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Fiabilitis_20051 FIABILITIS Le logiciel destimation statistique en fiabilité FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Tuteur : M. GOUNO Licence.

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1 Fiabilitis_20051 FIABILITIS Le logiciel destimation statistique en fiabilité FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Tuteur : M. GOUNO Licence 3 GIS 2004/2005

2 Fiabilitis_20052 Introduction Le projet 2005 : Produire un outil fiable et efficace Mise en ligne en 2005 Collaboration entre un groupe détudiants en informatique et un groupe détudiants en statistique Licence 3 GIS 2004/2005

3 Fiabilitis_20053 Fiabilitis I- La fiabilité a) Introduction à la fiabilité b) Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a) Validation des résultats b) Ajout de la loi log-normale c) Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

4 Fiabilitis_20054 Introduction à la fiabilité I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

5 Fiabilitis_20055 Généralités Variable aléatoire continue X de type « durée », donc positive Général : X = temps qui sécoule avant quun événement se réalise En fiabilité : X = « durée de bon fonctionnement » Modèle de durée : La loi de X I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

6 Fiabilitis_20056 Durée de vie Densité de proba de X : Doù : Et : MTTF = durée de vie moyenne ou durée moyenne de bon fonctionnement I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

7 Fiabilitis_20057 Fiabilité et taux de défaillance Fonction fiabilité : Taux de défaillance : NB : I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

8 Fiabilitis_20058 Précision sur le taux de défaillance Probabilité instantanée de défaillance avec le temps : A : mortalité infantile (jeunesse, rodage) B : durée de vie utile (maturité) C : vieillissement ou usure Licence 3 GIS 2004/2005

9 Fiabilitis_20059 Modèles de durée Exponentielle : modélise les périodes de maturité Weibull et log-normale : spécifie la jeunesse et le vieillissement en plus de la maturité Autres : loi gamma, mélange de loi exponentielles… I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

10 Fiabilitis_ Censure à droite, à gauche ou à droite et à gauche : Nature des données : censure temps T(début) : début des tests L : début de lobservation C : fin de lobservation T(fin) : fin des tests Censure à droite : Type 1 : arrêt des observations en t = C Type 2 : arrêt des observation quand k défaillances sont observés Licence 3 GIS 2004/2005

11 Fiabilitis_ Nature des données : intervalle dobservation Données groupées : si les valeurs de la variable dintérêt appartiennent à un intervalle dobservation : On prend comme valeur : Nb : on revient à des données continues et toutes les observations du même intervalle ont la même valeur I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

12 Fiabilitis_ Adéquation du modèle de durée Ajustement graphique : Pertinence du choix du modèle Estimation des paramètres peu précise Analyses paramétriques : Approche fréquentielle : estimation par maximum de vraisemblance (MLE) Approche Bayésienne : tient compte du passé I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

13 Fiabilitis_ Présentation de Fiabilitis I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

14 Fiabilitis_ Généralités Fiabilitis : Outil de calculs statistiques relatif à la fiabilité À qui sadresse le logiciel ? Alcatel, Thomson, Thalès, Schlumberg… I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

15 Fiabilitis_ Les types de données (1) La censure Sans censure Censure type 1 Censure type 2 La nature des données Les données complètes Les données groupées I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

16 Fiabilitis_ Les types de données (2) Licence 3 GIS 2004/2005

17 Fiabilitis_ Saisie des données I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

18 Fiabilitis_ Les modèles de durée proposées Version 2004: Loi Exponentielle Loi de Weibull Version 2005: Loi Log-normale I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

19 Fiabilitis_ Point de vue statistique Pour chaque modèle de durée (loi), Fiabilitis propose : Une estimation graphique Une estimation MLE Une estimation bayésienne I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

20 Fiabilitis_ Estimation graphique I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

21 Fiabilitis_ Estimation MLE et Bayésienne Estimations MLE et Bayésiennes sont plus précises que lestimation graphique I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

22 Fiabilitis_ Licence 3 GIS 2004/2005 Fiabilitis I- La fiabilité a) Introduction à la fiabilité b) Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a) Validation des résultats b) Ajout de la loi log-normale c) Création dune aide statistique

23 Fiabilitis_ Validation des résultats I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

24 Fiabilitis_ Général Licence 3 GIS 2004/2005 But : Mise en ligne du logiciel Comprendre les calculs de Fiabilitis Validation : à laide dExcel, Scilab et R I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique

25 Fiabilitis_ Principe des vérifications Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation des paramètres des lois supposées sur un échantillon de durées de vie Types destimations à vérifier : Estimation graphique Estimation du maximum de vraisemblance Estimation bayésienne I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique

26 Fiabilitis_ f Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation graphique (1) Exemple destimation du paramètre lambda de la loi exponentielle : Tracé des points [x i ; log (1-1/F(x i ))] Tracé de la droite des moindres carrés Même principe pour la loi de Weibull, et ce pour chaque type de données et chaque censure I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique

27 Fiabilitis_ f Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation graphique (2) On cherche la droite déquation de type Y=a.X : I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique

28 Fiabilitis_ Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation MLE (1) I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Principe de vraisemblance : Toute linformation sur le(s) paramètre(s) tirée de x (vecteur échantillon) est contenue dans la vraisemblance. Fonction de vraisemblance : Maximiser la quantité :

29 Fiabilitis_ Résolution des équations : On obtient lestimateur maximum de vraisemblance (emv) Lemv converge presque sûrement vers le(s) paramètre(s) Création dun algorithme itératif afin dobtenir les paramètres Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation MLE (2) I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique

30 Fiabilitis_ Connaissance à priori : On considère que le(s) paramètre(s) suit(vent) une loi à priori On rectifie cet à priori à laide des observations effectuées Distribution à posteriori (formule de Bayes) : Licence 3 GIS 2004/2005 Estimation bayésienne I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique

31 Fiabilitis_ Implémentation de la loi Log-normale I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

32 Fiabilitis_ Généralités Elle sajoute aux deux modèles déjà développés et comprend : Estimation graphique Estimation MLE I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

33 Fiabilitis_ Lien avec la loi normale On considère les logarithmes des x i et on obtient une nouvelle variable Y tel que : Y~N(μ,σ²) Si X~LN(μ,σ²), alors log(X)~N(μ,σ²) Avec X=(x1,x2,…..xn) I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

34 Fiabilitis_ Estimation graphique On a alors P(Yy) = P( U (x-μ) / σ ) où U~N(0,1) On cherche alors les quantiles théoriques u i de Fn(x). Si lhypothèse dune loi normale est exacte alors les points (y i, u i ) vérifient : y i = σ*u i + μ μ et σ sont estimés par la méthode des moindres carrées I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

35 Fiabilitis_ Estimation MLE Nécessite un algorithme itératif : Lalgorithme initialise les paramètres de la loi par la moyenne et lécart-type observés Lalgorithme calcule les coefficients de la matrice dinformation de Fisher Rectifie la valeur des paramètres à chaque itération I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

36 Fiabilitis_ Aide statistique Logiciel utilisé par des techniciens professionnels Concurrence avec les logiciels payant I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

37 Fiabilitis_ Contenu de laide Rédaction en anglais : Rester cohérent (logiciel en anglais) À la portée dun maximum de personne Notions générales en fiabilité Présentation rapide des modèles de durée utilisés par Fiabilitis Intégralité des formules utilisées pour chaque méthode de calcul I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

38 Fiabilitis_ Présentation de laide Fichier de type «.pdf » Téléchargeable sur le site de Fiabilitis Format universel Facilement imprimable Utilisation de Latex Bonne stabilité (formules) Mise en page typique Liens et signets dans le «.pdf » I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

39 Fiabilitis_ Structure de laide Beaucoup de répétions de formules (ex…) Types de censure Nature des données (continues/groupées) Création dune partie généralité Type de censure dépend de TTT Explication données groupées (milieu de lintervalle) I- La fiabilité a)Introduction à la fiabilité b)Présentation de Fiabilitis II- Les objectifs en 2005 a)Validation des résultats b)Ajout de la loi log-normale c)Création dune aide statistique Licence 3 GIS 2004/2005

40 Fiabilitis_ FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Licence 3 GIS 2004/2005 Les difficultés rencontrées Temps dadaptation : long et difficile Objectif non abouti : une vérification non effectuée

41 Fiabilitis_ FERNANDEZ Violaine FERRAFIAT Nicolas PONCET Antoine Licence 3 GIS 2004/2005 Bilan Connaissances en statistique Domaine : la fiabilité Méthode : bayésienne Utilisation du logiciel Latex Travail en groupe Participation à lélaboration dun logiciel

42 Fiabilitis_ MERCI DE VOTRE ATTENTION !! Licence 3 GIS 2004/2005


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