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Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types.

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1 Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types de raisonnements ? Qu'est-ce qu'un problème ouvert ? Un problème à tâches complexes ?

2 Les textes officiels Lacquisition du socle commun par tous les élèves est une obligation du service public déducation inscrite dans la loi : « La scolarité obligatoire doit au moins garantir à chaque élève les moyens nécessaires à lacquisition dun socle commun constitué dun ensemble de connaissances et de compétences quil est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité, poursuivre sa formation, construire son avenir personnel et professionnel et réussir sa vie en société »[1]. [1] Loi dorientation et de programme pour lavenir de lÉcole, n° du 23 avril 2005, article 9.

3 Objectifs de la formation en mathématiques ? Permettre aux élèves dacquérir les mathématiques nécessaires à une poursuite détudes (autrement dit, le programme), objectif qui doit rester lambition pour tous. Donner à tous la culture mathématique nécessaire au citoyen (autrement dit, permettre aux élèves dacquérir les connaissances et compétences du socle commun), objectif que lon peut qualifier de nécessaire pour tous.

4 Les priorités en terme de formation Incontestablement, la maîtrise du calcul réfléchi inséparable du sens des nombres et des opérations. Lacquisition dautomatismes qui favorisent lautonomie et linitiative des élèves dans la résolution de problèmes et les mettent en confiance. La mise en place permanente de lactivité de raisonnement qui est lessence même des mathématiques.

5 Raisonner et démontrer La démonstration en mathématiques est- elle un raisonnement déductif ? Quels sont les types de raisonnements que lon peut rencontrer chez les élèves ?

6 Le raisonnement Deux définitions : Activité de lesprit qui passe, selon des principes déterminés, dun jugement à un autre, pour aboutir à une conclusion. ( Le Robert) Un raisonnement, c'est d'abord une certaine activité de l'esprit, une opération discursive par laquelle on passe de certaines propositions posées comme prémisses à une proposition nouvelle, en vertu du lien logique qui l'attache aux premières : en ce sens, c'est un processus qui se déroule dans la conscience d'un sujet selon l'ordre du temps.(Universalis 2009)

7 Une typologie du raisonnement Le raisonnement déductif (déduction) Le raisonnement inductif (induction) Le raisonnement abductif (abduction, présomption) Le raisonnement transductif. Autres raisonnements rencontrés en mathématiques: Contraposée, contre-exemple, disjonction de cas, par labsurde, analogie, (déclinaisons ou combinaisons disciplinaires de ces raisonnements basiques), par récurrence.

8 Le raisonnement transductif La transduction est le raisonnement de lenfant. Toutes les opérations mentales restent au même niveau. Il ny a pas de généralisation, cest la mise en relation de deux faits du même ordre. En mathématiques : Comparaison de données numériques, de figures, de graphiques…

9 Le raisonnement déductif La déduction est un raisonnement qui consiste à tirer à partir dune ou de plusieurs propositions, une autre qui en est la conséquence nécessaire. à partir de propriétés reconnues comme vraies, par enchaînement logique, on déduit une propriété En mathématiques : à partir de propriétés reconnues comme vraies, par enchaînement logique, on déduit une propriété

10 Le raisonnement inductif Linduction est un type de raisonnement qui consiste à généraliser des cas particuliers. Dun phénomène observé de manière répétitive, on va induire une loi générale, sans vérifier tous les exemples. Linduction extrait luniversel du particulier. En mathématiques : linduction est utilisée quand il sagit de faire émerger une conjecture après avoir traité des exemples. Lutilisation des logiciels de géométrie dynamique est sous tendue par cette approche. Lapproche fréquentielle de la notion de probabilité lillustre également

11 Dans le domaine des sciences expérimentales, le raisonnement par induction se suffit à lui-même. En mathématiques, le raisonnement inductif ne se conçoit, en général, que comme une première étape, conduisant à une conjecture. Alors que le raisonnement déductif fonctionne selon le schéma classique : « Sachant que (A est vraie) et que (A implique B), je déduis que (B est vraie) », le raisonnement inductif fonctionne selon le schéma présomptif : « Constatant que dans les exemples où (A est vraie), alors (B est vraie), je présume que (A implique B) est vraie » ou le schéma explicatif : Sachant (que A implique B) est vraie, jexplique que (B est vraie) en présumant que (A est vraie)

12 Articulation Déductif/ Inductif

13 Le raisonnement abductif Afin de comprendre un phénomène surprenant, on introduit une règle à titre d'hypothèse afin de considérer ce phénomène comme un cas conforme à cette règle. En dautres termes : dans le cas dune déduction on tire la conclusion « q » dune prémisse « p » alors que le raisonnement abductif consiste à expliquer « q » par « p », considéré ici comme une hypothèse explicative. Umberto Eco a appelé ce procédé la « méthode du détective ».

14 L'abduction, c'est la suggestion d'une idée, où on tente une interprétation immédiate et sensible du phénomène. Cette approche signifie que « quelque chose » se comporte probablement d'une certaine manière – phase d'abduction – que « quelque chose » se comporte effectivement d'une certaine manière – phase d'induction et enfin – phase de déduction – nous établissons que « quelque chose » se comporte d'une certaine manière.

15 l'abduction produit des idées et des concepts à expliquer l'induction participe à la construction de l'hypothèse abductive en lui donnant de la consistance la déduction formule une explication prédictive.

16 La démarche d'investigation Dans la recherche dune démonstration, visant à répondre à une question ou à résoudre un problème ouvert, les trois types de raisonnements interviennent :

17 Des réponses : La démonstration en mathématiques est-elle un raisonnement déductif ? Non, pas seulement Quels sont les types de raisonnements que lon peut rencontrer chez les élèves ? Les élèves peuvent et doivent utiliser plusieurs types de raisonnements selon les activités proposées. La mise en œuvre dépend du cadre dutilisation et du type dénoncés proposés

18 Quels travaux proposés pour développer ces raisonnements ? La pratique des questions ouvertes est propice à lapprentissage et à lévaluation à loral des compétences liées au raisonnement.

19 Ouvrir les problèmes Favoriser lengagement des élèves dans la résolution et permettre la mise en activité de chacun Laisser vivre différentes stratégies de résolution Développer la prise dinitiative Ne pas sabstenir de confronter les élèves à des tâches complexes

20 Favoriser la démarche d'investigation Chaque fois quune question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles Déroulement: 1) Réflexion sur le problème posé - appropriation du problème, vocabulaire, contexte - confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), - recherche éventuelle dinformations sur le thème. 2) Élaboration dune conjecture - recherche, avec mise en place éventuelle dune première expérimentation, - émission de la conjecture, - confirmation, avec mise en place éventuelle dune seconde expérimentation. 3) Mise en place dune preuve argumentée.

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23 Les caractéristiques du problème ouvert Lénoncé permet lentrée de tous les élèves dans lactivité Lénoncé ninduit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires). La solution ne se réduit pas à lutilisation ou lapplication immédiate des résultats présentés en cours. Le champ conceptuel est familier aux élèves.

24 La pratique régulière du problème ouvert Consolide les connaissances des élèves pour franchir un nouvel obstacle (Philippe Meirieu). Révèle les connaissances disponibles. Rend des connaissances maîtrisables disponibles.

25 Les situations complexes X. ROEGIERS distingue les situations compliquées des situations complexes : Une tâche est compliquée si elle mobilise des savoirs et des savoir-faire nouveaux. Une tâche est complexe si elle combine des éléments que lélève connait, quil maîtrise, quil a déjà utilisés plusieurs fois mais de façon séparée, dans un autre ordre ou dans un autre contexte.

26 Les caractéristiques d'une situation complexe Elle est significative pour lélève. Elle nécessite plusieurs démarches. Elle met en œuvre plusieurs notions. Elle donne une large part à la créativité. Elle permet à lélève de justifier ses choix. Elle ne donne aucune indication pour la résolution. Elle est adaptée au niveau de difficulté souhaité.


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