumentation : La déduction énonce logiquement une conclusion nécessaire à partir de propositions données (S Holmes) linduction est la formulation dun énoncé général à partir de la constatation dun ensemble de faits particuliers lanalogie consiste à tirer des conclusions dune ressemblance entre les objets sur lesquels on raisonne (B Franklin)

21 II-2… en français Démarche inductive : observation dun texte ou dun corpus de textes, repérage guidé par des questions dun certain nombre déléments, mise en évidence à partir de ces éléments du fait grammatical objet de létude et enfin mise en application immédiate de la notion découverte. Déductive : Lors de la production dun texte ou de lécriture dun texte sous la dictée, comme par exemple pour accorder un participe passé. Il faut attendre la classe de seconde pour que soit développée la capacité à rédiger des textes argumentatifs fondés sur des raisonnements déductifs et que les élèves distinguent démontrer et argumenter dune part, convaincre et persuader dautre part.

22 II-3… en histoire géographie Placé en situation dargumentation en histoire, lélève va chercher à comprendre une situation, éclairer un fait en procédant par analogie en utilisant soit une situation passée déjà connue de lui, soit la connaissance quil a du monde actuel. En géographie, létude part de situations particulières ou spécifiques pour ensuite dégager par une démarche inductive des savoirs dordre général. La géographie sollicite largement lanalogie pour dégager des similitudes mais aussi des oppositions de situations. Des mises en relations et un raisonnement déductif permettent à partir du cycle central danalyser une situation particulière.

23 II-4… en sciences expérimentales Labduction (ou raisonnement abductif) est un mode de raisonnement consistant à déterminer la ou les causes les plus probables dune "observation surprenante". Lélève confronté à un problème est conduit à émettre des conjectures, des hypothèses (recherche dexplications ou de causes). Pour ce faire, lélève conduit un raisonnement abductif, postulant par exemple à partir de lobservation, un principe de fonctionnement qui expliquerait le résultat dune action réalisée avec un objet technique

24 III Pour tous les élèves…

25 …Pour tous les élèves, et en particuliers pour les plus en difficulté… « …les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne […] La maîtrise des principaux éléments de mathématiques sacquiert et sexerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. » Aussi, on se méfiera de toute démarche réduisant lenseignement des mathématiques à une suite dacquisitions de techniques, voire à du dressage. Les mathématiques sont toujours un lieu de créativité et de recherche. Il nest pas question de proposer un programme réduit ou des exercices plus pauvres, ou plus simples, en un mot moins ambitieux ou ennuyeux, mais bien de sassurer que chaque élève trouve dans sa classe, avec son maître, les conditions dun apprentissage motivant des fondamentaux qui lui donneront les clés de sa réussite.


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