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24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques I Mathématiques en RAR …… …et ailleurs.

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1 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques I Mathématiques en RAR …… …et ailleurs

2 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques Pour les élèves Le professeur qui fait toujours « tout découvrir » sadresse en fait aux meilleurs de ses élèves. Rendre le projet denseignement perceptible : objectifs, compétences visées, attendus de la séance, que retenir… Un élève sait toujours « quelque chose » Les élèves les plus en difficulté peinent à réaliser quils font des progrès (évaluations)

3 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques Pour les enseignants Construire des situations motivantes, progressives et différenciées. Structuration du temps et calcul mental sont prédictifs de la réussite scolaire au collège. Observer les erreurs des élèves… et les prendre en compte. Attention aux séances de remédiation toutes prêtes (fiches à trous, exerciseurs,…) Cest de préférence le professeur de la classe qui prend en charge lélève en difficulté, dans la classe et éventuellement hors de la classe dans des temps spécialement dédiés.

4 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques Programme et socle Il ne sagit pas denfermer le professeur dans une course contre la montre contre productive pour la formation des élèves, mais de sassurer, tout en gardant les objectifs du programme comme ligne dhorizon, que tous les élèves progressent à un rythme possible pour eux. Un programme peut se traiter par couches successives, en différenciant le niveau dapprofondissement et les exigences selon les possibilités des élèves. Limportant est que chacun progresse, et soit emmené aussi loin que possible par son enseignant.

5 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques II Les programmes 2008 du primaire

6 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques II-1 Des résultats trop faibles en calcul Calcul mental: 6X8 69,8% ; 60:4 41% Dans 56 combien de fois 8? 55,3% Calcul posé: 876X34 45,2% 27,5X23 28,5% 81:6 48,2% 408:12 52,1% Proportionnalité: (règle de trois) 6 objets identiques coûtent 150. Combien coûtent 9 de ces objets ? 34,9% 10 objets coûtent 22. Combien coûtent 15 de ces objets ? 30,7%

7 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques II-2 La même organisation des contenus école collège Nombres et calcul Géométrie Grandeurs et mesures Organisation et gestion de données La résolution de problèmes est intégrée à chacun de ces quatre domaines

8 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques II-3 Automatismes et connaissances Des automatismes à lécole ? Des techniques et des raisonnements élémentaires disponibles immédiatement pour des tâches simples indispensables pour lélaboration de raisonnements complexes qui sacquièrent dans la durée en « automatisant » certaines procédures ou raisonnements courants, utiles, ayant valeur de méthode Laccès au sens et lacquisition des automatismes ne sont pas antinomiques Des automatismes au collège ? Des réflexes intellectuels libérant lesprit des soucis de mise en œuvre technique qui sacquièrent dans la durée En mémorisant et en automatisant certaines procédures et raisonnements fréquemment rencontrés et qui ont valeur de méthode Ils doivent être entretenus et régulièrement sollicités dans des situations où ils font sens

9 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques II-4 La résolution de problèmes A lécole: (progression cycle 3) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages. Au collège: Une place centrale pour la résolution de problèmes Mettre tout élève en activité à tout moment et en particulier: En donnant toute sa place à la résolution de problème (ouvrir les questions…), En privilégiant le raisonnement et en dissociant la recherche de la rédaction, En ne sabstenant pas de confronter tous les élèves à des tâches complexes

10 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques II-5 Progressivités des apprentissages et démarche spiralaire Approche, préparation La division par 3 en début de CE1 se traduit par une recherche et la mise en œuvre dune procédure personnelle. Construction, structuration Elaboration dune procédure experte 21:3 = 7 Consolidation, utilisation Mobilisation dans des contextes variés

11 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques III Raisonner… … en mathématiques

12 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques III-1 La résolution de problème Compétences: lire, interpréter et organiser linformation ; sengager dans une démarche de recherche et dinvestigation ; mettre en relation les connaissances acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve ; communiquer par des moyens variés et adaptés – aptes à convaincre – la solution du problème 2 grands types de raisonnement : Induction et présomption déduction 2 étapes : rechercher et produire la preuve Mettre en forme et communiquer

13 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques III-2 Des exemples de raisonnement La somme de deux multiples de 7 est-elle un multiple de 7 ? ( Quelques productions délèves en réponse à la question posée)

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16 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques III-3 Ouvrir les problèmes Voici un programme de calcul qui peut sappliquer à nimporte quel nombre Tripler Ajouter 4 Doubler Retirer 4 1)Appliquer le programme au nombre 5. 2)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 809,2 ? 3)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 14?

17 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques III-3 Ouvrir les problèmes Voici un programme de calcul qui peut sappliquer à nimporte quel nombre. Doubler Ajouter 3 Multiplier par 3 Ajouter le nombre de départ 1)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 25,1 ? 2)À quel(s) nombre(s) faut-il appliquer le programme pour trouver 34 ?

18 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques III-4 La démarche dinvestigation chaque fois quune question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles Déroulement: Réflexion sur le problème posé appropriation du problème, vocabulaire, contexte confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), recherche éventuelle dinformations sur le thème. Élaboration dune conjecture recherche, avec mise en place éventuelle dune première expérimentation, émission de la conjecture, confirmation, avec mise en place éventuelle dune seconde expérimentation. Mise en place dune preuve argumentée.

19 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV Raisonner…

20 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV-1… socialement Un raisonnement est un type particulier dargumentation : La déduction énonce logiquement une conclusion nécessaire à partir de propositions données (S Holmes) linduction est la formulation dun énoncé général à partir de la constatation dun ensemble de faits particuliers (Le médecin) lanalogie consiste à tirer des conclusions dune ressemblance entre les objets sur lesquels on raisonne (B Franklin)

21 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV-2… en français Démarche inductive : observation dun texte ou dun corpus de textes, repérage guidé par des questions dun certain nombre déléments, mise en évidence à partir de ces éléments du fait grammatical objet de létude et enfin mise en application immédiate de la notion découverte. Déductive : Lors de la production dun texte ou de lécriture dun texte sous la dictée, comme par exemple pour accorder un participe passé. Il faut attendre la classe de seconde pour que soit développée la capacité à rédiger des textes argumentatifs fondés sur des raisonnements déductifs et que les élèves distinguent démontrer et argumenter dune part, convaincre et persuader dautre part.

22 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV-3… en histoire géographie Placé en situation dargumentation en histoire, lélève va chercher à comprendre une situation, éclairer un fait en procédant par analogie en utilisant soit une situation passée déjà connue de lui, soit la connaissance quil a du monde actuel. En géographie, létude part de situations particulières ou spécifiques pour ensuite dégager par une démarche inductive des savoirs dordre général. La géographie sollicite largement lanalogie pour dégager des similitudes mais aussi des oppositions de situations. Des mises en relations et un raisonnement déductif permettent à partir du cycle central danalyser une situation particulière.

23 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques IV-4… en sciences expérimentales Labduction (ou raisonnement abductif) est un mode de raisonnement consistant à déterminer la ou les causes les plus probables dune "observation surprenante". Lélève confronté à un problème est conduit à émettre des conjectures, des hypothèses (recherche dexplications ou de causes). Pour ce faire, lélève conduit un raisonnement abductif, postulant par exemple à partir de lobservation, un principe de fonctionnement qui expliquerait le résultat dune action réalisée avec un objet technique

24 24/03/2009F La Fontaine IA-IPR de mathématiques Comme ailleurs, mais ici beaucoup plus quailleurs… « …les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne […] La maîtrise des principaux éléments de mathématiques sacquiert et sexerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. » Aussi, on se méfiera de toute démarche réduisant lenseignement des mathématiques à une suite dacquisitions de techniques, voire à du dressage. Les mathématiques sont toujours un lieu de créativité et de recherche. Il nest pas question de proposer un programme réduit ou des exercices plus pauvres, ou plus simples, en un mot moins ambitieux ou ennuyeux, mais bien de sassurer que chaque élève trouve dans sa classe, avec son maître, les conditions dun apprentissage motivant des fondamentaux qui lui donneront les clés de sa réussite.


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