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1 CT 57 (année scolaire 2001/2002) RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les systèmes articulés (treillis) JM CHATEL.

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1 1 CT 57 (année scolaire 2001/2002) RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX Les systèmes articulés (treillis) JM CHATEL

2 2 Les systèmes triangulés (Treillis) Plan de la séance 1 - Généralités 2 - Degré d hyperstaticité 3 - Stabilité d une structure triangulée 4 - Exemples de triangulation de poutres 5 - Détermination des efforts normaux dans les barres 6 - Exercices d application

3 3 1 - Généralités Historique Les systèmes triangulés (ou treillis) ont été pendant longtemps le type classique de la construction métallique et de la charpente en bois. - ponts de chemin de fer (GARABIT), - tour EIFFEL, - halles diverses (La Vilette, …), - couvertures de gares (gare saint-Lazare,...), - etc... Exemples :

4 4 1 - Généralités Définition Un système triangulé est un système composé de barres droites articulées à leurs extrémités. Les points de concours de plusieurs barres sont appelés des nœuds. L S S a b La longueur des barres est grande par rapport à leurs dimensions transversales. L >> (a ou b)

5 5 1 - Généralités Hypothèses de calcul Le poids propre des barres est négligé. Toutes les charges sont appliquées aux noeuds. F1F1 F2F2 F3F3 Les fibres moyennes des barres sont concourantes aux nœuds (théoriquement en même point). Toutes les barres sont articulées aux nœuds. Les barres ne sont soumises quà un effort normal (N) de compression ou de traction.

6 6 1 - Généralités Structure réelles Membrure inférieure Membrure supérieure Montant Diagonale Articulation théorique Articulation réelle Gousset - le gousset est petit devant la longueur des barres Le calcul reste valable si : - les fibres moyennes sont concourantes en un même point A A

7 7 2 - Degré d hyperstaticité Liaisons externes Elles correspondent aux liaisons du système considéré avec l extérieur. Il en existe trois types : - la liaison « appui simple » (engendre une inconnue statique) Liaison du type : L 1 - la liaison « rotule » (engendre deux inconnues statique) Liaison du type : L 2 - la liaison « encastrement » (engendre trois inconnues statique) Liaison du type : L 3

8 8 2 - Degré d hyperstaticité Liaisons internes Elles correspondent aux liaisons internes entre les barres composant la structure. Il en existe trois types : - l appui simple nœud de type n 1 Engendre une liaison de type L 1 sur chaque barre - la rotule nœud de type n 2 Engendre une liaison de type L 2 sur chaque barre n2n2 n2n2 L2L2 L2L2 L2L2 L2L2 - l encastrement nœud de type n 3 Engendre une liaison de type L 3 sur chaque barre

9 9 2 - Degré d hyperstaticité Calcul du degré d hyperstaticité(1/3) Les inconnues du système sont les différentes liaisons (externes et internes). À chaque liaison de type L i correspondent (i) inconnues Nombre d inconnues : Nombre d équations : Par application du PFS nous aurons : - 3 équations par barre - (i) équations par nœud de type n i

10 Degré d hyperstaticité Calcul du degré d hyperstaticité(2/3) Degré d hyperstaticité : Le degré d hyperstaticité correspond à la différence entre le nombre d équations et le nombre d inconnues. Système hypostatique nb d équations > nb d inconnues Système isostatique nb d équations = nb d inconnues Système hyperstatique nb d équations < nb d inconnues

11 Degré d hyperstaticité Calcul du degré d hyperstaticité(3/3) Exemple : Calculer le degré d hyperstaticité de la structure

12 12 3- Stabilité d une structure triangulée (b) nombre de barres (n) nombre de noeuds Soit Cette structure triangulée est stable à condition que l équation suivante soit vérifiée : b = 2.n - 3

13 Exemples de triangulation de poutres Poutre de type WARREN Poutre de type HOWE Poutre de type PRATT

14 14 5- Détermination des efforts normaux dans les barres Méthode des nœuds(1/2) Méthode : Cette méthode permet de calculer les efforts développés dans toutes les barres. 1 - vérifier que le système est isostatique 2 - déterminer les réactions aux appuis 3 - isoler un premier nœud et écrire l équilibre statique en faisant apparaître les réactions des barres sur le nœud et le chargement extérieur Exemple: P = 10 kN L L L Calculer les efforts dans les barres

15 15 5- Détermination des efforts normaux dans les barres Méthode des nœuds(2/2) Méthode graphique (Crémona):

16 16 5- Détermination des efforts normaux dans les barres Méthode des coupures (dite de « RITTER »)(1/2) Cette méthode permet de calculer directement un effort dans une barre quelconque d un système articulé isostatique. Méthode : 1 - vérifier que le système est isostatique, 2 - déterminer les réactions aux appuis, 3 - déterminer la barre dont il faut calculer l effort, 4 - couper la structure (en coupant au maximum 3 barres), 5 - écrire que la résultante en moment (par rapport un point judicieusement choisi) est nulle, 6 - interpréter les résultats.

17 17 5- Détermination des efforts normaux dans les barres Méthode des coupures (dite de « RITTER »)(2/2) Exemple: P = 10 kN L L L

18 EXERCICES

19 19

20 20 Ponts sur le Vecchio (Corse)


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