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Université des sciences et de la technologie dOran facultés des sciences U.S.T.O-M.B. département informatique Projet recherche opérationnelle Application.

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1 Université des sciences et de la technologie dOran facultés des sciences U.S.T.O-M.B. département informatique Projet recherche opérationnelle Application des réseaux de neurone au problème dordonnancement « Job Shop » Partie 1: Notions & concepts Présenté par : -HAMAIDI Mohamed El Amine -BEKHELIFI Okba 1

2 Sommaire Introduction Approche neuronal et réseau de Hopfield. Méthode de résolution dun problème doptimisation avec réseau de Hopfield Limitation de réseau de Hopfield et vers une approche hybride Description du problème de job shop et ça complexité Le réseau de Hopfield hybride utilisé pour ce problème dordonnancement La méthode de résolution de ce problème avec réseau de Hopfield hybride Exemple dapplication Conclusion 2

3 Introduction Le problème dordonnancement dans un atelier à tâche fait parties de la classe des problèmes NP-complet, Lutilisation de réseaux de neurones et intéressante car le parallélisme intrinsèque de ces derniers offre a priori, une possibilité de traiter des problèmes de grande taille dans un temps limité. Notre travail a consisté ensuite à ajuster les particularités des réseaux de neurones à mettre en œuvre pour la résolution de notre problème dordonnancement. 3

4 Approche neuronal 4 Ii : lentrée directe du neurone i. Wij : le poids de connexion entre les neurones i et j.

5 Réseau de Hopfield 5 Avec : W : matrice de poids X : vecteur dentrée initial Y : vecteur des sorties des neurones du réseau.

6 Méthode de résolution dun problème doptimisation avec réseau de Hopfield Étape 1 : Déterminer un codage du problème : Cette étape consiste a reformuler le problème dun point de vue mathématique afin quil soit possible de résoudre par un réseau de neurones. Étape 2 : Déterminer lénergie du réseau de Hopfield : On cherche a exprimer la fonction de coût et les contraintes sous forme dune énergie dun réseau de Hopfield. 6

7 Méthode de résolution dun problème doptimisation avec réseau de Hopfield Étape 3 : Déterminer les équation dévolution de chaque neurone : Les interconnexions entre le neurone (i) et les autres neurones sont déterminées par léquation de mouvement. Le changement de létat dentrée du neurone (i) est donné par les dérivés partielles de la fonction dénergie E. léquation dévolution est donnée par : Avec Ui : lentrée du neurone i Vi : la sortie du neurone i Étape 4 : Démarrer lexécution du réseau de neurones : Généralement, quand on ne dispose daucune connaissance â priori sur la localisation de la solution recherchée, les états des neurones sont initialisés aléatoirement. La dynamique du réseau de neurone, fondée sur les équations dévolution des neurones, les fera converger vers un minimum local de lénergie. 7

8 Limitation de réseau de Hopfield et vers une approche hybride La résolution des problèmes doptimisation par réseau de Hopfield pose certain nombre de problèmes car la fonction dénergie exprimée en fonction des contraintes et combiné de la fonction des coûts. Donc on a pas une vrai solution acceptable. Et pour réduire le temps de résolution une approche hybride est souvent le meilleur choix. On a décider de combiner le réseau de Hopfield avec une heuristique permettant de raffiner la qualité de solution pour résoudre notre problème job shop. 8

9 Description du problème de job shop Le problème dordonnancement Jop Shop est un problème NP-Complet c.-à-d. aucun algorithme de résolution avec une complexité polynomial a été trouver pour résoudre ce problème. Ce problème consiste dun ensemble de taches a exécutés sur un ensemble de machines, chaque tâche est définit par un ensemble dopérations ordonnés chaque opération est assigné a une machine avec un temps dexécution prédéfini. Lordre des opérations dans les tâches et ces machines correspondantes est fixé a priori et indépendant de tâche a tâche. La résolution de ce problème consiste ainsi à trouver la séquence des tâches qui minimise le makespan correspondant au temps de fin de la dernière opération dans lordonnancement. 9

10 La complexité du problème de Job Shop Le problème de job shop est parmi les problèmes de doptimisation combinatoire les plus difficiles. Même les cas simples à savoir N*3 avec Ni = 2 et N*2 avec i=3 sont NP- difficiles. Ni étant le nombre dopération par job (tâche). Si on cherche une séquence de N opération sur une ressource, on a alors (N! ^m) Possibilités à envisager. Dans un cas dun problème à m ressources celui conduit a configuration. 10

11 Lapproche hybride utilisé pour ce problème Cette nouvelle approche combine le réseau de neurones de Hopfield et une procédure de recherche locale de Nowicki et de Smutnicki (1996). Lapproche consiste en deux phases principales : Assignation des priorités et des temps de début des opérations : cette phase se sert de réseau de Hopfield pour construire des solutions faisables de lordonnancement et définir le diagramme de Gantt. Procédure de recherche locale : cette phase se sert de la procédure de recherche taboue de Nowicki et de Smutnicki (1996) pour raffiner la solution obtenue par le réseau de Hopfield. 11

12 Lapproche hybride utilisé pour ce problème 12

13 La méthode de résolution de ce problème avec réseau de Hopfield hybride La méthode de résolution de ce problème avec réseau de Hopfield hybride Codage du problème: En utilisant le réseau de neurones de Hopfield pour résoudre le problème Job Shop, une matrice de permutation avec (N) lignes et (N+1) colonnes est généralement appliquée pour le représenter (où N est le nombre total des opérations). La valeur des éléments gij est marqué 1 alors lopération Oi dépend de lopération Oj, sinon lopération Oi ne dépende pas de lopération Oj.

14 2.Contraintes à satisfaire: Il y a deux types de contraintes à satisfaire : 1 er type : celles ce qui sont définies par le problème doptimisation 1. Le plus petit entre les nombres n et m des tâches devrait commencer au temps t=0, afin déviter les temps morts (idle time) des machine au temps t=0, avec m le nombre de machine et n le nombre de tâche à effectuer. 2. Lauto dépendance sur chaque opération nest pas permise. 3. La dépendance mutuelle de lun sur lautre nest pas également permise. 4. Les relations de précédence entre les opérations doivent être respectées. 14

15 2éme type : celles qui résultent de codage du problème 5. On permet à chaque opération de dépendre seulement dune autre opération, donc on sattend à ce que seulement un neurone sallume à nimporte quelle ligne de la matrice. 6. On permet quexactement N neurones doivent être allumé. En effet sans cette contrainte supplémentaire, les contraintes définies ci-dessus ne sont pas encore suffisantes pour garantir la validité dune solution, car le processus de minimisation ferait naturellement converger toutes les sorties des neurones vers 0, ce qui naurait aucun sens. 15

16 3 Détermination de lénergie du réseau: Les contraintes (3), (5) et (6) sont imposées par une fonction dénergie E qui décrit le réseau de neurones dont le minimum correspond à une solution optimale de lordonnancement. Dans le paragraphe suivant on va définir cette fonction dénergie. lénergie qui permet dimposer la contrainte (5) est : 16

17 Lénergie qui permet dimposer la contrainte (6) quexactement N neurones soient dans létat allumé est : La contrainte (3) est nécessaire pour éviter la dépendance mutuelle de lun sur lautre. Cette contrainte est considérée comme une inhibition asymétrique de la matrice: 17

18 Donc lénergie totale du réseau de Hopfield est la somme pondérée des fonction définies ci-dessus : Tel que la constante : A est le coefficient de connexions inhibitrices dans chaque ligne B est le coefficient de linhibition globale C est le coefficient de la connexion asymétrique 18

19 4. Détermination des équations dévolution des neurones : On peut réécrire la fonction dénergie quadratique du problème sous la forme dune fonction dénergie dun réseau de Hopfield définie en 1985 par : Dans cette équation on détermine les poids Wij, Kl à partir de la forme analytique des contraintes. Ainsi si lon considère la contrainte E1, contribution aux coéfficients synaptiques sécrit : 19

20 Où δ est lopérateur de Kronecker : De même la contribution dE2 est-1 Enfin la contribution dE3 est : La forme finale des poids de connexion entre les neurones (x, i) et (x, j) est donc : 20

21 La valeur dentée externe du neurone en position (x, i) de la matrice vaut : Dans le cas de neurones analogiques (continues) Hopfield et Tank on définit léquation linéaire dévolution, décrivant le comportement du réseau comme suit : 21

22 5. Description de lalgorithme : La procédure suivante décrit lalgorithme proposé en se basant sur la méthode dEuler de premier ordre. Cest la méthode utilisée pour approximer les solutions Uij (t+1). Il sagit certainement de la méthode la plus simple dintégration numérique. 1. choisir aléatoirement les valeurs initiales de Uij (t), avec i=1,…N et j=1,…N+1 2. mettre t=0 3. Evaluer les valeurs de Vij (t) en se basant sur la fonction sigmoïde définie par : 4. utiliser léquation de mouvement pour calculer : : 5. calculer Uij (t+1) en se basant sur la méthode dEluer de premier ordre 22

23 6. Utiliser la fonction dénergie globale pour calculer lénergie E (t). 7. incrémenter t par le pas 8. si t=T terminer la procédure, sinon retourner à létape 3 23


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